中考二轮-第10讲-圆(提高)-教案.docx

学科教师辅导讲义学员编号：学员姓名：年 级：九年级辅导科目：数学课时数：3学科教师：授课主题第10讲-一授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解圆的定义与点与圆的位置关系及圆的对称性；熟练掌握圆心角、弦、弧之间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定；理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。授课日期及时段T (Textbook-B ased)El 少 1 果 早体系搭建切线I徒例I识卜点与图的位置关系直线和图的位置关系强长及扇形的面积计算心角、孤、弦的关系周角与图口角关系周角定理及其推论内接四边形的性质三角形的夕隆图"卜心三种位置关系切线的性质与判定三角形的内切图与内切线长定理及其计算内接正多边形于点D,则ND的度数是()A. 25° B. 40° C. 50° D, 65°【解析】B例2、如图，在RtZkABC中,例2、如图，在RtZkABC中,ZA=30°, BC=2逐，以直角边AC为直径作。交AB于点D,则图中阴影部分的面积是()A 15 点 37rR 15 点 37r42227点兀d 76兀4626【解析】A.例3、已知PA、PB分别切。于A、B, E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1)若PA=6,求4PCD的周长.(2)若NP=50。，求NDOC.【解析】(1)连接OE, TPA、PB与圆O相切，PA=PB=6,同理可得：AOCE, BD=DE, APCD 的周二PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；(2) TPAPB 与圆 O 相切，NOAP=NOBP=90°NP=50。，Z. ZAOB=360° - 90° - 90° 一 50°= 130。,在 RtAAOC 和 RtZiEOC 中，J0A"°E, ARtAAOCRtAEOC (HL),loc=ocAZAOC=ZCOE,同理：ZDOE=ZBOD, A ZCOD=-ZAOB=65°.2例4、如图，已知。的半径为2, AB为直径，CD为弦.AB与CD交于点M,将面沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P,使AP=OA,连接PC(1)求CD的长；(2)求证：PC是。O的切线；(3)点G为冠的中点，在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E.交菽于点F(F与B、C不重合).问GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.【解析】(1)解：如图，连接OC,;而沿CD翻折后，点A与圆心O重合，A0M=OA=ix2=l, CD±OA,22OC=2, ：. CD=2CM=2q C 2 m 2=2 2 2 _ x 2=2a/3;10(2)证明：.PA=0A=2, AM=OM=1, CM=1CD=V5，NCMP=NOMC=90°,2 *, pc=4mc2+pM=Y(V5) 2+32=2 次'002, PO=2+2=4, .PC2+OC2= (2«) 2+22=16=PO2, NPCO=90。，A PC是。0的切线；(3)解：GEGF是定值，证明如下，连接GO并延长，交。于点H,连接HF, ,点G为冠的中点 ZGOE=90°,V ZHFG=90°,且NOGE=NFGHAAOGEAFGH.OG = GE而一百(3)题图GEGF=OGGH=2x4=8P (Practice-Oriented) 实战演练实战演练课堂狙击111、。的直径AB垂直于弦CD,垂足为E, ZA=22.5°, 0C=4, CD的长为（）A. 2亚B. 4C. 4亚D. 8【解析】c2、如图，已知AB是半圆0的直径，弦AD、BC相交于点P,若NDPB=a,那么之一'、CD： AB 等于（）/ k1A. sina B. cosa C. tanaD. 7tana、/【解析】B3、如图，AB 是圆 0 的直径，弦 CD_LAB, NBCD=30。，CD=4%，则 S 阴影=()a Dir r 8疗 r 47r3)A Z71 D -7T 兀 .） 兀J *338°【解析】BA4、如图，P为。O的直径BA延长线上的一点，PC与。0相切，切点为C,点D是。 ZT上一点，连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论：（°卜、B（1） PD 与。0 相切；（2）四边形 PCBD 是菱形；（3） PO=AB； （4） ZPDB=120°. n其中正确的个数为（）A.4个 B. 3个C. 2个D.1个.A【解析】A5、如图，如果直线AB与半径为2的OO相切于点C, D是。0上一点，/9 /且NEDC=30。，弦 EFAB,则 EF 的长是（）AZ/1A Ha/QT) Oc Oa/ 1 fl*/FAC【解析】A.C6、如图，AB是半圆0的直径，AC为弦，OD_LAC于D,过点0作/OEAC交半圆0于点E,若AC=12,则OF的长为（）/BEA. 8B. 7C. 6D. 4Ao ）【解析】C7、如图，在aABC中，ZA=90°, AB=AC=2,点。是边BC的中点，半圆XX0与AABC相切于点D、E,则阴影部分的面积等于（）%铝7隹A 1兀B兀一兀D兀A. 1 - D. C. D. 4488Bo【解析】B.E12A故阴影部分的面积为2石-等8、如图，在aABC中，ZC=90°, NBAC的平分线交BC于点D,点0在AB上, 以点。为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC, AB于点E, F.（1）试判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2%, BF=2,求阴影部分的面积（结果保留兀）.【解析】(1) BC与。O相切.证明：连接OD.TAD是NBAC的平分线,/BAD 二 NCADXVOD=OA,AZOAD=ZODA./. ZCAD=ZODA.ODAC. NODB=NC=90。，即 OD±BC.又TBC过半径OD的外端点D,，BC与。O相切.(2)设 OF=OD=x,则 OB=OF+BF=x+2,根据勾股定理得:OBODBD2,即(x+2) 2=x2+12,解得：x=2,即OD=OF=2,OB=2+2=4,RtZkODB 中，OD二工OB, AZB=30o,2：.ZDOB=60°,60兀X4_2兀扇形 AOB= =-Z-3603则阴影部分的面积为S.ODB-S扇形DOF _ X2x273 - 2=2肥-空 233课后反击1、如图，AB为。O直径，已知NDCB=20。，贝Ij/DBA为（）A. 50° B. 20° C. 60° D. 70°【解析】D2、0 C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为（0, 3）, M是第三象限内而上一点，0 BMO=120°,则回C的半径长为（）A. 6 B. 5 C. 3 D. 3亚13【解析】C.3、半径为3的。A经过原点0和点C (0, 2), B是y轴左侧OA优弧上一点, 则 tanNOBC 为()A. B. 272 C.返 D.343【解析】C.4、如图，已知点A、B、C、。均在已知圆上，AD/BC, AC平分N3CD, ZADC = 120°,四边形A3CD的周长为10cm.图中阴影部分的面积为 cm2【解析】加05、如图， AB是。0的一条弦，ODLAB,垂足为点C,交。0于点D,点E在。O上.(1)若 NAOD=52。，求 NDEB 的度数;(2)若 003, 0A=6,求 tanNDEB 的值.【解析】(1)连接 OB, V0D1AB, A AE=BD,Z. ZBOD=ZAOD=52°, Z. ZDEB=izBOD=26°；2(2) VOD±AB, 0C=3, 0A=6, AOC=-OA,即NOAC=30。，A ZAOC=60°,2A ZDEB=izAOC=30°, ，tanNDEB二遮.236、如图，AB、BC、CD分别与。0切于E、F、G,且ABCD.连接OB、OC,延长CO交。0于点M,过点M作MNOB交CD于N.(1)求证：MN是。O的切线；(2)当0B=6cm, 0C=8cm时，求。的半径及MN的长.【解析】(1)证明：:AB、BC、CD分别与。0切于点E、F、GAZOBC=-ZABC, NDCB=2NDCM2ABCD, AZABC+ZDCB=180°AZOBC+ZOCB=i (ZABC+ZDCB) =ixi80°=90°22J ZBOC=180° - ( ZOBC+ZOCB) =180° - 90°=90°MNOB,NNMC=NB0090。；即 MN±MC 且 MO 是。0 的半径;.MN是。O的切线14（2）解：连接OF,则OFLBC （5分），由（1）知，ZXBOC是直角三角形，*- bc=7oB2+OcM62+82= 1 °，Saboc=->OB*OC=->BC>OF.6X8=10XOFA0F=4.8cmA OO 的半径为 4.8cm 22由（1）知，ZNCM=ZBCO, NNMC=NBOC=90°； AANMCABOC. MN CM pn MN 8+4. 8 . Q A （、.二,IP二,MN=9.6 （cm）.OB CO 68S （S ummary-Embedded）S （S ummary-Embedded）归纳总结重点回顾为1、利用圆心角、弦、弧的关系和圆周角定理及其推论等知识解决关于圆的性质相关的问题；2、综合运用圆的知识解圆的相关计算。名师点拨 V本单元内容较多，熟练理解并识记相关性质定理是学好本单元的前提，多练是根本，善于总结是成绩提 高的保障。学霸经验本节课我学到我需要努力的地方是1516>知识概念（一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段0P绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。定点。就是圆心，线段0P就是圆的半径，以点。为圆心的圆记作。0,读作“圆0”。2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点就是圆心，定长就是半径。3、点在圆内d < r；点在圆上d = r；点在圆外d > r（二）心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相笔，所对的弦相等.2、推论：同圆或等圆中：（1）两个圆心角相等；（2）两条弧相等；（3）两条弦相等. 三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立.（三）垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧2、逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论 （1）平分弦所对的弧；（2）平分弦（不是直径）；（3）垂直于弦；（4）经过圆心（四）周角的定义与圆周角定理1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.（五）圆内接四边形1、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.（六）确定圆的条件1、条件：不在同一直线上的三点确定一个圆.（七）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部（八）直线与圆的位置关系判定：设。的半径为r,圆心0到直线1的距离为d.直线1和。0相交=dVr；直线1和。0相切=d=r；直线1和。0相离=d>“（九）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.1、注意：切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心； 直线过切点； 直线与圆的切线垂直.2、切线性质的运用（常作辅助线）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半 径，见垂直.（十）切线的判定定理1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2、在应用判定定理时注意：（常用解题思路）“无交点，作垂线段，证半径”； “有交点，作半径，证垂直”.（十一）三角形的内切圆与内心1、内切圆的有关概念：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.2、任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.3、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.（十二）切线长定理1、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.2、切线长定理包含着一些隐含结论垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.（十三）圆的相关计算1、弧长公式：|=哥（弧长为I，圆心角度数为n，图的半径为R）2、扇形面积公式：*1S扇形二品UR2或S扇形二不值（其中I为扇形的弧长）典例分析考点一：圆的定义、点与圆的位置关系例1、列说法：弧分为优弧和劣弧；半径相等的圆是等圆；过圆心的线段是直径；长度相等的 弧是等弧；半径是弦，其中错误的个数为（）A. 2 B. 3C. 4D. 5【解析】错误，半圆也是弧；正确；故选：C.例2、A、B是半径为5cm的。0上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A. AB>0 B. 0<AB<5 C. 0<AB<10D. 0<AB10【解析】：圆中最长的弦为直径，.0<ABW10,故选：D.考点二：圆心角、弧、弦的关系例1、在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A.相等弦所对的弧相等B.相等弦所对的圆心角相等C.相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等【解析】A.例2、如图，AB是。0的弦(AB不是直径)，以点A为圆心，以AB长为半径画弧交。于点 C,连结 AC、BC、OB、OC.若NABC=65。，则NBOC 的度数是().A. 50°B. 65°C. 100°D. 130°【解析】由题意可得：AB=AC, VZABC=65°, AZACB=65°, AZA=50°, NBOOIOO。，故选：C.考点三：垂径定理及推论一例1、。的半径OD,弦AB于点C,连结AO并延长交。0于点E,连结EC.(。若 AB=8, CD=2,则 EC 的长为()1sA. 2V15 B. 8 C. 2a/10 D. 2131 【解析】D.yp例3、如图，。的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点，连接OP,若OP=4, /ZAPO=30°,则弦AB的长为()1A. 275B. V5 C. 2后D. V13DV- p、【解析】过。作OCLAP于点C,连结OB,/：VOP=4, ZAPO=30°,1)AOC=sin30°x4=2,JVOB=3, .*.BC=a/ob2_oc2=32.22=V5，AB=2代；故选A.例3、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0,直径AB是河底线，弦CD是水位线AB=26m, OELCD于点E.水位正常时测得OE： CD=5： 24 (1)求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【解析】(1):直径AB=26m,，0口卷杷卷义26=13卬，一,CDAB,且E_DOE_LCD, A DE-CE£ =一上月0VOE： CD=5： 24, AOE： ED=5： 12,设 OE=5x, ED=12x,在 RtODE 中(5x) 2+ (12x) 2=132,解得 x=l, ACD=2DE=2X 12X l=24m；(2)由(1)得 OE=lX5=5m,延长 OE 交圆 0 于点 F, AEF=OF - OE= 13 - 5=8m,即经过2小时桥洞会刚刚被灌满.BB例4、如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，。0的半径为1,则AP+BP的最小值为（）A. 1 B. C. 2 D. 2【解析】作点A关于MN的对称点A1连接AB,交MN于点P,则PA+PB最 小，连接0A AA'.点A与A，关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点,NA，ON=NAON=60。，PA=PA丁点B是弧AN八的中点，NBON=30。， NA，OB=NA，ON+NBON=90。，又.* OA=OA'= 1,A'B=«-PA+PB=PA'+PB=A'B=&.故选 C.考点四：圆周角与圆心角关系及圆内接四边形例1、如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E,F,若 NA=55°, ZE=30°,则 NF=（）A. 25°B. 30° C. 40° D. 55°【解析】:四边形ABCD是圆内接四边形，NBCF=NA=55。， ZCBF 是4ABE 的一个外角，NCBF=NA+NE=85。，A ZF=180° - ZBCF - ZCBF=40°,故选：C.例2、如图，已知。的直径与弦CD相交于点E, CE=8cm, DE=3cm, EB=2cm,则。O的半径的长是（）A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm【解析】连接BD,AZB=ZC, ND二NA,/.aecadeb,AAE： DE=CE： BE,即 AE： 3=8： 2, AAE=12, AB=AE+BE=12+2=14, AAO=7,故选 B例3、如图，四边形ABCD内接于。0,若四边形ABC0是平行四边形，则NADC的大小为（）A. 45° B. 50° C. 60° D. 75°【解析】C 例4、如图所示，AB是。O的直径，AD=DE, AE与BD交于点C,则图中与NBCE相等的角有（）A. 2个B. 3个C4个D.5个【解析】D 例5、已知：如图1,在。O中，弦AB=2, CD=1, ADJLBD.直线AD, BC相交于点E（1）求NE的度数;（2）如果点C, D在。上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD, BC相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究, 如图2,弦AB与弦CD交于点F； 如图3,弦AB与弦CD不相交； 如图4,点B与点C重合.【解析】（1）如图1,连接OC、ODVAD1BD, AAB是直径.AOC=OD=CD=1. .ZCOD=60o, J NDBE=30。， ZE=60°.（2）如图2,连接OD、OC, AC.VDO=CO=CD=1,并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）.并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）.ADOC为等边三角形，J ZDOC=60°AZDAC=30°, AZEBD=30°, .* ZADB=90°, J ZE=90° - 30°=60°,如图 3,连接 OD、OC.同理可得出 NCBD=30。，ZBED=90° - 30°=60°.如图4,当点B与点C重合时，则直线BE与。只有一个公共点.，EB恰为。O的切线.ZE=60°.考点五：三角形的外接圆和外心以及直线和圆的位置关系例1、若点0是等腰ZkABC的外心，且NBOC=60。，底边BC=2,则4ABC的面积为（）A. 2+近 B.C. 2+夷或2-& D. 4+2必或2-6O【解析】由题意可得，如右图所示存在两种情况，当ABC为aAiBC时，连接OB、OC,.点O是等腰4ABC的外心，且NBOC=60。，底边BC=2, OB=OC,1OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2, OAiJ_BC 于点 D, BC-AiD 2X (2-如) 厂CD=1' OD=N 一12 二对，A SAAXBC=2 =2 二2一如, 当AABC 为AzBC 时，连接 OB、OC,点o是等腰AABC的外心，且NBOC=60。，底边BO2, OB=OC,1OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2, OAiJ_BC 于点 D, BC*D A2 2X (2+V3)1-/.CD= 1, OD=yJ22-i 2=V3， SaA2BC="=V=2+爽,乙乙由上可得，2kABC的面积为2d或2+近，故选C 例2、如图，AB是。O的直径，C是。O上的点，过点C作。O的切线交AB的延长线于点E,若NA=30。,则sinNE的值为（R V22【解析】A.例3、如图，AABC是。的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D, E是BD中点，连接CE.(1)求证：CE是。O的切线； (2)若AC=4, BC=2,求BD和CE的长.【解析】(1)证明：连接OC： ：BD是。的切线，A ZCBE=ZA, ZABD=90°,TAB 是。0 的直径，.*.ZACB=90°, A ZACO+ZBCO=90°, ZBCD=90°,TE 是 BD 中点，ACE=BD=BE,，NBCE=NCBE=NA,2VOA=OC, AZACO=ZA, A ZACO=ZBCE, A ZBCE+ZBCO=90°,即 NOCE=90。，CE±OC,，CE 是。O 的切线；(2)解：V ZACB=90°, AB=小£2 +b 2y42十3 2二2遍,.* tanA=,BDAB二泥，ACE=BD=AB AC 4 2222例4、已知：。为R3ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；(1)如图1,若弦BEOD,求证：0D二BE；(2)如图2,点F在边BC上，BF=BO,若0D=2近，0F=3,求。的直径.【解析】(1)证明：连接AE交0D于点F,VAB为直径,AAE1BE,VBEOD,AAE±OD,TAD= AO,，AE 平分 NCAB,HAOD=2OF,; BE=2OF,，BE=OD；(2)分别作弦 BEOD, AHOF,连接 AE, BH与BH交于点P,BAOo由(1)得：E为BC的中点，同理H为AC的中点,AZHAE=ZHBE=45°,VAB为直径，NH=NE=90。，AP二亚AH, PE二BE,丁点O为AB的中点，BEOD,，EB=OD=2M，PE=BE=2血，同理 AH=OF=3, ；.AP=3&,在RSABE中，AE=5。！，BE=2。根据勾股定理得：AB=倔，则圆的直径为倔.考点六：切线长定理和圆的相关计算例1、如图，圆O是RtABC的外接圆，ZACB=90°, NA=25。，过点C作圆O的切线，交AB的延长线