第50讲 双曲线（讲）（教师版）.docx
第50讲双曲线思维导图题型1:双曲线的标准方程题型2:双曲线的定义及其应用双曲线考向1:求双曲线的离心率(或范围)题型3:双曲线的几何性质 « 考向2:求双曲线的渐近线方程 考向3:求双曲线的方程忽视双曲线定义的条件致误常见误区/( 忽视双曲线焦点的位置致误知识梳理1 .双曲线的定义平面内到两个定点/1,6的距离的差的绝对值等于常数2(2V|为尸2|)的点尸的轨迹叫做双曲线.这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2 .双曲线的标准方程72(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为了一方=1(>0, b>0).27(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为，一b>0).3.双曲线的几何性质标准方程/ V2/一行 1(40, b>0)5一%-1(40, b>Q)范围|x|2a, y£R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点律占 八、八、尸 1( C,0),尸2(C,0)bi(0, -c), F2(0, c)顶点4( 一。,0), A2(6f,0)Ai(0, ci), A2(0, ci)轴线段A1A2，囱生分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2， 虚轴长为2b焦距FiF2=2c离心率e-cT 41+42£（1，+8）e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线b y=±r / aa y=±bxa, b, c的关系/=，一反A o 1A.y2=A o 1A.y2=Cf题型归纳解得2=2（2=2舍去）,X2 所以所求双曲线标准方程为7y2= 1.【例1-3】经过点P（3,2币），。（一6ML 7）的双曲线的标准方程为【解析】设双曲线方程为加/+）a=1（加几0）,因为所求双曲线经过点P（3,2巾），。（一6也，7）,所以9m+287:= 1,72m+49= 1,9m+287:= 1,72m+49= 1,1 m=-75,29故所求双曲线标准方程为获一会=1.【答案】25 75【总艮踪训练1-1】焦点在X轴上，焦距为10,且与双曲线彳一/=1有相同渐近线的双曲线的标准方程2?2【解析】设所求双曲线的标准方程为手一一二一如。），即:一看=1,则有42+2=25,解得2=5,所 4Z 4/172以所求双曲线的标准方程为会一.=1.【答案】?舄=1【跟踪训练1-2】过双曲线C盘一5=1（4人0）的右顶点作光轴的垂线，与C的一条渐近线相交于 点4若以。的右焦点尸为圆心、半径为4的圆经过4。两点（。为坐标原点），则双曲线。的标准方程为【解析】因为渐近线y=x与直线x=a交于点A（a, /?）, c=4且（4 + /?2=4,解得a2=4, b2= 12,因此双曲线的标准方程为一因此双曲线的标准方程为一12=1.【答案】9一g=1【名师指导】求双曲线标准方程的2种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数，c的方程并求出dh9 cv2 2钟 2的值.与双曲线,一力=1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为左一方=2（存0）.（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出Q的值，由定点位置确定C的值.题型2双曲线的定义及其应用72【例2-1】(2019河南安阳三模)设双曲线C会一2=1的左、右焦点分别为月，&，过Q的直线与 o m双曲线。交于M, N两点，其中“在左支上，N在右支上.若/F2MN=/F?NM,则|MN| = ()A. 8B. 4C-8也D-4也72(2)(2019河北廊坊省级示范校三联)设Q, B分别为双曲线C： 一方=1(。0，匕0)的左、右焦点，过8的直线交双曲线。的左支于4 B两点，且|AF2| = 3, |fiF2| = 5, AB=4,则38出的面积为.(3)已知/是双曲线?一旨=1的左焦点，A(l,4), P是双曲线右支上的一动点，则FW + IR1I的最小值为I 1【解析】(1)由NF2"N=N&NM可知，|F2M = IBN|,由双曲线定义可知，|M6| 一 |MF1|=4也，|NK| 一 |N3|=4 也，两式相加得，|NQ| 一 |Mri| = |MN| = 8 41(2)V|AF2| = 3, |BF2|=5,AF2-AFx=2a9 BF,-BF=2a,：.|AF2| + |BF2|-|AB|=4 = 3 + 5-4 = 4,：.a=, A|SFi| = 3, 又 IAE2J+1ABi2=山3|2,2T=1U>2)v23 A ZF2AB=90°, sin3=3，99根据双曲线定义，所求轨迹是以A, B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为?一言=1(1>2). rJL【跟踪训练2-2】已知月，F2为双曲线C/一丁=2的左、右焦点，点P在。上，PF=2PF则cos Z Fi PF?【解析】由双曲线的定义有尸尸1|一。2| = 2。=2也,|PFi| = 2|PF2|,|尸外|=4娘，|尸&| = 2w,则 C0SZFPF2=则 C0SZFPF2=IPRF + I尸歹2|2 一尸内|22|PF1|.|PF2|_(472)2 + (22)2-42_32X4y2X2y/2 43【答案】:【名师指导】双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线.(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题.(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：距离之差的绝对值；2<|为尸2|；焦点所在坐标轴 的位置.题型3双曲线的简单几何性质【例3-1】(2019 全国卷I)已知双曲线C '=13。，0)的左、右焦点分别为H，F2,过8的直线与c的两条渐近线分别交于a, 8两点.若市=京，Kb 75=0,则。的离心率为rb【解析】法一：双曲线/一次=1(4>0, /?>0)的渐近线方程为y=±/,v7yb-Kb=o, .FiB±f2b,点 3 在。0: x2+y2=c2.h,点 3 在。0: x2+y2=c2.h,如图所示,不妨设点8在第一象限，由,得点、B（a, b）9 a2+b2=c29<x>0vK?=7b , I.点A为线段F/的中点，刍，将其代入y=gx得彳=（一/义区手.解得c=2a,故e=§=2.法二：如图，由市=入济知A为线段尸出的中点，:。为线段的中点，C.0A/F1B,vKb-Kb=O, ：.FiB±F2B, OA J_ BA 且 N Fi 0A= N。尸2'ZBOF2= NAOQ, /. NBOF2= NOF2B,又易知|O8| = |OF2| = c,为正三角形，bC I a2可知7= tan 60。=小，：.e=y= '/l+/=2.法三：如图，设NAOy=%则NBOy=%FA = AB , .A为线段为B的中点，又.O为线段尸尸2的中点，：OABF?, ：. ZOBF2=2a.过8作B，OF2,垂足为H,则 BHy 轴，则有 NOBH=a,:, NHBFz=a,易得4OBH冬AF2BH, ：.OB = BF2,: F2BFtB=0, ：.BFx±BF29 又。为 的中点,：.OB = OF2 = c, O5F2 为正三角形. N BOB = 60。，则夕=tan 60。=小,【答案】2【例3-2】（2019武汉调研）已知双曲线C三一三=1（m>0, >0）的离心率与椭圆展+得=1的离心率 ，I 11L J L U互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为（）A. 4x±3y=0B. 3x±4y0C. 4x±3y=0 或 3x±4y=0D. 4x±5y0 或 5x±4y=0【解析】由题意知，椭圆中a=5, h=4, .椭圆的离心率e=1 7=予.二双曲线的离心率为/ 勿2 5 n 4774A /1 +=,一=双曲线的渐近线方程为y=±-x=±?,即4x±3y=0.故选A.【答案】A72【例3-3】（2020.广东湛江一模）设尸为双曲线E：5一方=1（4>0,。>。）的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与£的渐近线相交于A, B两点,O为坐标原点，四边形04所为菱形，圆/+），2 = °2（°2=2+/?2）与E在第一象限的交点是尸，且|。用=#一1,则双曲线片的方程是（）C.yy2=lD. x21r2 v2h【解析】双曲线E： 一一方=1的渐近线方程为y=±-x,四边形OAFB为爰形,对角线互相垂直平分，：.c=2a9C 22X 一），_ 则有k23/一，、%2+>2 =，= 44,解得全）V|PF|=V7-1,/. '乎a2a二+ga）2 =（干1）2,解得=,贝U b=y3,v2 故双曲线石的方程为1.故选D.【答案】D【跟踪训练3-1】（2020福建厦门一模）已知双曲线Ca一方=13>°，力。）的一个焦点为R点A, B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过歹且交C的左支于M, N两点，若|MN|=2, 45尸的面积为8,则。的渐近线方程为（）y±3xy=±2x【解析】选B 设双曲线的另一个焦点为尸，由双曲线的对称性，可得四边形AF3/ 是矩形,SABF=SABFr ,即 bc=S,由“q1 可得尸士7，导一产12斤则|A/7V|=2,即 /?2=c,:b=2, c=4,/. a=yjc2b2=2 5,AC的渐近线方程为y=土坐%故选B.22【跟踪训练3-2】（2019天滓高考）已知抛物线V=4x的焦点为几准线为/.若/与双曲线，一方=1（公0,2>0）的两条渐近线分别交于点A和点B,且|A8|=4|OF（O为原点），则双曲线的离心率为（）A.a/2B.小C. 2D.小【解析】选D 由已知易得，抛物线尸=4%的焦点为21,0）,准线/:工=一1,所以|OF|=1 .又双曲线的两条渐近线的方程为 尸±4,不妨设点4（一1,生一生 所以|A8|="=4|0用=4,所以心2,ci cty ciyaa即b=2a,所以=4q2.又双曲线方程中/=/+，所以c1 = 5cr,所以6=小.故选D.【跟踪训练3-3】已知M（x0,加）是双曲线C、一丁=1上的一点，R,歹2是双曲线C的两个焦点.若话碇<0,则加的取值范围是.【解析】由题意知。=也，b=l, c=小，设 B（一小，0）, F2（V3, 0）,则A/Fi = （一小一回，yo）9 MF2 = （y3xo9 -yo）.:话.就<0,，（一小xo）（*/3 xo）+yo<O, 即看一3+M<0.丁点Af（x0,州）在双曲线C上, 2yo= 1,即焉=2+2琳 2+一3 + jo<0,）一乎勺（）坐【答案】【名师指导】1,求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量Q,6C的方程或不等式，利用，=/+房和e=£转化为关于e的方程（或不等式），通过解方程（或不等式）求得离心率的值（或范围）;b2 .求渐近线时，利用/=/+反转化为关于* b的方程.双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：=±-= a.求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于，b, c的关系式，结合c2 =/ +序，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程.3 .求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：一提取根据题设条件，提取a,b或a,c或6, c的关系 二列式结合双曲线的几何性质及d二+列方程或不等式_J 'J0 r三求解修解方程或不等式，求出q",c或的值或范围得结论:题型1双曲线的标准方程22o【例1-1】已知双曲线Ca一本=1（。0,80）的渐近线方程为产土产 且其右焦点为（5,0）,则双曲线C的标准方程为（）2 22 ，A.9 16-1B.6 9- 3 4-1口,4 3-1h 3Y* 2 * 4 * * 7【解析】选B 由题意得"=定，=/+序=25,所以。=4, b=3,所以所求双曲线的标准方程为会一【例1-2】与椭圆亍+产=1共焦点且过点尸（2）的双曲线标准方程是（）x2 9B±-户12D. x2一号=1【解析】选B 法一：椭圆怖+），2=1的焦点坐标是（±小，0）.92设双曲线标准方程为，一/= 1（。0, /?0）,因为双曲线过点P（2,l）,41所以了一讲=1,又/+ = 3,解得片=2, b2= 1,所以所求双曲线标准方程是3y2= 1.72法二：设所求双曲线标准方程为三十占=1（1在4）,4 Z 1 X41将点P（2,l）的坐标代入可得=；+=7=1,113 9，SABFiF2=yX5X3Xsin 8=5X5X3X=-JJJ Jy 2(3)因为尸是双曲线?一方=1的左焦点，所以(-4,0),设其右焦点为H(4,0),则由双曲线的定义可得 -r I| 尸 F| + |%| = 2Q+|PH| + |%|，2Q+|AH|=4+d(41)2+(04)2=4+5 = 9.【答案】(1)C (2)1 (3)9【跟踪训练2-1】已知ABC的顶点A(5,0), 3(5,0), ABC内切圆的圆心在直线尤=2上，则顶点C的轨迹方程是()y2 x1B.：F=l(y>2)?2D» 1【解析】选A 如图，ABC与内切圆的切点分别为G, E, F.AG = AE=1, BF = BG = 3, CE = CF9 所以|C4| 一 |C3| = 7 3=4.
