第54讲 圆锥曲线的综合应用-证明、探究性问题（讲）（教师版）.docx

第54讲锥曲线的综合应用证明、探究性问题思维导图题型1 :证明问题圆锥曲线中的综合问题一证明、探究性问题.题型2:探究、存在性问题考向1 :点、线的存在性问题考向2:含字母参数的存在性问题知识梳理1 .证明问题代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等 等.证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.2.探究、存在性问题存在性问题的解法：先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的 结论，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存 在.要注意的是：（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设 成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.题型归纳题型1 证明问题【例1-1】设椭圆C： y+y2=l的右焦点为R过产的直线/与。交于A, 3两点，点M的坐标为（2,0）.当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设。为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB. 解 由已知得尸（1,0）, /的方程为x=l.则点A的坐标为（1, W）或（1，坐）.又 M（2,0）,所以直线AM的方程为y= 也或=即 x+也y2=0 或 xy2y2 = Q.(2)证明：当/与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=0°.当/与x轴垂直时，为4?的垂直平分线，所以 N0M4=N0MA当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=Z(x1)(原0), A(xi, yi), B(x2, »),则XV也，X2<®直线MA, MB的斜率之和为kMA + kMB = " c + * c X -2 X2 _2由 y=Axi-Z, y2 = kx2-k,得攵Ma + kMB =得攵Ma + kMB =2kxX23k x 2即+应 +4%2 2将 y=Z(x 1)代入歹+丁2= 1,得(2F+ l)x24Z:2x+2F2=0,8 > I4攵22k22所以X十X2 = 2/+ ， Xl%2 = 2攵2+贝I 2Hx2一3Z(xi+x2)+4Z4攵34攵2女3+8攵3+4攵2R+1=0从而 Zm4 + %MB = 0,故MA, MB的倾斜角互补.所以/OMA=/OMB.综上，NOM4=NOM3成立.【跟踪训练1T】设椭圆石的方程为次+方=1(。>>0)，点。为坐标原点，点A的坐标为3,0),点3 的坐标为(0,匕)，点M在线段A3上，满足18M = 2|M4,直线OM的斜率为先.(1)求E的离心率你(2)设点。的坐标为(0,一力，N为线段AC的中点，证明：MNLAB.【解】由题设条件知，点M的坐标为(|出 倒，q , =41 M在粗_=亚又如M10'从而2。1。.进而得 a=y/5b9 c=yla1b2 = 2b,故(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为(名 可得NaJ = H，又三咨=(一凡/?),从而有 AB - NM = a2+b2=(5b2a2).由(1)可知 a2 = 5b2,所以北丽=0,故MN LAB.【跟踪训练1-2】在平面直角坐标系屹，中，点F的坐标为(0, £|,以线段为直径的圆与x轴相切.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)设丁是E上横坐标为2的点，。7的平行线/交E于A, B两点,交曲线石在T处的切线于点M求 证：|N72=5nA|NB|.【解】(1)设点M(x, y),因为0, £),所以的中点坐标为白，.因为以线段Mb为直径的圆与x轴相切，所以野=中，即附尸尸审，故, (厂,2 = 2)； 1 I ,得 *2 = 2y,所以M的轨迹E的方程为x2=2y.(2)证明：因为7是E上横坐标为2的点，所以由(1)得7(2,2),所以直线07的斜率为1.因为lOT,所以可设直线/的方程为y=x+m, mWO.由y=52,得)/ =%,则曲线E在T处的切线的斜率为了 |-2=2,所以曲线E在7处的切线方程为y=2x2.y=x-m, 由1y=2x2,y=m+2, y=2m+2,所以 Mz+2,2"2+2),所以|N72=(m + 2) 22 + (2m + 2) 22 = 5/%2.y=x+2,i由,由,消去 y,得2x2加=0,由/=4+8相0,解得z一5.x2 = 2y2设 A(m, y), B(X2, >2),则 i+x2=2, xjX2= 2m.因为N, A, 3在/上，所以|乂4|=也|九1一(2+2)|,卬3|=也咫一(m+2)|,所以 |NA| |NB| = 2x (m+2)|咫(m+2)| = 2|加12 (m + 2)3 +%2)+ (加 + 2)2| = 2| 2m 2(m+2) + (m+ 2)2l = 2m29所以 W72=%va|.|N3|.【名师指导】几何证明问题的解题策略：(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素 中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆 锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应 用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明题型2 探究、存在性问题【例2-1】己知圆C： (%l)2+y2=；, 一动圆与直线相切且与圆。外切.(1)求动圆圆心P的轨迹7的方程；(2)若经过定点Q(6,0)的直线/与曲线7交于4, B两点,M是线段A3的中点，过M作x轴的平行线与 曲线T相交于点M试问是否存在直线/,使得NA_LN'若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明 理由.解(1)设P(x, y),分析可知动圆的圆心不能在y轴的左侧，故90, 因为动圆与直线x=-J相切，且与圆C外切，2'所以 |PC|=x+l,所以 yj (x1) 2+y2 =%+1,化简可得y2=4x.(2)设A(xi, y), Bg 竺)，由题意可知，当直线/与y轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线/的方 程为 x=my+6,x=my+6,联立L消去工,y2=4x可得 >24/%y24=0, 显然 4 = 16切2+96>0,)"+m=4根, yy2= -24,所以 xi +松=Qnyi + 6)+my2+6)=4m2 +12,因为xiX2=W 所以XlX2=36,假设存在Mxo,州)，使得前无声=0, 由题意可知以="¥，所以yo=2z,由N点在抛物线上可知Xo= 即40 =根2,又 M4=(Xxo，yi泗)，NB =(%2x(),竺一y。)，则 X1X2xo(xi +松)+x6+y 1力yo(yi +”)+M0, 由代入上式化简可得：3m4+16m2-12=0, 即(m2+6)(3 加 22)=0,所以77?=|,故加=土半，所以存在直线3x+V6y-18=0或3x一加y18=0, 4更得NALNB.【例2-1】如图，椭圆C捻+*1(420)经过点0,离心率e=g,直线/的方程为x=4.(1)求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦点尸的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线/相交于点记直线山，PB, PM 的斜率分别为俗，心，依,问：是否存在常数九使得向+依=加3?若存在，求出2的值；若不存在，请说明 理由.2 + 4021，2 = 4,解(1)由题意得£=1解得<加=3,Q 2，2 1lc2=l,<Z?2 + c2 = 4Z2,丫2 v2故椭圆C的方程为+：=1. Iw/(2)由题意可设直线AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y=Z(x1),代入椭圆方程，并整理，得(4Z?+3)x28Fx+4(F3) = 0,设Ag, yi), 3(x2,竺)，且为方亚1,4 A234R+3在方程中令x=4,得点M的坐标为(4,3攵).3k-4 133从而 k= r, ki= 7, XX2 1因为A, F, 5二点共线，所以k = Icaf = kBF,即 x 即 x 33_3xi+应一22 XX2(X +q)+ 1将代入得,8"r34&2+3一2h +kl=2kl： 4(fe2-3)824一+3 4R+3+I又k3 = kg,所以内+依=2依. 乙故存在常数2=2符合题意.【跟踪训练2-1】已知椭圆C捻+营=1(。/»0)的两个焦点分别为丹，F2,短轴的一个端点为尸，PQF2内切圆的半径为冬 设过点F2的直线/被椭圆C截得的线段为RS,当心轴时，|RS| = 3.(1)求椭圆。的标准方程；(2)在x轴上是否存在一点7,使得当/变化时，总有7S与7R所在直线关于x轴对称？若存在，请求出 点7的坐标；若不存在，请说明理由.【解】(1)由内切圆的性质，得1, 1, bX2cX/?=-X(2(2+2c)X-, 乙乙D_ C 1所以一=不 a 2I2 v?将尸。代入了十方=1,按2b2得=±7,所以二=3.又。2 = + c2,所以。=2, b=小,故椭圆。的标准方程为1+、=1.当直线/垂直于x轴时，显然x轴上任意一点7都满足TS与77?所在直线关于x轴对称.当直线/不垂直于x轴时，假设存在7U0）满足条件，设/的方程为y=Z（xl）, /?（汨，y）, S（q,竺）.联立PV 3x2+4y2-12=0消去y,得（3+4左2）X28 A2人+442 12=0,r8-汨+q = 3+442由根与系数的关系得3由根与系数的关系得34-212 心=3+4/ ,其中/>0恒成立，由75与77?所在直线关于x轴对称，得bs+M?=0（显然TS, 77?的斜率存在），即'+上=0 .Xt X2t因为R, S两点在直线y=k（x1）上，所以 yi=k（xi 1）, y2=Z（121）,代入得网为-1 ）（12，）+kg - 1 ）（汨一，）（X1Z）（X2 0川 2X1X2 （，+ 1）（X1 +工2）+ 2升 （为-0（X2 。°即 21因一（，+1）3+12）+ 2/=0.将代入得8R24（E+l）8%2+2f（3+4F）3+4公6f24 =n3+4F 5则，=4,综上所述，存在7（4,0）,使得当/变化时，总有TS与77?所在直线关于x轴对称.【名师指导】.存在性问题的求解方法解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤:假设满足条件的曲线（或直线、点）等存在，用待定系数法设出；列出关于待定系数的方程（组）； 若方程（组）有实数解，则曲线（或直线、点等）存在，否则不存在.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.字母参数值存在性问题的求解方法求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结 合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参 数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是 说明理由的过程