圆详细的知识点总结.docx

学问点总结第1讲圆的基本性质一、学问清单梳理学问点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例，与圆有关的概念 和性质(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的全部点组成 的图形.如图所示的圆记做。O.(2)弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的 弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角.(6)弦心距：圆心到弦的距离.(1)经过圆心的直线是该 圆的对称轴，故圆的对称轴 有很多条；(2) 3点确定一个圆，经 过1点或2点的圆有很多 个.(3)任意三角形的三个顶 点确定一个圆，即该三角形 的外接圆.学问点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推 论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.关于垂径定理的计算常与勾股 定理相结合，解题时往往需要添 加帮助线，一般过圆心作弦的垂 线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延长依据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：a弧 ac=m bc；ZTA弧 adKbd；( 1 ) AE = BE;BAB J_CD;CD是直径.只要*荫意其中两个，此外二个结论肯定成立，即推一知二.学问点三:圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的 关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量 关系必需在同圆等式中才 成乂.推论在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.学问点四：圆周角定理及其推论，圆周角定理及 其推论(1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a, ZA=1/2ZO.A0号勺图a图b图c(2)推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b, ZA=ZC.直径所对的圆周角是直角.如图c,NC=90。.圆内接四边形的对角互补.如图a, NA+NC=180。，ZABC+Z ADC=180° .在圆中求角度时，通常需要 通过一些圆的性质进行转 化.比如圆心角与圆周角间 的转化；同弧或等弧的圆周 角间的转化；连直径，得到 直角三角形，通过两锐角互 余进行转化等.例：如图，CAB 是00的直径，C,0-JBD是。上两点，ZBAC=40°,则ND 的度数为130。.第2讲与圆有关的位置关系，点与圆的位置 关系设点到圆心的距离为比（l）6?<r =点在。内；（2）d=r =点在。上；（3）#>0点在。外.推断点与圆之间的位置关系，将该 点的圆心距与半径作比较即可.2直线和圆 的位 置关 系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形， 所以关于圆的位置或计算题中经常 消失分类争论多解的状况.例：已知：。的半径为2,圆心 到直线1的距离为1,将直线1沿 垂直于1的方向平移，使1与。0 相切，则平移的距离是1或3.图形气公共点个数0个1个2个数量关系d>rd=rd<r学问点二：切线的性质与判定关键点拨及对应举例与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.(1)二、学问清单梳理学问点一：与圆有关的位置关系3.切线(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.的判定(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.切线判定常用的证明方法：知道 直线和圆有公共点时，连半径，证 垂直；不知道直线与圆有没有公 共点时，作垂直，证垂线段等于半 径.采用切线的性质解决问题时，通常 连过切点的半径，采用直角三角形 的性质来解决问题.*5.切线（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做 这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等, 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、 DB是。0的切线,P、 C、D为切点，假如 AB=5, AC=3,则 BD 的长为2.。n学问点四：三角形与圆5,三角形的外 接圆图形相关概念圆心的确 定内、外心的性 质经过三角形各定点的 圆叫做三角形的外接 圆，外接圆的圆心叫做 三角形的外心，这个三 角形叫做圆的内接三 角形三角形三 条垂直平 分线的交 占八、到三角形的 三个顶点的 距离相等6.三角形的内 切圆与三角形各边都相 切的圆叫三角形的 内切圆，内切圆的 圆心叫做三角形的 内心，这个三角形叫 圆的外切三角形到三角形 三条 角平 分线 的交 占 八、到三角形的 三条边 的距离 相等内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a）,设 三角形的周长为C,则S4ABC=l/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）若从切线长定理推导，可得 r=l/2（a+b+c）;若从面积推导,则可得r=. 这两种结论可在做选择题和填空题时直 接应用.例：已知4ABC的三边长a=3, b=4, c=5, 则它的外切圆半径是空.三、学问清单梳理学问点一：正多边形与圆(1)正多边形的有关概念：边长(a)、中心 (0)、中心角(NA0B)、半径(R)、边心距(r), 如图所示.中心角=36°边心距关键点拨与对应举例/.正多边形与圆(2)特别正多边形中各中心角、长度比:中心角= 120。为等边中心角=90°中心角二60。， ABOC例：(1)假如一个正多边 形的中心角为72。，那么 这个正多边形的边数是 5.半径为6的正四边形的边心距为3中心角a:r:R=2:l:2a:r:R=2:2a:r:R=2:2学问点二：与有关的计算公式2 .弧长和 扇形面 积的计算扇形的弧长/=器.扇形的面积5=需=*例：已知扇形的圆心角为 45°,半径长为12,则该 扇形的弧长为现.3.圆锥与侧面绽开图(1)圆锥侧面绽开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线, 扇形的弧长等于圆锥的底面周长.在求不规章图形的面积 时，留意采用割补法与等 积变化方法归为规章图 形，再采用规章图形的公 式求解.例：如图， 已知一扇 形的半径 为3,圆心角为6()。，则图中阴影部分的面积为39 r-