二轮难题复习 等式与不等式压轴解答题 （教师版）.docx

二轮难题复习等式与不等式压轴解答题1 . 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化（将二次项系数化为正数）；二判（判断对应方程的符 号）；三解（解对应的一元二次方程）；四写（大于取两边，小于取中间）.解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：二次 项系数，它决定二次函数的开口方向；判别式它决定根的情形，一般分/>0, / =0, /<0三种情况；在有根的条件下，要比较两根的大小.2 . 一元二次不等式的恒成立问题。>0,（DoF+云+c>0（a W 0）恒成立的条件是一 lJ<0.（2）qP+法+cvo（q w 0）恒成立的条件是.分式不等式 5>0(<0)/(x)g(x)>0(<0)；<? w段)g(x)段)g(x)20(W0)O<Ar)g(x)20(W。), ga)wo.3 .基本不等式 （1）基本不等式：（a, b£（o,+8）,当且仅当Q=b时取等号.基本不等式的变形：a2 + 2e2Qh（Q, /?WR）,当且仅当Q = Z?时取等号；仇Q, /?£R）,当且仅当 = /?时取等号.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式 中“正”、“定”、“等”的条件.4 .线性规划可行域的确定，“线定界，点定域”.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.（3）线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多 个.例题L对于函数/和g（x）,设集合A = x|/（x） = 0,x£R,3 = x|g（x） = 0,x£R,若存在,使得住一马区攵（左20）,则称函数 /(x)与g(x) “具有性质M(%) ”.【点睛】本题考查集合新定义的相关问题，能否明确新定义中需要满足的条件是解决本题的关 键，考查累加法和取特殊值法的应用，考查通过基本不等式求最值，考查推理能力与 计算能力，考查分类讨论思想，是难题.例题5.若实数列%满足条件4+4+2之2%, = 1、2、L ,则称可是一个“凸 数列二(1)判断数歹Ua“=r +和2=(9)是否为“凸数列”？(2)若%是一个“凸数列”，证明：对正整数底2、，当14女根时，有n-m m-k/,、(3)若%是一个“凸数列”，证明：对有4+i V 1 4+-4?+1. nJn【答案】(1)数列%不是“凸数列”，数列2为“凸数列"；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】(1)根据“凸数列”的定义判断可得出结论；(2)由%1+以+1 2 24(4=2,3,)可得出以+-4之为-见_,利用累加法结合不等式的基本性质可得上区之%+勺，以及再结合-%?。可 n-mm-k证得结论成立；(3)先验证当i = l、i = 时，所证不等式成立，然后再分析当1，时，结合(2) 中的结论证明所证不等式成立，综合可得出结论.【详解】(1)因为% + q+2 2+ “+ ( + 2)- + (+ 2)+ 2( + 1) 2( + 1) = 2 0,所以数列%不是“凸数列。/o y /n Y+2/ o /?+1,3、"，Q1因为d+dc也?= " + -2 -= - - 1 + -3 =- - 0,U； I4J4所以数列出为“凸数列(2)由题意得%+%之2为(2 = 2,3,)，所以为2%一Q人,而凡 一 % = (% 一 ) +(4i + q-2 ) + +(4向4" 5一根)(用4)，又 am %=(%,一册T ) + (% + /一2 ) + 讨(%+1 %) <(相一外( 一 41 )，所以4=4册-册故殳二%证毕； m-kn-mm k(i A i(11(3)当i = l时,4+ < 1 q+ 。+即 < 1 %+ 。+1， 由（2）得4之（一1）3一%），所以也2«（一1）4+用，（1 、故出< 1 %+ 4+i，成立；/,、当i = 时，aM < 1 q+ +即。+ W4用，显然成立; n）n当Iviv时，由（2）得四一2位二幺， 所以匕+1 U+i 之(n-i)ai+x-(n-i)a,a +一。+1 成立.a +一。+1 成立.综上所述，对有14十一。所以次% <均田+ （ 一 i）4 ,故aM <【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导、求解.本题中，根据“凸数列”的定义“4+4+2 >24J结合作差法、不等式的性质进行推理、证明不等式成立，并在推导时，充分利用已有的结 论进行推导，属于难题.判断函数/(x) = sinx与g(x) = cosx是否“具有性质并说明理由；(2)若函数"x) = 2i+x 2与g(%) = /+(2 加)-2" + 4"具有性质M”,求实数加的最大值和最小值；(3)设。>0且awl, b>l,若函数/(© = 优+log产与g(x) =-优+ 1呜/“具有性质 bM“，求;%-2的取值范围.【答案】/(%) = sinx与g(x) = cosx不具有性质M(1),理由见解析；19最小值为2；最大值为(3)答案见解析.【解析】【分析】(1)求出/。)、g(x)的零点，再结合定义判断作答.(2)利用零点存在性定理求出了(x)的零点，结合定义求出g(x)的零点所在区间，再借助二次函数零点分布求解作答.(3)利用指对数函数的性质，分类讨论求得49的关系式，再借助非线性规划求解作答.(1)不具有性质设 A = Msinx = 0,x£R,B = |x|cosa: = 0, A： G RJ ,任取Bp sin Xj = 0 ,贝1玉=匕),左£2,任取gpcosx2 = 0 ,则7l即 Xj | = (K| k)7T 所以/(x) = sin x与g(x) = cosx不具有性质M (J).(2)设 A = x al +x-2 = 0,xgR , B = x x1 +(2-/7t)x-2m + 4 = 0,xe Rj,函数/(x) = 2i+x-2是R上的增函数，显然有/=。，即x = l是方程不一+工-2 = 0的唯一解, 又函数/(x)与g(x)具有性质”(2),则存在%=1eA, x2eB9使得昆-1<2,因此一143 ,即方程+(2-根)x-2m+ 4 = 0在区间一1,3上有解,有2=x)+2x；+4=x,+,令马+2 =，£1,5,则机= / + &-2 在1,2上递减，在 x2+2 %+2t2,5上递增, 1Q则当，=2 ,即=0时，mmin = 2,当/ = 1时，m = 3 ,当，=5时，m =，则当19t = 5,即乙=3 时，7?imax =,j)19所以2的最小值为2,最大值为？(3)设 A = J x -4 V + log1 % = 0, x e R > , B = -ax + loghx = 0, % g R因为函数/(%)与g(x)具有性质M，则存在西eA, "B，使得人-司<1,由 得，10gl 玉=>。，又 b>l,则。<不<1,由修 £3 得，log/, x9 = aX2 > 0 , b则> 1，当Ovavl时，由不 <无2得，淖 <优、即logb -2 < log.再,有log/2%<。，则 b0 < x2Xj < 1,0 < Xj < 1x7 > 1显然%，电满足2作出此不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中x2 -X| < 10 < x2x1 < 1)I(i,i),c(o)，1 + a/5 1 + 54-r-22令:玉-/=Z，即表示斜率为纵截距为-Z的平行直线系, 22/作出直线平移直线4,当它分别为过点4 8时的直线44时，其纵截距分别最大和最小, 即Z取最小和最大，则Zm-学，2而=-；，因此"一“（学4乙L41当。>1时，由石 <工2得,屋2>，即log）工2 > log,玉，有log/>0,则冗2%>1, b0 < Xj <1x? > 1显然%,%满足作出此不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中x2 -x < 1x2x > 14 亨，1），MD，W，2）令;X-=z,即z表示斜率为纵截距为-Z的平行直线系，作出直线/。：=；F，平移直线4,当它分别为过点。，3时的直线时，其纵截距 分别最大和最小，3113 1即Z取最小和最大，贝5，Zmax=-,因此”马£（）,乙乙乙乙 乙所以当0<。<1时，看的取值范围是（-甘工一3，当。>1时，-2的取值范【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形 结合的方法解决一元二次方程的实根问题.例题2.某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源,如图，8c是边长为6 的等边三角形，边5。的中点/处为固定光源，£、尸分别为边A3、AC上的移动光 源，且ME始终垂直于“，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.A(1)当b为边AC的中点时，求线段石方的长度；(2)求/XEFM的面积的最小值.【答案】(1)哼(2) 54.y【解析】【分析】(1)画出符合要求的图形，求出"/=1AB = 3, ME = 3sin60o = ±8,相乘求出面 22积；(2)辅助辅助线，设b = x,利用三角函数与相似表达出EM,根，表达出面积，利用判别式法求解最值.(1) 当/为边AC的中点时，因为M为边8C的中点，所以Mb且“尸=,45 = 3, 2而ME始终垂直于"尸，所以故A/E = 3sin6()o = £,2由勾股定理得：EF = yjMF2 + ME2 = J9 + =V 42即线段斯的长为区 2(2) 过点已 厂分别作EGJ_3C于点G, FHLBC于点、H,设Cb = x,则/t/=x,c/=_Lx, 22MH=3-1x,由勾股定理得： 乙、2MF = dMH'HF2 =XI2 J 3x + 9，因为所以N3ME+NCMF=90。, 因为NM/77+NCMF=90。，所以/BME=/MFH,所以aEGMaMHF，所以所以EM EG MGMF MH FH所以EG =（6-x）EM2dxi 3x + 9EMEG MG即 /x2 -3x + 9 3-x 2g _ 拒xEM 2&3x + 9 'V3x2因为 BG = 2eG, BG + GM=3, 3（6-x）43EM瓜 EM 二F 6&13工 + 9 + 2 Vx2-3x + 9 -所以二3二心-3* J尤-3, + 9 ，所以EEM的面积为丁 =腔.收=工36&2-3x + 9 22整理得：3瓜2一（9G + 2,x + 27百6y =。,2，A =（96 + 2y-4x3G.（27g-6y）20,解得：54-277354 27百因为y。，所以y的最小值为254-276即面积的最小值为中【点睛】根据题干条件求解面积最值问题，要设出某边长，用次边长表达出其他边长，进而表 达出面积，再结合式子特点，选择合适的方法来求解最值，比如基本不等式，求导， 对勾函数，三角函数有界性等.例题3.如图，A5CD与ADEb是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直.(1)求异面直线AE与3。所成角的大小；BMEN(2)在线段3。上取点M,在线段A£上取点N,且=)=>，试用心y来表BDEA示线段MN的长度；在(2)的条件下，求长度的最小值，并判断当最短时，是否是异面直 线AE与的公垂线段？【答案】(呜(2)MN = J(x + y-if +(九一)2 +(y _,Q<xy< 2(3)|W| .=旦 MN是异面直线与的公垂线段I 1mm 3【解析】【分析】(1)利用8G/AE,可知/。田。为所求角，进而得解；(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，求出M,N的坐标，利用向量的模长公式， 即可表示线段MN的长度；(3)求出1MM的最小值，利用向量验证是否与AE, 8D垂直.(1)补全正方体，连接3C, DC9由正方体的性质知3G/AE,则异面直线AE与BD所成角，即为直线BG与BD所成角ZCBD7T又G8。为等边三角形，故/C出。=飞TT所以异面直线AE与所成角的大小为如图，以。为原点，DADCDE分别为XJZ轴建立空间直角坐标系,BMEN.1I甘,IBD EAM(HO), N(yO,l y)0 < x, y < V2则= (x+y-l)2+(%-l)2+(y-l)2 ,(3)(3)当。<x,y( 血，要求 |MN| = J(x+y_l+a_l)2+(y_l)2 的最小值即求z = (x+ y+(x l+() 1)2的最小值由(X+丁-1)2 +(xT +(,-)/+(t +(-i)2>(x+y-l)-(x-l)-(y-l)2=l,当且仅当x = y = 3时，等号成立，MN .=立3m,n 3(1 1 (2H；.M -,-,0 , N -,0,-,U 3 )(3 3)又 A(1,O,O), £(0,0,1), 5(1,1,0), 0(0,0,0)uuir (111、.则 MN=, AE = (-1,O,1), BD = (-1,-1,O)、J J? J) yUUU UUUlUUU UU1U：.MNAE = b， MNBD = 0,所以MN是异面直线AE与BD的公垂线段.例题4.已知集合A = ,%中的元素都是正整数，且苗4集合A具有性质A7：对任意的MywA,且工。九都有卜-引2孙25（1）判断集合123,4是否具有性质M；1 1 、(2)求证：24 4n-l25 ，(3)求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.【答案】(1)具有性质M； (2)证明见解析；(3)集合A中元素个数的最大值是9.【解析】(1)本题可通过验证集合123,4是否满足|x-y| 2蓑得出结果；(2)本题首先可根据题意得出。川-4.？ 陪，通过转化得出二？白，最后通过 25% 。川 25累加法即可证得结论；11 71-111、n-i(3)本题首先可根据2* 得出 <26,然后根据之二得出4 an 25ai an 2525 >(n-i)i,最后分为1()、49两种情况进行讨论，通过取特殊值法以及基本不等式的应用即可得出结果.【详解】|1一2|?崇2-4|?马, |3- 4 ?252-4|?马, |3- 4 ?253' 425，因为由上述式子可知集合123,4满足卜-y >所以集合1,2,3,4具有性质(2)由题意可得7+19 44+1 , 25(/ 1,2,3,1)且4 <生 <,<。，则 ai+ - %?an-1 an 2511 n-i,即丁丁一(3)因为集合4 = 4%,4中的元素都是正整数，所以11n-因为之不"4 afl 251 1 .n-i71-1 , < 26 ,251 n-i同理可得之为丁，则一>不-，q an 25 ai 251 VI j因为所以二>，25>( )，当，=1,2,3,1都成立,I ND当,10时，令，=5,贝455)x5之25,不成立;当且仅当-i时等号成立,当且仅当-i时等号成立,当<9时，(一= <25V 7 I 2 J 4此时25 ，恒成立, 综上所述，49,集合A中元素个数的最大值为9.