黑龙江省哈师大附中2021-2022学年高一下学期4月月考试题（解析版）.docx

黑龙江省哈师大附中2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题一、单选题（共8小题，满分40分）.在 AABC 中，q = 4, A = 60。，C = 75。，则b 的值为()D. 2百+ 1A.皿5B. 2 + 2后C. 2a/631 .已知向量丁 = (2,3), 5 = (3,2),贝!|上一回二()A. a/2B. 2C. 572D. 502 .已知|初=4, |b|=3,则向量M与6的夹角是（ ）A. 30°A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3 .设复数Z = Q +切（其中、i为虚数单位），则“ =0”是“Z为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件4 .在 A43C 中，lg（sin A + sin C） = 21g sin B - lg（sin C - sin A）,则 A/WC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形.在AABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A. = 10, A = 45。, C = 70°B. a = 30, = 25, A = 150°C. q = 7, = 8, A = 98。D. a = 14, h = 16, A = 45°5 .骑自行车是一种环保又健康的运动，图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆。（后轮）的半径均为VL AABE、ABEC. AECD均是边长为4的等边三角形.设点。为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，衣丽的最大值为（ ）A. 48B. 36C. 72D. 60/. | ex + 也 |= J(6 + X,)2 - Jl + %2 +2/tcos。= /(A + cos)2 + -cos20 ,.'2 g R ,.4 = cos0,1年+几,1的最小值为VT一 cos?。,. I 1 +|的最小值为9，Jicos?。=，解得 cos3 = ± 9 即 e =火或 e =，当。=工时,3当。=工时,316 + % |= Jl +1 + 2 cos 6 = /3 ， 4【答案】ABD12 .【解析】因为3。为3的平分线，B = -,3jrS jr所以 NABO = NC3O = , BD = BC = 2,则 NC = N5OC = ,由正弦定理得空=空=2夜，由正弦定理得空=空=2夜，sin A sin C124所以AB = 2挺xsin2 = 2&x/+遍= g + l ,= -ABBC sin ZABC = -x"ax2x*挈，C正确;若BD = BC = 2, A = -,由正弦定理得2R = 4一=义=2及, 4sin A y/23所以AABC的外接圆半径B错误；若BD = BC = 2,由正弦定理得也=,卫=-°；八兀 sin ZADB sinc；n 兀 sin ZCBD sin因为NAD区与NBQC互补，所以 sinZA£W? = sinZBDC ,= - , A, D 正确.DC BC 2【答案】ACD三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.【解析】OAA.OB .解得m =.2【答案】-214 .【解析】口5的夹角。为钝角又向量 M = (x, 2x)， b = (-3%, 2) , ，cos 9 = &' :船 <。团闻 V5 |x|-V3x2+4即一3x2+4xv0解x<0,或3又.当x =时，与B反向，不满足条件 3I14故满足条件的X的取值范围是(-8,0)U(-, +00)【答案】(-00,0)U(1, +00).【解析】设 AB = /z,则 3C = /n BD = /h,ABCD中，/CBD = 30。, CD= 100m,由余弦定理，可得 10000 = /? + 3/-2/.V3/?-, 2./z = 100,即AB = 100m.【答案】100.【解析】A3。中，由余弦定理得ND? = 28 = 4 + 4324A3x(,),2整理得入笈+243 24 = 0,解得AB = 4, ZABD = a,由余弦定理得cos。=42 + (2 J7)2 *2x4x2775万 1TV3 V21 5721 3721cos a =1=282814_jr所 以 sin(a + ) = sinz +所以 AABC 的面积 S3Csin(a + ¥) = Lx4x= 66 .23214【答案】66 四、解答题（共6小题，满分70分）.解：(1).平行四边形ABCD中，AB = a,AD = h,H,MAD, DC的中点，BF = -BC, 3. AM = ADDM = AD + -DC = AD-AB = b+-a, 22223262326HF = AF-AH = AB-BF-AD = a + -b-b=a-b ;(2)万 |=3,出|=4, M 与5 的夹角为 120。，.无 5 = 3x4xcosl2()o = -6,- 11-> 19 111AM - HF = (Z? Hq) (qb) =crb Hci - b26261218.解：(1) AABC中，角A、B、。的对边分别为a、b、且 sin3 = asin A + (c )sinC .所以 =/ 十一 a)c,整理得 cosB = "+c"=,2ac 2由于：0v3兀，故3 =乙. 3(2)3sin C = 2 sin A ,由正弦定理可得：3c = 2a,.,/18。的面积为66 = !。5由8 = '4(?,解得：ac 24, 24二由角翠得：。=6, 。= 4,由余弦定理可得：h-yja2 +c2 -2accosB =小36 +16-2x6x4xg = 2近.19.解：(1). AP=PB ,. OP = OA + AP = OA + -AB = OA-(OB-OA) = -OA + -OB,x=y = -.22222(2)以O为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则 A(2,0), B(0,4), A后二 (2,4),设尸(,y),则 A户= (x-2,y),x 2 = -24y = 4Ax = 2 2%y = 4A P(2-22,42),?. PA PB = 2/1(22-2)-42(4-4A) = 2022 -202 = 20(2-)2 -, 24,.,P为线段AB上异于端点的一点，.0v2vl ,?. 20 x (1 -1)2 -1, 4. pfi < 20 x (1 -1)2 -1 ， §P -5 PAPB<09 2 2424故万丽的取值范围为-5 , 0).20.解：(1) v /n = (2sin ,1),/? = (,cos),且用/万， 2 2 sin - cos - = -, f(x) = m = sin-bcos-，22 222即/(幻=±义；即/(幻=±义；而(sin+ cos)2 = 1 + 2sin cos=, 2222 2则 sin + cos = ±222(2)已知 acosC- - c = b , 2由正弦定理得：sin Acos C +sin C = sin B， 2又 sin B = sin(A + C) = sin Acos C + cosAsin C ,化简整理得：cos A =走，2八 a4兀八 c 5兀兀 37127rO v A v 兀,A ,0 v 3 < 9 < I < 664 2 4 3由(1) 知/(B) =+ cos = &sin(? + ：),所以当0 +工=工时，sin(0 +当取得最大值1, 2 4 22 4故7 (5)的最大值为四.21.解：(1) ,/ cos2 B 4- cos2 C - cos2 >4 = 1 - sin Bsin C,sin2 B + sin2 C - sin2 A = sin Bsin C ,由正弦定理得，h2-c2-a2=bc9故 cosA = X"2bcbe _ I 2b2,由A为三角形内角，得4 =巴;3(2) ,： a = 6，3 = Z72 + c2 -2Z?ccos = b1 + c2 -be = (b + c)2 -3bc ,得 3 = (b + c-3bc. (Z? + c)2 (/? + c)2 =, 44. +。,2石，当且仅当b = c时取等号,又 b + c> a = 6 , :.a + b + ce (273 , 3g.即AA3C的周长的取值范围是(2G, 3a/3.cc 左刀 /, c Z?2 + c2 - a日 1 7 . a 2/?ccosA22.解：(1).S=,可得一/?csinA =,424/. sin A cos A > 可得 tan A = 1, . A £ (0,兀),A =工,: a =娓,b = V2 ，4 由正弦定理一=上，可得sin3=aa=二-=逅, sin A sin Ba6又.,a>b, 6为锐角，/.cosB = Vl-sin2B =.6.aJ,4sin(A + 8) + sin Bcos B + cos(B - A)71兀=sin(B + ) + sin B cos B + cos(B)44V2 . D V2 d D D a/2 D V2 . D=sin B dcos B + sin ncos B + cos B dsin B2222 =V2(sin B + cos B) + sin Boos B ,令 f = sin B + cosB ,则 t2 = 1 + 2sinBcosB , .原式=，/+"_j_ = j_。+ 血)2_。，?e(0, V2, 22 22当f = 3时，b = -9此时，原式的最大值为2.4278.已知AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,且cosA = .M为AABC内部 8的一点，aMA + bMB + cMC = Q , AM =xAB+yAC 9 则 x+y 的最大值为（）4 551A. -B. -C. -D.-5 462二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）9.已知O, N , P, /在A43C内，则下列说法正确的是（）A.若|砺|二|砺|二|4| ,则O是外心B.若pApB = pBpC = pC.pA,则p是垂心C.若丽+福+入右=。，则N是重心D.若而./=恁.厉=丽后=0,则/是内心10.在AABC中，角A, B, C的对边分别是，b, c ,若"丽十廿一°2 二/市。，acosB + hsinA = c ,则下列结论正确的是（）37rA. tanC = 2B. A = 4C. h = 42D. AABC 的面积为 6同11.已知4、62是两个单位向量，时，1弓十几4|的最小值为火，则下列结论正确的是（）A. q、e2的夹角是:C. I + e2 |=B. q、e2的夹角是当D. | q + 6 1= 112.在AABC中，若3 =殳，角5的平分线瓦 交AC于。，且瓦 =2,则下列说法正确的 3是（）A. AB:BC = AD:DCB.若BD=BC,则AA3C的外接圆半径是2加C.若BD=BC,则AA5C的面积是三走2D.若BD = BC,则丝=避卫DC 2三、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分).已知向量 0A = (1,2), OB = (3, m),若。贝1J 帆=.13 .若向量M = (x,2x), B = (-3x,2),且M、6的夹角为钝角，则x的取值范围是 .14 .如图，为了测量河对岸的塔高选取与塔底3在同一水平面内的两个测点。和。， 测得CD = 100m,在点。和点。测得塔顶A的仰角分别是45。和30。，且NCa) = 30。，则 塔高AB为 m.15 .如图所示，在平面四边形A3CD中，AfiCD是等边三角形，AO = 2, BD = 2不，/BAD =,贝IAABC的面积为.四、解答题(共6小题，满分70分)16 . (10分)如图，平行四边形ABC。中，AB = a9 AD = h , H , M是4), DC的中点,33bf=bc ,(1)以g, 5为基底表示向量而7与后R；(2)若|利=3,出|=4,日与B的夹角为120。，求加加17 . (12分)在AA3C中，角A, B , C所对的边分别为，b , c ,且Z?sin B = 6/ sin A 4- (c - a) sin C .(1)求 B；(2)若3sinC = 2sinA,且AABC的面积为66，求b.18 . (12分)如图，在&9AB中，P为线段上异于端点的一点，且OP = xQ4 + yO5.(1)若 AP=PB,求 x, y 的值;(2)若丽=4旃，|。4|=2, 0B |=4,且函与丽的夹角为90。，求丽丽的取值范围.19 . (12分)已知向量比= (2sin:1) , n = (,cos),函数/(%)=身”.222(1)若沅/万，求/'(X)的值；(2)在AA3C中，角A, B , C的对边分别是。，b , c ,且满足acosC + #c = ，求/(5)的最大值.20 . (12分)在锐角AABC中，角A, B,。的对边分别为。，b, c , cos2 B + cos2 C - cos2 A = 1 - sin 3sin C .(1)求A；(2)若q = 6，求AABC的周长的取值范围.7 22'.(12分)已知八43。的内角八，B,。所对的边分别是a, b, c,其面积十一 4(1)若 a = n , h = 2 ,求 cos B ；(2)求sin(A + B) + sinBcosB + cos(3-A)的最大值.【参考答案】一、单选题(共8小题，满分40分).【解析】由题意得1 = 45。,由正弦定理得 = 上，即之=冬，所以人二还.sin A sin S <3 V232 F【答案】A.【解析】v 5 = (2,3) , 5 = (3,2), ?. a-b = (29 3)-(3, 2) = (1, 1),"1|=J(_1)2+12 =日【答案】A.【解析】.恒|=4, |5|=3, |-昨质,设向量M与B的夹角为6, 340,兀)，则 0-5)2 =/ +户一2|利|5|vose = 16 + 9 24cos8 = 37，求得cos9 = !，.9=120。.2【答案】c.【解析】复数z = a +历(其中。、i为虚数单位)，当q = O,且hwO时，z为纯 虚数，则“ =0”是“z为纯虚数”必要非充分条件.【答案】B.【解析】/ lg(sin A + sin C) = 21g sin B - lg(sin C - sin A) 9可得 lg(sin4 + sinC) = lg巾 ', 即有：sinA + sinC =沿 ', sin C-sin Asin C-sinA/. sin2 B = sin2 C - sin2 A ,由正弦定理可得：b2=c2-a则该三角形的形状是：直角三角形.【答案】A6.【解析】对于A,根据三角形内角和关系可得5 = 180。-45。-70。= 65。，故只有一解；1. a 25 x v对于B,利用正弦定理可知sin 3=_2a>b,故3只有一解；a 3012对于C,利用正弦定理可知Sin3 = ". sin" = 8Xsin98。>1,无解；a7,.4 1OX4 6对于D,利用正弦定理可知sin 3="力口人=>因为大于，所以3有147两个值，【答案】D7【解析】以点。为坐标原点，D4为x轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(-8,0),C(-2,2j3),点。在以。为圆心，6为半径的圆上，可设P(百cosdgsin。)， AC = (6,2V3), AP = (V3 cos 6 + 8, V3 sin 0),/. AC - AP = 6(3 cos + 8) + 6sin = 63 cos+ 6sin 4- 48 = 12sin(+) + 48，8.【解析】/aMA + bMB + cMC = Q,. a AM = bMB + cMC = b(AB - AM) + c(AC - AM, h AM=AB +AC,a+b+ca+b+c5AM =xAB+yAC ,.x =-,>=-, a + b + c a + Z? + cb + c 1x + y =,a+h+c a +h + c71S由余弦定理可得 a2 = A? + c2 2/?ccos A = Z?2 + c2 be = (h + c)2be ,44由死，他血(当且仅当人=C时取等号)可知，j.g+cy"X止互= (b+c)2 44416a 1b-c 41 44二x+ % =,即x+y的最大值是一.-+ 1 554【答案】A二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）9 .【解析】根据外心的定义，易知A正确；XtB,PB (PA-PC) = PB CA = 0PBlC4,同理可得：PAA.CB, PCA.AB,所以P是垂心，故B正确；对C,记AB、BC、C4的中点为。、E、F ,由题意诉+防=2"方=可仁，则|NC|=2|A©|,同理可得：|24|=2|N©, |N5|=2|NE|,则N是重心，故C正确；对D,由题意，CB工/A, ACA.IB, BALIC,则/是垂心，故D错误.【答案】ABC10 .【解析】若4 = Jli,/一o'=qsinC,日 a1 -i-b2 - c2 ab sin C sinC可得 cosC =，2ab2ab 2即有tanC =、£ = 2,故A正确;cosC由 a cos B + /?sin A = c 可得 sin Acos B + sin Asin B = sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B ,sin 4即为 sin Asin A = cosAsin B,因为 sin B > 0 ,可得 sin A = cos A ,即 tan A = 1,cos A即A =工，故B错误;4sin B = sin( A + C) = (sinC + cos C)=1、3/10H7=)，V5 10由正弦定理即£=血解得八30故c错误;210三角形 ABC 的面积为LqbsinC = x V10 x 3a/2 x2j= = 6 ,故D正确.【答案】AD11 .【解析】设q ,的夹角为e（6£0,兀）,q、e2是两个单位向量，.teg =lq匕|cose = cos。,