专题3 圆锥曲线中的长度问题（解析版）.docx

专题3圆锥曲线中的长度问题一、考情分析圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问，常见的有焦半径、弦长、 两点间距离、点到直线距离、三角形周长等，求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线距离公 式、函数求最值等.二、解题秘籍（一）利用两点间距离公式求线段长度若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求，可直线利用两点间距离公式求线段长度.【例1】（2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考）在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆222叱）的右准线为（定义：椭圆C的右准线方程为其中c =.点P是右准线上的动点，过点P作椭圆C的两条切线,分别与y轴交于M,N两点,当P在x轴上时,|OP|=|MN.（1）求椭圆。的方程;（2）求|MN|的最小值.【解析】（1）由题意可知，当。点坐标为（4,0）时,|OP|=|MN|=4, 不妨设点M在点N上方，则例（0,2）,N（0,-2）,1y = -x-2,i2所以直线NP:y = zX-2与椭圆C相切,将直线NP与椭圆方程联立,222y消去 X整理得(4/ + /卜2 _Sa2x + 6/ _= 0,则 = 64/ - 4(4从 + / ) (16/ 4/廿)=0,整理得 4/ + / = 16,2又幺=4,力=/+。2,解得/=4或/=16 (舍去)，所以从=3, c22即椭圆。的方程为土 +上=1；43(2)设尸(4J),切线方程为 y = Z(x 4) + z = 6 44 + 7y = kx-4k-ht,将切线方程与椭圆联立2= 1,43消去 乂整理得(4公 + 3卜2 + sk(t-4k)x + 4("4kf-12 = 0,贝A = 64k2« 4攵成 一 4(4左2 + 3)4。- 4Z)2 12 = 0,所以直线。的方程为y = -1x ,k产小+ 1）,2所以 1 得% =-4k所以"Wr因为点。恰好是片与A的中点，所以玉=2xo+l = _|,y =2yD=- k +1k 十 ii （ t2 _i V （ 2k V因为点A在椭圆上，所以=+/=12（ k2 +） M解得*=±1,y = x + ,当 = 1 时，由，得 3Y+4x = 012，所以玉=0,x2 =，所以 AB = Jl + k2 x21 = 5/2同理左二一1 时,|AB =-y/22. （2023届福建省部分名校高三上学期9月联考）已知两点M（04）,N（0,4）,动点P在x轴的投影为。，且 可雇两=3而；记动点P的轨迹为曲线（1）求。的方程.（2）过点F（2V6,0）的直线与曲线。在丁轴右侧相交于A, 3两点，线段AB的垂直平分线与1轴相交于点H，试 问段是否为定值？若是,求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】 设尸（工»）,则。（乂0）,两=（一九,-4y）,丽=（x,4 y）,=（0,y）.因为丽:.丽=3而；所以Y + y216 = 3y2,22故。的方程为二=1.168（2）由题可知直线45的斜率一定存在,且不为0,不妨设直线A3的方程为尸女卜一2遥）,A（A Y ）, 3（%,%）.联立方程组y = k(x-2a)22土一匕=1116 8，消去 y 整理得(1 2/)/ +-48/ 16 = 0,A = 384Z? + (1 2 产)(192/ + 64)> 0-R、氤之1则% +/=苦h>°，整理得左2>3.1一2攵248216 nXX9 =Z > 01 21-2公% + _ 4cz2 M + % _ 2遍k2 一 1-2/ ' 2 一1-24 2，则线段AB的垂直平分线的方程为y + Rr = -； %+-2k k I-2k令y=o,得x = -5"，则” 1 2/27665/次 22何1 +切I明=HT1 1 2攵 2=Jl + k2-8>/6Zs-1 2攵 22 )482216r4-384k4 + (1-2Z:2)(192 公+64)(1 2/)8(1 + /)(I，4-2k2HlI AB _ 8 _2遥 则布=该二亍.粤是定值，该定值为城. 切|33. (2023届四川省巴中市高三上学期考试)已知椭圆。:3. (2023届四川省巴中市高三上学期考试)已知椭圆。:22a +的左、右顶点分别为A、B,在椭圆C上,且直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为(1)求椭圆。的方程;若圆/+ 丁 = 1的切线i与椭圆。交于p、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线I的斜率.，解得。=2,【解析】（1）由椭圆可得4-。,0）向逮,0）,所以 因为椭圆经过点小，亨卜故得到，京=1,解得 =1,所以椭圆的方程为? + V=i（2）当切线/垂直工轴吐RQ的横坐标为1或-1,由于椭圆的对称性,不妨设RQ的横坐标为1,代入椭圆得:+ 丁 = 1解得> =土走，所以|p = V3 ；2当切线/不垂直无轴时，设切线方程为、=辰+加即京-y + m =。，m所以圆心到切线/的距离= 1 ,得加2 =尸+ 1 , J1 + F把丁 =履+加代入椭圆方程:+ /=i,整理得（4/+1）+8/7nx+4m2-4 = 0PQ = Jl + %2 J（X +4）2 _4尤42 = Jl + 公PQ = Jl + %2 J（X +4）2 _4尤42 = Jl + 公64k2 nr4（4疗-4（4攵 2 +1）2止+116（1 + 8）（4Z2/+1）_ 卜8（l + r* J辰病4-1（4攵 2 +1）24公+1设 4左2+1 = ，贝则 |尸。3x4Fx4（公+1）（4 炉+1）23575 + 3） $ + 2-、2=3k rr+ 1 =3设产（司，X ），。（2， ），则% + % = 弊，=到一：， ，K十14K十1所以|P0<2,综上所述,| PQLx = 2，此时 =3,因为必2 +1 = %所以直线/的斜率为k = 土显I 111 kiX2【解析】设“（石,乂）川区）,。（如为）,则;，1 1116 12两式相减可得,（% +%）（% /）+（, + %）（% %） = o，而芭 + % = 2% x + % = 2yo， 1612则有次。（/-）+）'。（）1一匕）=（），又直线mn斜率kMN =入二2=3,因止匕% = -lx043% 一4所以直线。的斜率%。°=& = 一/4（2）当直线"N不垂直于x轴时,设直线MN:y = " + m（相。0）,加（%治），以4乂），y = kx + m 3x2+4/=48y = kx + m 3x2+4/=48消去y并整理得(3 + 4公卜2 +8Z7nx + 4/n2 48 = 0.8km _ 4m2 - 483 + 4左2，毛% 3 + 4.而为 +、4 =/(尤3 +3) + 2机=6m3 + 4公，即尸8km 6m3 + 4 /3 + 4 /A = 64k2m2 -16 (3 + 4Z:2) (w2 -12)= 48(16A:2 +12 - m2) > 0, x, + x4 =因四边形。MPN为平行四边形，即讲=潴+苏,则点%当+4为 + %）,'8km V ( 6m Y又点P在椭圆上，则13 + 4攵2 J 13 + 4攵2 J，化简得加之=3 + 44之,满足 = 144m2 >0,+ - = 11612于是得X3+Z =8km -Sk4m2 -48 4m2 -483 + 4 /=方，玉= 3 + 4 /=则|MN= V1+F. Ja+zA-454 =-"+ 必2 匡二Z邈己12 2V m m=2gm2 .产-/12 = 6二 g (6,4同 V mV m当直线MN垂直于x轴时，得点P（4,0）或P（-4,0）,若点P（4,0）,点MN必在直线x = 2上,x = 2由02 一彳。得 =±3,则l"N|=6,若点P（T,0）,同理可得|MN|=6,I3x +4y =48综上,I MN I的取值范围为6,48.5. （2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线C:22六二1（40力0）的离心率为技点43,-1）在双曲线。上.（1）求双曲线。的方程；点A,3在双曲线C上，直线Q4/3与y轴分别相交于M,N两点，点。在直线45上，若坐标原点。为线段 MN的中点,证明：存在定点心使得|。用为定值.22【解析】（I）由题意，双曲线uj-2=1的离心率为VL且p（3,-1）在双曲线。上, a b91 -1滔一再12?可得3 = 6，解得/ =8/2 =8,所以双曲线的方程为三-E = l.a88=a2 +b2（2）由题意知,直线的AB的斜率存在,设直线AB的方程为了 =依+”,丫 =+ m联立方程组 2 C，整理得(1 /)/2 的优根 28 = 0, x =8 则 A = (-2km)2 -4(1-k2)(-m2 -8) = 4(m2-8Z:2+8) > 0M1-Z:2 0,设 , y), B(x2, %)，则 % + Z =泮，%无2 = 2f， 1 Ki K直线Q4的方程为> + 1=*三(-3),Xj -31 3 y. + 3同.小 1 3y +3令x = 0,可得 y = t一-一丁，即 M(0,-1：), % 3%一3同理可得N(0,-1)，x2 -3因为。为MN的中点，所以（T-黄）+ （-1-登）=。.即一1一3(村 + 2)+ 3 1 + 3("2 + m)+ 3) = 0,可得(6Z + 2)X%2 一(3 + 9% 3( +x2)-18m = 0，即(2 + 8)(6 + 3左+ 1) = 0,所以m二一8或m+34 + 1 = 0,若加+ 3左+ 1 = 0,则直线方程为丁 =而一3左一1,即y + l = A（x 3）,此时直线A3过点*3,-1）,不合题意;若2 = -8时,则直线方程为y =辰-8,恒过定点。（0,-8）,所以忙。| =62+（-1-8）2 =屈为定值,又由P0D为直角三角形，且PD为斜边，所以当R为尸。的中点弓，-当时,|RQ| = |P* 叵22222（2023届北京市房山区高三上学期考试）已知椭圆。:=+与=1（"八0）的长轴的两个端点分别为 a b求椭圆C的标准方程;M为椭圆C上除A,B外任意一点，直线AM交直线x = 4于点N点。为坐标原点，过点。且与直线BN垂直的直线记为/,直线交y轴于点尸,交直线/7点。，求证：耨为定值.I I【解析】（1）由已知 =2, 乂 6 = £ = £ =, C = ，所以 =，202 =, a 22r2椭圆标准方程为工+ V=i；4丫2（2）设M（m，x）,m w。,则才+ 尤=1+4：=牝直线am的方程为y =直线am的方程为y =（一2）,令1得=条和虫4,枭）,二.+2 - 3%，BN 4-2 西+2/_1乳为=-产,直线/的方程是=一千2%3yl3y直线3M的方程为尸丹(x-2),令片0得 > =-上,即PQ-/), Xj z ZX1 - z所以% +2-x3%1 2，因为二+4人=4,故解得U-2）x = -62(%+2),即。6,2(%+2)、BPPQxp-xR|-6-0| 36. （2022届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟）已知斜率为k的直线/与抛物线V=4x交于两点,y轴上的点P使得 ABP是等边三角形.（1）若*0,证明：点P在y轴正半轴上;（2）当IOPI取到最大值时，求实数人的值.【解析】（1）设尸（0,05的中点为M（S）,A 与乂，A 未必，k= x%=2因为攵0,故直线A8的斜率存在，故一 y-yl -b,故 0,b故直线PM： y =-5b故直线PM： y =-54(尤 a) + b,故 p=b(a；2)因为的中点为力），故。0,故 所以点尸在y轴正半轴上.（2）当A5与工轴垂直时,P =。；当A8与x轴不垂直时，因为 ABP是等边三角形，故A3与 > 轴不垂直，故。> 0,人w 0.由(1)可得: y = _2(%_q) + b 即 PM : y = _”+(&+ 2)故P 0,故P 0,，所以|PM| =41 + a =& + =,b242V 7可得 丁2刀 + 2-4。=。,y1 =4x所以 = 16-4"> 0即b2 < 4a所以 = 16-4"> 0即b2 < 4a且 |叫=1 + ?><2儿因为 ABP是等边三角形，故|PM日网,故由二qJI + 0,整理得至匕时 <4,成立.2 V 443由）2 >0可得0<a<12.(。+ 2)-=(12"-"2)(。+ 2)-，其中o<。< 12.12设/= （12 2）（q + 2）2,o<<12,则八 a） = 02 2q）（q + 2 +2（12q q2）（q + 2）= -4（q + 2）（q28q 6）,当 0 < a < 4 + V22 时,/'（） > 0 ； 4 + 2722 < a < 12 时,/"（。） <。；所以在8,4 +后）上为增函数，在（4 + 2后,12）上为减函数，故当a = 4+后时，/的最大值为/（4 +后），此时 |_ ）12（4 + V22）-（4 + V22）/io+Z/22 ,U 3= V 3此时直线AB的斜率& ：即4=±1§4V22-21Ob -21（2022届上海市建平中学高三上学期考试）设实数kwO,椭圆O：E + = 1的右焦点为凡过歹且斜率为 62k的直线交。于P、。两点,若线段PQ的中为N点。是坐标原点，直线ON交直线x = 3于点M.y(1)若点P的横坐标为1,求点Q的横坐标;(2)求证：MFLPQ.PQ(3)求嵋的最大值.MF【解析】(1)因为点P的横坐标为1,由B+W=l, 6 2尸的坐标为(2,0).或1,一0亚当。的坐标为1,时,直线尸Q：°一 9Vy =-(-2)2-1 v 得。的横坐标为不2-1 v 得。的横坐标为不即y =x- 2),代入椭圆方程,/+3y(x-2) =6,即3*2一1。工 + 7 = 0,/当P的坐标为11,-丹7时,同样得Q的横坐标为:7 因此，点。的横坐标为22(2)联立方程组土 + 匕=16 2淇解为尸(g,X), Q(&, %)y = k(x-2)消去X得f+3/(尤_2)2=6,即(3尸+12_1242大+ 12公6 = 0.由尤 十 % =12 尸6; ,XX2 = I 3r + 1 1 2 3k2+1所以N的横坐标为土* = -, 2 3r + 1得N的坐标为6k2-2k*2+l'3/+工所以直线ON的斜率为，方程为V = -乙不 3k3k与直线x = 3交于点/3,一；.I k）故直线FM的斜率为-!，于是kFM稼。=-1,因此“产，PQ；24/(r+1)令 =3左2+1,由女w0,得">1,_2 _-3、4；_2 _-3、4；9 - 8CII7Z/HVG9 - 8+ 271 - 4即择J e（0,3,所以瑞的取值范围为（。，0，最大值为6 .9.（2022届江苏省南京高三上学期12月联考）已知椭圆C： 5 +与=1（人0）的离心率为电，右顶点为 a ”2A,过点5（）的直线I与椭圆C交于不同的两点MN,其中点M在第一象限当点M,N关于原点对称时，点M 的横坐标为（1）求椭圆。的方程；（2）过点N作x轴的垂线,与直线AM交于点P,Q为线段NP的中点，求直线AQ的斜率，并求线段AQ长度的 最大值.【解析】（1）因为6 =无，又02=/一力2,所以。2=4，所以椭圆c：± +年=1.246T当点M、N关于原点对称，此时直线/过原点，直线/的方程为y = ！x,所以/V2, aaO Q代入椭圆。的方程得f + f = 1,即/2/一8 = 0,所以片=4或/=2 （舍去） a a所以椭圆。的方程为L + y2=i4（2） 3（2,1）,由题意直线/的斜率存在,设直线/的方程为-1 =4。-2）,（%）”（,%），二;得(1 + 4)/+(8 左一16)+16 /一 162=0,8攵+ 16攵28攵+ 16攵216A216%bM，XrX2=-K4，且 A。直线加勺方程为 > =力（一）,令,则点的纵坐标为安 所以点。的纵坐标为二J，匕2）+% 所以直线怂的斜率为3 在 T六+含卜;, + £ +战1 1二2kH1 1二2kH.1 X, + x9 4k H!乙/QAR =坐,»b>0）经过点2 (-2)即直线AQ的斜率为-设直线。与x轴的交点为R,在RtAQR中,tan/QAH = ：,所以 乙乙.八 AR ,2a. rzAQ =< =2 J 5fcos/QAR 275，所以线段AQ长度的最大值为2 vL2210. （2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）已知椭圆+ £ =M（。,3）,离心率为受 2（1）求椭圆。的方程;（2）直线/：y = -1与椭圆。相交于AJ?两点，求瓦,I网的最大值.【解析】由已知得2 72 I解得 =3=3, ci b 1、/ 一-22因此椭圆c的方程为工+匕=1 ；18 9整理得12左2一8衣+产一3 = 0,设切线PM斜率为h，直线PN斜率为k2,7/ r _ a则M（0/ 44）,N（0j的），且匕+右=三，1312所以 | MN |= 4网-周=4,(%+8)2-4桃2 ,将 + & = F, k&= 3代入上式,整理得I MN |= ：777? > 4, 3123当，=0时,上述等号成立，即I MN |的最小值为4.（二）利用市市民-司求距离 设斜率为网存0）的直线/与圆锥曲线。相交于孙州）乃（MM）两点，则刈. 其中求咫一如通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|也一如=7h+x2）2-4x,x2,22【例2】（2022届陕西省安康市高三下学期联考）已知椭圆。: + * = 1（。八1）长轴的顶点与双曲线。：E = = 1实轴的顶点相同，且。的右焦点尸到。的渐近线的距离为亘.4 b27若直线/的倾斜角是直线y =（迅- 2）若直线/的倾斜角是直线y =（迅- 2）（1）求。与。的方程;X的倾斜角的2倍,且/经过点尸，与。交于A、B两点，与。交于M、ABN两点，求网.【解析】（1）由题意可得2=4,则 =2.b因为。的渐近线方程为 =土葭不即hx±2y = 0,椭圆C的右焦点为厂（“万,o）,由题意可得"Y4了=亘,（3人1,解得匕=6,）aO7 7222故椭圆。的方程为二十乙=1,双曲线。的方程为- j = l. 4 34 3（2）设直线y =（行-2）所以，直线I的斜率为k = tan 2a =所以，直线I的斜率为k = tan 2a =2 tan a所以直线/的方程为），= ：（1-1）,联立联立<)一 5。° 得 4f2x 11 = 0,则4=4 + 4x4x11。, 3449=12(2)解:由<9 x F 18二'整理得(2/+1)%2-4 "一 i6 = o,y = kx-l.设 4（%,乂）,8（%2，%），则% +%2 =-162公+1'%" 2r+1因为夜砺=不9+（乂 -3）（%-3）=玉+（七一4）（如一4）因为夜砺=不9+（乂 -3）（%-3）=玉+（七一4）（如一4）/ , z 、-16（公+ 1）=（匕 + 1）王 -4%（玉 + 9） +16 =2/ + 所以三角形MAB为直角三角形，Ab-4kx+ 16 = 0,2二 + 1设d为点、M到直线/的距离，故M/MB=AB-d,AB =AB =1 + %24k、2公 + 1,2-4x-2 攵2 + 1410 + 用（9r+4）- 2二 + 1'所以|州校|=哽了,设2r+1 =八则|m4HM同=16J设2r+1 =八则|m4HM同=16J81 1<1 9、2，由于六（0,所以|M4|四网432,当1 = 1,即D时，等号成立. t因此,|M411MBi的最大值为32.11. （2022届百校联盟高三上学期11月质监）在平面直角坐标系工3,中，动点P（x,y）,满足卜可+ y2 +卜可式=4，记点P的轨迹为E.（1）请说明£是什么曲线，并写出它的方程；（2）设不过原点。且斜率为;的直线/与E交于不同的两点A,3,线段的中点为。直线07与E交于两点C,。,请判断|酬|用与阿卜| 的关系，并证明你的结论.【解析】（1）设耳（-6,。）,月（"。）厕因为小+G + y2+小一2 + 6=4,满足阀|+照|=4很巴,_2即动点P表示以点机尸2为左、右焦点，长轴长为4,焦距为2石的椭圆，其轨迹的方程为土+ 丁=1；(2)可以判断出|啊|阳=|叫|7©|,下面进行证明：设直线/的方程为y = Jx+根(mW。)，A(X,yJ, 3(%,%)，由方程组, 4，得丁+2g+ 2布-2 = 0，y=x+m12方程的判别式为A = 4(2-4),由A。,即2_疗>0,解得-0v2v夜且加。0.由得 % + 9 = 一2m, X/2 = 2m2 - 2,( m 1所以7点坐标为-加，彳，直线07方程为 y =-彳，由方程组2尸 01+ V- =141I 2所以，得 c-m +5 r16L52-nv/,D 42-= 4 _4（2/n?2） = ：（2_4）.2212. (2022届河南省县级示范性高中高三上学期11月尖子生对抗赛)已知椭圆C： 4 + 4 = 1(6/>/?>0) a- b与过原点的直线相交于A,3两点，上顶点"(CM)满足左的加=-；(其中攵表示直线的概率).(1)求椭圆。的标准方程;(2)若与直线A5平行且过椭圆C的右焦点工的直线/交椭圆C于P,Q两点,证明：得为定值. I【解析】(1)根据题意涉=1,设A(x。,%),则3(-%,-%),丫2则 W+y；=iak kMB_ 1一% 1 + % _ 1 _ _ 1 _ 10 Xg 0 + Xq Xqa2 4所以=4, 故椭圆C的标准方程为工+ J? = 1 .4（2）由题意知,F2 （V3,0），直线PQ的斜率存在,且不为0,设直线P。为x =+ 则直线A3为x = a），联立x =X2彳得"+4）丁+2 鬲y_ = 0.设尸（不乂），。（工2，%），则为+% = -2l：,% 二 m +4所以|pQ = J1 +/民x = my.-J2| = J+ m2 x4a/1 + /_/ + 4'4（l + m2nr + 4 m2 +4联立X2 2 i得）;= 44rrr +4、44J1 + Mx I=JM+4 m +4ABAB所以二PQ16（l + m2）=4,为定值.4（1 + 加）苏+ 422（2022届江苏省泰州市高三上学期12月阶段性测试）已知椭圆0： +标=1（。人0），短轴长为2夜，离心率为克.过右焦点尸且不与坐标轴垂直的直线/交椭圆于A、3两点,A8的中垂线交x轴于点M,交直线 2x = 2、/i于点N.（1）求。的方程;（2）ABFM的大小;（3）证明：A、M、3、N四点共圆.2b = 272r ca = 2【解析】（1）由已知得0 = 9 =号，解得人=8,所以椭圆。的方程为：+ i = 1.a 242a2=b2+c2 W = J2由（1）得/（0,0）,所以设直线/的方程为k-夜）,与椭圆C方程联立V424上公X,+%2= H2F.，得A3的中点止4令 > =0,得 x =贝 IJ/1+2Z?等。）所以上叫=形-叵 2 V2(l+F)1+2/1+22消元得（1+2尸）/_4血心+4%2_4 = 0,设aQj）, 5（与为），所以，2岳2 叵 1+2二'1+2公所以AB的中垂线的方程为：y F祟=:里 1十乙K ） K1十乙K乂 AB = y/l + k2 J(%+%2)2 4%2 = 1 2 J所以所以ABFM霭M.( Bk、i ( 2 5k 2、(3)令AB的中垂线的方程为：y- -丁 =-7 % G 中的x = 2jL得 1+24k1+2Z11 q 2缶 2)Ok _ 2及+3岳2k- 1+27)-1+2攵之一(1+2k2)，所以N 272,-2起+3村2、k(l+2%2)，又M所以MN的中点G20+5近公 20+3北公、2(1+2/)，2%(+2/)JMN2 =24-2亚+3伍2、2%(1+2阴,2(2+35)2(1+攵 2)公(1+2 尸)则点G到直线/的距离为d =2近+5>&2 卜 20+3岳2(1+2P)2%(1+2严)Jl + 廿V2(Z:2+2)Vi+F ,2M1+2 攵 2)"AB3V2（2+2）V1+V-2M1+2 公）（20+攵 2）T 0+/）（3+2）1+2%2k2（1+2公）所以X2（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数相 。且机wl,椭圆： J + y2=i,点。是上的动点. m（1）若点。的坐标为（2,0）,求的焦点坐标;（2）设加=3,若定点A的坐标为（2,0）,求|尸山的最大值与最小值；（3）设m=若上的另一动点。满足OP，。（。为坐标原点），求证：。到直线尸。的距离是定值.丫2【解析】（1）:椭圆：二+y2=i,点p的坐标为（2,0）, m tn = 2, c = 3 ,的焦点坐标为（-V3,o）,（V3,o）；（2）设尸（x,y）,又A（2,0）,92由题知方+ 9=1,即y=1 土,A |Py4|2 =x-2）2 + y2 =（j;-2）2 +1- - = -4x + 5 = § x- + , 999 4 y 2又3Vx«3,当x = -3时,|P1取得最大值为25；当 ；时,|PA取得最小值为1 ；|尸山的最大值为5,最小值为旦.2（3）当机=：时，椭圆： 4x2 + y2 = 1, 乙设P（4X）,。（，%）,当直线PQ斜率存在时设其方程为丁 =丘+乙则y - kx + t4x2 + J =y - kx + t4x2 + J =，得（4 + /卜 2+2 依+/1 = 02二.%j +x2 = 4 2%，石% -p-,A =（2Z:/）2 4（4 + 女2）92 一）。, 由。P_LOQ可知而.凶=0,即芭+ y% = °,/.玉工2 +（3 +。（也 +，） = 0,即（1 + /）%2 +矶/ +%2）+ » = °，/ 、产一10 +外中+k/+产"可得"产，满足A>。, 。到直线PQ的距离为d = = 为定值; ,1 + 425当直线PQ斜率不存在时,OP ± OQ,可得直线方程为x = 土且,0到直线PQ的距离为达 55综上，。到直线PQ的距离是定值.15. （2022届重庆市巴蜀中学高三上学期月考）已知圆耳：（%+ 1）2 + 丁=16,6。,0）,M为圆月上的动点，若 线段”工的垂直平分线交/耳于点P.（1）求动点P的轨迹C的方程;（2）已知7（1,%）（%>0）为。上一点，过了作斜率互为相反数且不为。的两条直线Z4,7B分别交曲线。于A,5,求的取值范围.【解析】（1）由题知MP=6P即尸耳+尸居=4即P在以耳工为焦点且长轴为4的椭圆上22则动点P的轨迹。的方程为：土 +匕=1；43（2），+ 武=1 4 3“3故为=5（3、 即 P t-.2）设AB： y =丘 + 加，4a，乂）,%）y = kx + m联立2213/+49=12(3 + 4 公+8奶a+ 4 帆 2 _i2 = o(*),(8hn)24(4/+3)(4 m 212)>0,.一8km4m2 -1297 % + / = , X|X2 =- ,12k 3m + 9 > 03L +3A"2 - kx、(1 )2/3 + 4/3 + 4/(3、+ m kx? (1 - X)(2 )<3、则:2AX1%2 m + k(X + %2) +(3 2加)0127即 2Z(W-12)-3 + 4/5 2+ k J(8kn)3 + 4公+ 3 - 2m12k2 +12km 24k 6m + 9 = 0 4攵2 8Z + 3 + 4km - 2m = 0(2 人+ 2m3)(2 攵-1) = 0若2Z + 2租-3 = 0,则45过T,不符合题意故2=；，二 m2 <4AB = J1 + -264k2m2(3+ 4尸 y16m2-483 + 4/-48/?22+144 + 192x143 + 1=山60-15 疗, 2故 |A5|£(),2AB（W，），则为+工2 =：，不工2 =所以MM1543x2-4y2=12 y=：(%T)<乙3、后 AB 唱故而15 2V154 3屏6可得 2«?+2尤-13 = 0A =4 + 4x2x13 >0,设点M（孙必）、阳,4），则退+七二-1,£Z =设斜率为4厚0）的直线/与圆锥曲线C相交于4为4）乃（如"）两点,则|4回= 1 +&一加.当消去x整理方 程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求I”一加时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：旧一加= J（y+%-4y% .【例3】（2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考）已知椭圆cJ + g = l（a>b>0）的离心率6 =日 上顶点为人右顶点为B，直线4?与圆。：/ + y2 = 1相切.求椭圆。的标准方程;设与圆。相切的直线/与椭圆相交于M,N两点,。为弦MN的中点,0为坐标原点.求|OQ|MN|的取值范 围.【解析】（1）由e = 3 =立知a = 6c,a 2原点。到直线AB的距离为殆=- = r = 1 ,故匕=P，a = a/3 , J/+从 <3b J3V2x2x2I-故椭圆。的标准方程为3(2)鼬v=0时:。(。/),“(-1,1)川(1,1),或0(0,-1)也(-1,-1)川(1,-1),故|09.|仰|=2；直线MN斜率不存在时,Q(1,O),M(1,1),N(L1)或Q(TO),M(L1),N(L1).故|O 二2 ；直线MN斜率存在且不为。时：设直线/的方程为x =+ % （mO）,由直线/与圆f+y2=i相切，所以= l和产=>+1, 7 m +1联立联立2x = my +1,1得(“+2)/+2“ + *-3 = 0,由韦达定理：2mt%+%=_, 、 m +2 y, + y9 -mt2t所以MN中点。的坐标为m* 2 +2(2t+ 2-mtm2 +2故 |OQ| =2t/、2-mtm2 + 2 >/"+ 4)+1)( +4)m2 +2m2 +2产3mm2mm2 +22a/1 + 疗 V6 + 3m2 2z2 _ 2，® +1)0% +4m2 +2m2 +2m2 4- 2故 |0Q|MN|=27?22+477?4 + 4m2 + 4 ,=21 + m2 +、J二 + 4m" 7m2m = ±a/2时等号成立,+ 4>2 m2 *±+ 4 = 8,当且仅当2?= V m"综上：|OQ|W9 的取值范围是2,-.（四）利用点到直线距离公式求垂线段的长L若已知定点P,点。在动直线上，求归0最小值，常利用点到直线距离公式;2.若点P在定直线上，点Q为曲线上，求归。|最小值，有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线的距离.29【例4】（2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试）设有椭圆方程:0 +马=1（4"0）, a b直线/"+y-6 = 0，下端点为A,左、右焦点分别为后（TO）、E（LO）,在/上.若 =0, AM中点在X轴上，求点M的坐标;3（2）直线/与y轴交于3,直线AM经过右焦点F?，且cosZBMA =（求b ；在椭圆r上存在一点P到/距离为d,使Ca + d = 4母，当。变化时，求d的最小值. 【解析】（1）因为左焦点爪TO）,所以c = l,由题知o = VL所以