大一高数试题和答案与解析.docx

大一高数试题及答案一、填空题（每小题1分，共1 0分） 11,函数y = arcsinJl-x2 + 的定义域为2 .函数y = x + ex上点(0, 1 )处的切线方程是。f (Xo+ 2h) - f (Xo- 3h)3 . 设 f (X)在 Xo 可导且 f ' (Xo) = A,贝I 1 i m hf oh4 .设曲线过（0 , 1 ）,且其上任意点（X, Y）的切线斜率为2 X,则该曲线的方程 是x5 . fd x =o1 X 416 . 1 i m X s i n=。x8Xoo1 0 .设级数£n二l7 .设f (x, 丫)=5111(*丫)，贝|£*(*, y ) =ooR8,累次积分/ d xOJ R2 x 2ff （X2 + 丫2 ） d y化为极坐标下的累次积分为00d 3 y3d 2 y9 .微分方程+（）2的阶数为od x 3Xd x 2a发散，则级数£ annn=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）,9.函数 y=e-x-x 在区间(-1,1)(A.单调减小C.不增不减)B.单调增加D.有增有减10 .如可微函数f(x)在x处取到极大值f(x),则(A. f'(x) = OooB.fx)>0oC. fr(x)<00D.f'(x)不一定存在 011. J f (x) + xf x)dx =(A. f (x)+CB. I xf (x)dxC. xf(x)+CD.x + f(x)dx12.设f (x)的一个原函数是X2,则J xf (x)dx =(A. +C32C. -x3 + C3A. +C32C. -x3 + C3B. X5+CD.X 5-+C1513.8edx =(8A. 0A. 0B.C.2exdxD.-214 .下列广义积分中，发散的是(a f i dxA. J 3J2 x2exdx-2B.C.OXi dx06D.15 .满足下述何条件，级数于U 一定收敛( nn=lA. Zu有界ii=lB. limU =0n n->a>cr UC. lim n+1 = r < 1nf 8 UnD.£iu 收敛nn=i16.嘉级数£(X-l)n的收敛区间是n=lA.(0,21B. (0,2)9 媪x2 -B.e yy21 _媪y 一 y)B. (-1,2)D. (1,-2)C. (),2)x2 417.设z = e '，则乌二( SyX2A. e y2x 一港C. - e yD.y 18.函数 z=(x+l)2+(y-2)2 的驻点是(A. (1,2)C. (-1,-2)19. U cos x cos ydxdy =()()<x<-20<y<2A. 0B. 1C.-l20.微分方程四= l + sinx满足初始条件y(0)=2的特解是( dxD. 2)B. y=x+cosx+2D.y=x-cosx+3 每小题4分，共20分)A.y=x+cosx+lC.y=x-cosx+2二、简单计算题(本大题共5小题,.求极限 2m(Jn + 3 - 1,H 8121 .设丫 = 乂乂，求/(1).22 .求不定积分J 一丝空一dx.1 + sin x cos x.求函数z=ln(l+x2+y2)当x=lfy=2时的全微分.24 .用级数的敛散定义判定级数才 厂1y_的敛散性.Jn + Jn + 1n=l三、计算题(本大题共4小题，每小题6分，共24分).设z = xy + xF(u), u = F(u)为可导函数,求x包+、竺 xdx dy25 .计算定积分I = J2xln4dx.26 .计算二重积分I = 0 cos(x 2 + y 2)dxdy，其中D是由x轴和y =- x 2所围成的闭区域.D.求微分方程x9l+y-ex =0满足初始条件y二e的特解.dx四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）27 .已知某厂生产x件某产品的成本为C=25000+200x+ 1x 2.问（1）要使平均成本最小,应生产多少件产品？（2）如产品以每件500元出售，要使利润最大,应生产多少件产品?28 .求由曲线y = W ,直线x+y=6和Ey10 .设函数y=ln x,则它的弹性函数=.Ex.函数1>仪）二*20-的单调增加区间为.f dX.设 f（X）连续且尸 /«）d，= X2 + COS2 x ,则 f（X）=13 .微分方程xdy-ydx=2dy的通解为.d 2z.设 z=xexy,贝=.oxoy三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）左一ex x > 0在x=0处连续，试求常数k.17.求函数f (x) =sin 2x+x arctan Jx 的导数.求极限limd xcx- sin a:71乙.计算定积分2 sin JSdx.f 1 + %.求不定积分J dx.1 + X2四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21 .求函数f（x）=X3-6x2+9x-4在闭区间0, 2上的最大值和最小值.22 .已知f（3x+2）=2xe-3x,计算厂/加.23 .计算二重积分JJmydxdy,其中D是由直线y=x,x=l以及x轴所围的区域.五、应用题（本大题9分）.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y,其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体 （如图）.问当x,y各为多少时可使旋转体的体积最大？21 -3/222 -屋-123 x- arctgx + C24 3/225 y + 2 = 026 t"2f (x,y)27 -1/ (2sqrt(x)sqrt(y)28 2pi/329 1/2士 s)n2xlljn a*士 s)n2xlljn a*30 (c_lx + c_2 ) e(4x)31.31.解，原式=JP-H3Hr hiC+/)sss? hrn fyz”一 >二1.解二a）=（；二.铝 Qy2 1 3）一八）一（三+1尸32 .解原式=上二Jo I=-sin2x)3'解言=(l + ，)"n(l + y)=(1 + 3产:.dz =+dxQ + ：y)“n(1 +y)dz + 工(1 -|- yldy36 .证，令丸(工)=/X工)-gQ) /(<i) g(a) 0 hQb) = _fQ) g(6) 0A对片QO在。,刈上应用罗尔定理律在(36)内至少有一点，使得Ac) = 0而 h! (x) = /工)一/(力从而 /(c)=g'Cu)37 .证：V0 £ cq$%41.545 + 3cosG4 8从而得汗轰刘看由定积分性质得：J：< J：江金嬴卢W1：取四1即百事七云C AB AA DD AC AB AA DD ADCABCCDABADB21 -3/222 -屋T23 x- arctgx + C24 3/2 25 y + 2 = 026 t 2f (x,y)27 -1/ (2sqrt (x)sqrt(y)28 2pi/329 1/230 (c_lx + c_2 )屋(4x)3】髭原式=皿/3帚=1向瓦。古力加4-ikt sin.工l-Y- #*7_ 其（止二3） .一央一（/+1>33.33.1 cos2o: »-、A W4BMF" 4M解；言= （l + ，）"n（l + y）骸一工（14y）十Q +丁尸 ln(1 +y)dz + 工(1 +y)H 心Q +丁尸 ln(1 +y)dz + 工(1 +y)H 心35.35.解；/<&）=专，一*if,7躬=ZJ 3L1。°家1<1|x|<736 .证!令五(工)=/(工)一屋0/Ma) /(Gg( a) 0hW = jb)一 g(b) 0二对Xh)在上应用罗尔定理得在sm内至少有一点门使用ac) =。而九'(工)=f 9 /包)从而 "G = g'(c)37 .证：V0 £ cq$& < 1.545 + 3cosG< 8 从而i泞轰刘春由定积分性质得；0122005年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（二）试题答案及评分参考（课程代码0021）、单项选择18（本大摩共18小题,每小届2分,共36分）1.C2. D3. C4.D6.B7. C8° C9.C11.A12. C13.B14.B16.A17. D18. A5.B10. A15. B（6分）（4分）（2分）二、简答题（本大息共2小题每小题6分，共12分）19. 解：（l）n 阶；（2）m 阶（3）n 阶；（4）n 阶20. 解：S B（n,p）,由 E5 = 12,阿=8,有求 s np = 12I.DS = np（ I - p） = 8,解得n = 369 p二i三、计算题（本大题共2小题,卷小题8分,共16分）21. M：（A - 2I）X 二 AX = （A - 2I）/A22. 解：（l）x = 30.3,y = 10.525,L. = 5386.2.：1427.356 = b = 0.265a = y - bx a 2.4955故（Dy对x的回归直线为，=2.4955 0.265x（2）当h = 2.4 时.y9 = 3.1315（2分）（2分）（2分）（2分）（3分）（3分）（2分）高等数学（二）试题答案及评分参考第I页（共2页）1 1 0每小题1分，1 12 0每小题2分，共3 0分)(一)每小题1分，共1 0分11 .设函数 f ( X ) = ,g(x)=lX,则 fg(x) =()X无穷大量无穷小量有界变量无界变量3.下列说法正确的是 ()若f ( X若f ( X若f ( X若f ( X若f ( X若f ( X若f ( X若f ( X) ) ) )在在在在X = XoX = XoX -XoX = Xo连续，则f ( X )在X = Xo可导不可导，则f( 不可微，则f ( 不连续，则f (在 X Xo在 X-Xo在 X - Xo不连续 极限不存在 不可导4.若在区间曲线弧y = f ( x)为b )恒有 f ' ( X ) ()上升的凸弧上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧下降的凹弧5 .设F'(x) = G'(x),则()F (X) + G (X)为常数F (X) - G (X)为常数 F (X) - G (X) = 0dd f F ( x ) d x = f G ( x ) d xd xd x16.7 | x | d x =()-17 .方程2 x + 3 y = l在空间表示的图形是（）平行于x o y面的平面平行于。z轴的平面过o z轴的平面直线X8 .设f (x, y)=x3 + y3 + x2 y t g,y tf(x,y) t2f (x,y)1 t 3 f ( x , y )f ( x , y )t 2a + 19 .设a 2 0,且1 i m = p ,则级数nn一 8a则 f ( t x , t y )=()则 f ( t x , t y )=()ooS a ()nn=l在p N在p <在p1时收敛,1时收敛,1时收敛,p 1时发散p1时发散p1时发散在p1时收敛，p 1时发散1 0 .方程 y'+3xy = 6x2y 是一阶线性非齐次微分方程齐次微分方程可分离变量的微分方程二阶微分方程（二）每小题2分，共2 0分11 .下列函数中为偶函数的是()y = ex y = x：s+l y = x3cosx(4) y = 1 n | x |则至少有一点（a, b ）1 2 .设 f (x)在(a, b)可导，a xx (b ,12使()f(b)f(a)=f'(C) ( b a )(b ) f(x ) f2(X ) f2(X - X )21(b a )(x x ) 21(a ) = f ' ( U )(x ) = f ' ( t ) i(x ) = f ' ( C ) i1 3.设f (X)在X = Xo的左右导数存在且相等是f (X)在X = Xo可导的充分必要的条件必要非充分的条件必要且充分的条件既非必要又非充分的条件df ( x ) 2 ,则 f ( 0 )=且切线斜率为4 X3的曲线方程为y = X4+ 11 i mxf 0oo1 i mxf 0yf 0X 2+ y 2oo对微分方程”=f( y , y ,降阶的方法是设y ' = P ,则y " = py "=d yd P y ' = Pd y1 d p y "=oo1 9.设累级数E aoo则£ an=on=o绝对收敛条件收敛发散收敛性与0 .设D域由y = x, y = x2所围成，则/Jyf三、计算题（每小题5分,共4 5分）/ X 11 .设 y = / V x ( x + 3 ). 求 1 i m oxf 4/33 x 4d x2 .计算f o(1 + e x ) 2t1d y3 .设 x = f ( c o s u ) a rc tgudu, y f ( s i n u ) a r c t g u du, 求o0td x5求过点A ( 2, 1 , - 1 ) , B ( 1 , 1 , 2 )的直线方程。6 .设 u = ex+Jy + sinz,求 d u 。x asin 97 .计算/ f rs inOdrdO o00y + 18,求微分方程d y = ( ) 2d x通解。x + 139 .将f ( x )=展成的嘉级数。(1 x ) ( 2 + x )四、应用和证明题（共1 5分）1 . （ 8分）设一质量为m的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （比例常数为k0 ）求速度与时间的关系。 1. （ 7分）借助于函数的单调性证明：当x1时，2Jx3x附：高数（一）参考答案和评分标准一、填空题（每小题1分，共1 0分）2 . 2 x - y + 1 = 03 . 5 A4 . y = x 2+ 15 ,a r c t g x 2+c21.17 . y c 0 s ( x y )ji /2 n8 . J d 9 f f ( r 2) r d r009 .三阶110 .发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）,1 1 0每小题1分，1 1 2 0每小题2分，共3 0分）（一）每小题1分，共1 0分1.2 .3 .4.5.6.7 .8 .9.1 0 .（二）每小题2分，共2 0分11.©1 2 . ©1 3 .1 4 .1 5 .1 6 .1 7 .1 8 .1 9 .2 0 .三、计算题（每小题5分，共4 5分）11 .解：1 n y = 1 n (x 1) 1 nx 1 n ( x + 3 ) (2 分)y '=()(2 分)y2 x - 1 x x + 31/ x - 1111y ' = / ()( 1 分)2 V x ( x + 3 ) x 1 x x + 31 8 x c o s (9x21 6 )2 . 解：原式=i m ( 3分)x-4/331 8 ( 4 / 3 ) c o s 9 (4/3)2-16=8( 2 分)31 + e x-3 .解：原式=/（2分）(1 + e x) 2d ( 1 + e x)ff1 + e x 1( 1+ e x) 2（1分）+ e=f+ e=f（1分）x 1 n ( 1 + e x) +x 1 n ( 1 + e x) +1 + e x（1分）解:因为dx=(cost) a r (3分)c t g t d t , dy= (sint)arcd y所以(sint ) arctgtdt（2分）(cos t ) a r c t解:所求直线的方向数为1, 0, 3（3分）x 1所求直线方程为x 1所求直线方程为（2分）解:解:d u e x + “ + sinz d (x + Jy+sinx)（3分）二课程代码：00020一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号。错选、多选或未选均无分。L 设函数fj)* ,则f(2x)=()x x -1A 1B. 12(x-l)2(x - 1)2xx2.已知 f (x)=ax+b,且 f (-1)=2, f (1)=-2,则 f(x)=()A. x+3B. x-3C. 2xx3. lim()x =()Xf8 X + 1A. eB. e-iD. 2xC. ooD. 14函数y=£ZZ-的连续区间是()(x + 2)(x1)A. (-00,-2) Y (-l,+oo)(-oo-l) Y(-l,+oo)B. (-00-2) Y (-2,-1) Y (1,+oc)3,+oo)在x=-l连续，则a=(),x = -1C. 2D. 0B. cotx dxD. tanx dx5 .设函数 f(x) = |(x + Dln(x + l)2A. 1B.-l6 .设 y=lnsinx,则 dy二()A. -cotx dxC.-tanx dx、I 二.设 y二ax(a>0,aw 1),则 y(n) x=oA. 0B. 1C. InaD. (lna)n8 .设一产品的总成本是产量x的函数C(x),则生产x个单位时的总成本变化率(即边际成本) 0是()C(x)X dC(x) dx