概(7)——概率论资料文档.docx
习题七1.设总体X服从二项分布匕(/I, P), 已知，X1，X2，Xn为来自X的样本，求参数p 的矩法估计.【解】£(X) = 叨,£(X) = 4 =又，因此片工所以的矩估计量所以的矩估计量P二G2.设总体X的密度函数2.设总体X的密度函数2/ (x,夕)=< 020,(。一。0<x<0,其他.X, X2,，X为其样本，试求参数的矩法估计.2【解】E(X) = 02ro2£x(-x)dx = 0 = 3X.所以。的矩估计量为3.设总体X的密度函数为/(x,(1) /(%,。)=0,x>0,x<0.Oxe0,0 < x < 1,其他.0 令 E(X)二4= X ,因此一二 X39), Xi，X2，X为其样本，求。的极大似然估计.-必1=1【解】(1)似然函数乙=口/(七,。)="'"匕孙="1一%Z=1Z=1/=1g = lnL = nln3-0xiz=i,dg din L n 白 由上二= > 玉=0知d<9d<90人 YI0 = i=人1所以。的极大似然估计量为夕=.X得d'n L(9) _ N n N 600 -0 蚱纥n所以。的最大似然估计为(2)似然函数L =G < 1,2,n./=1In L = In。+ (。-1) In “ 玉Z=1,d In几 1 t-t 八.由二一 + ln 无=0知d6>e * z0 =-Infix,Slnx/i=z=l人th所以6的极大似然估计量为0 = -tin'.i=l4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下:序号12345678910收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】x = -0.094 s = 0.101893 几=9EX=x = -0.094. x由 E(X2) = D(X) + £(X)2, E(X2) = 4 = f 知(T2 +E(X)2 = &，即有/=i匕i n iod = VA-£(x)2+ -xz2-io(x)2V1。i=i于是S =2s = Vo9 X 0.10189 = 0.0966V10所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X服从0, 0 上的均匀分布，今得X的样本观测值:0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6, 求的矩法估计和极大似然估计，它们是否为的无偏估计.e 【解】E(X) = ，令E(X) = X ,则6 = 25且 E() = 2E(X) = 2£(X) = 0,所以的矩估计值为0 = 2亍=2x 0.6 = 1.2且6二2又是一个无偏估计.8( 似然函数乙二"/(4。)=->1,2,-,8.i=lW/显然 L=L(。)I ( 40),那么 <9 = maxxJ 时，L=L(最大,l<z<8所以。的极大似然估计值。=0.9.因为E(0)=E(maxx.)W。，所以。=maxx.不是J的无偏计. 1</<81</<8n-6 .设Xi，X2,，X是取自总体X的样本，E(X) =，D (X)=* 2 =k£(XHXi)2, i=问k为何值时a2为。2的无偏估计.【解】令工=X,.+Xj,i=l,2,-1,则E(匕)=E(XZ+1)-E(X;.) = /-/ = 0,。(匕)=2b2,n-于是E&2 = £次(2 工? ) = k( 1)石 X? = 2a2 (几1)左，/=1那么当 E(a2) = a2，即 2a2(n-l)k = " 时,2(71-1)7 ,设Xi，X2是从正态总体N ( ，。2)中抽取的样本2113114 =+ .X2； ,2 =1X +1乂2； & =jX +不乂2；JD*1I试证”,。2,念都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.(21、 2121【证明(1) Eg = E -X1+-X2 =£石(乂) + £石(乂2)= £4 + 14 = 4,13E(/2) = -E(X1) + -E(X2) = /,£(凡) 二轴 X|) + ：£(X2)= ，乙乙所以a,区,凡均是的无偏估计量.2、 J 2 - 3 zr k-X17 A D( D(2 iJ711 - 032bX4 - 9 -(3D(X)+ - D(X2) =(3D(X)+ - D(X2) =5 cr2 "T'2rr2（。（为）+。卷）二方8.某车间生产的螺钉，其直径XN（，小），由过去的经验知道。2=0.06,今随机抽取6枚, 测得其长度（单位mm）如下：14.715.014.814.915.115.2试求的置信概率为0.95的置信区间.【解】=6,。2=0.06,6Z=1-0.95=0.05,x 14.95, "° 万=1 .96,2的置信度为0.95的置信区间为了±%/2亍)=(14.95 ±0.1x1.96) = (14.754,15.146).a/29.总体X。2已知，问需抽取容量多大的样本，才能使的置信概率为1一, 且置信区间的长度不大于L?【解】由。2已知可知的置信度为1一。的置信区间为x±ur于是置信区间长度为一 /CX- / J7n4/(%)2°那么由厂WL,得九, yjn10.设某种砖头的抗压强度XN（06484(1)(2)694992559766100 987274小），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg -cm-2）：4184889987844881求的置信概率为0.95的置信区间.求小的置信概率为0.95的置信区间.【解】x = 76.6,5 = 18.14,a = 10.95 = 0.05,n = 20,%2(1)=机25(19) = 2.093,焉 5 T)=点025(19) = 32.852, ZJ975(19) = 8.907(1) 的置信度为0.95的置信区间(1 Q 1 jA/ (_1)= 76.6 ±=x 2.093 = (68.11,85.089)V20)b?的置信度为0.95的置信区间'n-Y)s2n-Y)s2 '%z/2 (力1)Zl-a/2 5 1)/iL设总体xga)=0,其他.其中6»>-1X,X2,X是X的一个样本，求夕的矩估计量及极大似然估计量.【解】石(X) = j： xfxAx = J； 2 +1)/+$6> + 1 i+29所以。的矩估计量(2)似然函数取对数1-X1T (6> + irnL=L(e)=n，a)= v i=。=12 其他nIn 1 = ln(<9 + l) + e£lnXj (0 < xf. < 1;1 < z < ri),dlnL nd<90 + 1Z=1+翌11七=0,i=(igio)X18.142,x 18.142 = (190.33,702.01)L 32.8528.907)所以。的极大似然估计量为0 = -1 -nfin Xji=12.设总体*汽幻=。，。，其他.X,X2,X为总体X的一个样本 (1)求。的矩估计量；(2)求。(3).【解】 E(x)= rv(%)dxj："(e %)dx = g,_ o 令ex = X =,2所以。的矩估计量e = 2x.A 4 D(<9) = O(2X) = 4Q(X) = DX,n又30-于是D(X) = E(X2)-(EX)2D(X) = E(X2)-(EX)236>2 6>2 _ 6>2Io-T-20,所以人32D(3) = 5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为段,夕）二段,夕）二2e-s,x>0-0,x<0.其中仇GO）为未知参数，又设为42,内?是总体X的一组样本观察值，求。的极大似然估计 值.【解】似然函数£ = "9)=兽£ = "9)=兽-2 支(xe)e日 为2 0" = 1,2, ，;0其他.nIn L = 721n 2 2£(=-6xi >0i-1,2, ,i=由1 = 2 >o知皿 L(e)td6>那么当 3 = min3时 In 那。)=max In 那6) |l</</?|6>>()所以。的极大似然估计量6 = minxJ<i<n14.设总体X的概率分布为X0123p伊2%-。）俨1-2。其中。(0<J<；)是未知参数，利用总体的如下样本值3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3,求。的矩估 计值和极大似然估计值.【解】Q (l)E(X) = 3-48,令玫 X)=无得。=人 3-x I所以。的矩估计值。=±= 44(2)似然函数 L = YI = 46»6(1- 6»2)(1- 28)4.In£ = ln4 + 61n<9 + 21n(l 8) + 41n(l 夕)， dinL 6 _28 _ 6-286> + 246>2d<9 一万一寸一1 2。8(1 8)(1 2。)解 6 28夕 + 24>=。7 + V13 1> 一, 122所以。的极大似然估计值为15.设总体X的分布函数为,x> a.其中未知参数少>1,»0,设乂1水2,尤为来自总体*的样本(1)当。=1时，求£的矩估计量；(2)当G=1时，求夕的极大似然估计量；(3)当夕=2时，求。的极大似然估计量.【解】2X>1-当时，/«夕)=月(%1)= /1'0, x<l.当 £=2 时，/(x,a)=尺(%,/2)= <24x>a X0, x<a.E(X)=*""一B1 B-i_人 X令石(X) = X,于是分=歹二p人 X所以月的矩估计量/二黄1(2)似然函数L=，)=n"M)=,i=l0,其他.In L = ln ,一 (, + l)ZlnXj,i=也£ J_£" = o,所以夕的极大似然估计量方ni=(3)似然函数2na2n2na2nL = Yf(xa) = <i=0,% 2a,(i = l,2,)；其他那么当应= minxj 时,£ = L(应)= max£(。)， i</<«。>()所以a的极大似然估计量1 = minx.<i<n.从正态总体XN(3.4, 62)中抽取容量为的样本，如果其样本均值位于区间(1.4, 5.4) 内的概率不小于0.95,问至少应取多大？Z1.281.6451.962.33(p(z)0.90.950.9750.99一 (62>l X-3 4【解】XN 3.4,，则Z =N(0), V n J 6/y/nPIA<X <5A = P6/y/n<Z<54-34161G J-l>0.95>1.96,> 0.975 则，235.yn次工，°）=仇 1-0 0,16 .设总体X的概率密度为0 < x < 1,1 < % < 2,其他.其中。是未知参数（0夕1） ,X1,X2J,X为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值X1X2,用中小于1的个数.求：（1）。的矩估计；（2）。的最大似然估计.解（1）由于c+8广 2EX = J 0yx - £ Oxx + （1 - 0）xdx1 33=e+(i。)=e.2 2233 令e = x,解得 e =x, 22所以参数夕的矩估计为3 0 =X.2（2）似然函数为L = nfg,e»LN，i=取对数，得In £(6>) = N In 6 + ( - N) ln(l 。),
