概(4)——概率论资料文档.docx

习题四1.设随机变量X的分布律为X-1012P1/81/21/81/4求 E (X), E (X2), E (2X+3).【解】 E(X) = (-1)x，+ 0xL + 1xL2xL；8284 2(2) E(X2) = (-l)2xl + 02xl + l2xl + 22x-!- = -;8284 4(3) E(2X+3) = 2E(X) + 3 = 2x+ 3 = 422 .已知10()个产品中有1()个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为故 £：(X) = 0.583x0 + 0.340x1 + 0.070x2 + 0.007x3 + 0x4 + 0x5X012345P隼= 0.583 4七2= 0.007 GooC：°cc _ a Cfooc5 9=0 Goo= 0.501,D(X) = £x.-E(X)2i=0= (0-0.501 > x 0.583 + (1 - 0.501)2 x 0.340 + + (5 - 0.50 l)2x0 = 0.432.3 .设随机变量X的分布律为且已知 E(X) =0.1,E(X2)=0.9,求尸1，-2, P3.X-101pPlP23【解】因+6+ 6=1，又夙x)=(-i)耳+0叫+1唱=£-6=0.1，E(X2)=(-)2+02. + l2. = + =0.9由联立解得6 = 0.4,6=0.1,勺=0.5.4 .袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知七(X)= ，问从袋中任取I球为白 球的概率是多少？【解】记4=从袋中任取1球为白球,则X-E(A),E(X)= =5. A依题意 y=min(X,2).对于.v(V()，)=PyWy=0.对于 y>2,F(y)=P(X<y)= 1.对于0勺<2,当x>0时，在(Ok)内无故障的概率分布为尸XSv=l -e-M,所以F(),)=P y<y)=P mi n(X,2)<y =P X<y=1 -e5.23 .已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装 有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数Z的数学期 望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.PZ = k =【解】(1)Z的可能取值为0, 1, 2, 3, Z的概率分布为Z = 0,l,2,3.Z=k0123Pk19912020202019913因此，E(Z) = Ox + 1X + 2x + 3x =- 20202020 2(2)设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有P(A) = PZ = kPAZ = kk=0191921312020 6 20 6 20 6 4.假设由自动线加工的某种零件的内径X (亳米)服从正态分布N (/)，内径小于10或 大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，己 知销售利润7(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系-1,若X<10,T=pO,若 10<X«12, -5,若X>12.问：平均直径取何值时，销售一个零件的平均利润最大?【解】£；(T) = -PX <10) + 20PI0<X<12-5PX >12)= -PX-u<0-u + 20P0-u<X-u<l2-u-5PX-u>i2-u= -0(10-w) + 200(12-m)-(P(10-w)-51-0(12-m)= 254)(12-w)-21(D(10-m)-5.一加),"(T)= 250(12- )x(1) - 21奴10-)x( -这里 9(x) =eduJ2 兀得25e-e-“)2,2 =2幅-。j)“2两边取对数有 1,10ln25-(12-w)2 =ln21-(10-w)2.1 251解得M = U-lnl,19 10.9128(亳米)212由此可得，当“10.9毫米时，平均利润最大.25 .设随机变量X的概率密度为 1 v 加)=严万， o, 其他.对X独立地重复观察4次，用y表示观察值大于冗/3的次数，求r的数学期望. (20xx研考)1，X>,【解】令 =3 (i = l,2,3,4)则丫二之工B(4,p).因为 r=l兀，兀、71 f Jt/3 1 X I = PX >- = l-PX<一及X <- = J -cos-d¥ = -333。222所以夙 X)= 1r)(K)= ；,E(y)= 4x： = 2,D(Y) = 4x-x- = l = E(Y2)-(EY) 2 2从而 E(Y2) = D(r)+ F(y)2=l + 22=5.26 .两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间7Xi=l,2)服从参数为5的指数分布，首先 开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的 总时间人力+一的概率密度力(/),数学期望E (T)及方差。(T).【解】由题意知：曲)=5e-”，r>(),0, r <0.因71,“独立，所以加)可*及.当长0时,川/)=0;当仑0时，利用卷积公式得后=J： / (x).f2 (Z- x)dx = £5e_5'.5e_5(,-x,dr = 25上一”故得fN)= 4fN)= 425d”, 0,r>0,r <0.由于 7E(5),故知 E(Ti)=- ,D(Ti)= (z=l,2) 5252因此，有 E(T)=E(T1+T2)=w .2又因力,乃独立，所以。(/)=D (7)+72)=一.25.设两个随机变量X, 丫相互独立，且都服从均值为()，方差为1/2的正态分布，求随机变 量IX-H的方差.【解】设z=x-匕由于xN o,且x和y相互独立，故zn(o, i). 因D(x-Y) = D(|Z|) = E(|Z|2)- E(| z I)2= E(Z2)-E(Z)2,E(Z2) = D(Z) = 1, E(| Z|) = J： | z | -=e-?/2dz2 所以D(ix-y|)= i一一.71.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(Xvl),各产品合格与否相互独立，当出现 一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求七 (X)和。(X).P = 1(1一疗 p【解】记行1 -p,X的概率分布为PX=j=，p/=l,2,.,故 E(X) = £，0ip =(£")'= y z=iz=i11 1 4，又 E(X?) = Wfqip = 5y 加7p+£iqip二崎小三二崎小三2 Pq i j+j (i-4 p p2所以所以D(X) = E(X2)-E(X)2=#= p p p题29图27 .设随机变量X和y的联合分布在点(0, 1), (1, 0)及(1, 1)为顶点的三角形区域上 服从均匀分布.(如图)，试求随机变量u=x+y的方差.【解】D(U)=D(X+ Y)=DX+Dy)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY) -E(X)-E(Y).(x, y) G G, r <0.由条件知x和y的联合密度为G = (xyy)0<x<,0<y<,x+y>.从而 fx(x) =/(x, y)dy = 2dy = 2x.因此E(X) = xfx(x)dx = £ 2x2dx = 1,F(X2) = j 2x3dx = g,i 4 iD(X) = E(X2)-E(X)2.31同理可得E(y)=-,D(y)=.218E(Xy)= JJ2xyd.rdy = 2J；xdxJ； ydy =, g° l-t 125 4 ICov(X,n = E(XY) - E(x).E(y)= -于是于是D(U) = D(X + Y) = + 18 182_J_36-18,.设随机变量U在区间-2,2上服从均匀分布，随机变量-1,若 UWL J1,若UW1,1,若 U > 一 1,1,若 U > 1.试求(1)x和y的联合概率分布；(2)d(x+n .【解】(1)为求x和丫的联合概率分布，就要计算(x,y)的4个可能取值(-1,-1),(-1), 及(i,D的概率.Px=-,Y=-=PU<-,U<二二件px= -i,r=i =Pu<=? 0 =o,PX=,Y=-=PU>-M<故得x与y的联合概率分布为(-h-D(-U)0,-1)(1,1)（x,y）0.424 因。（* + 丫）=©（乂 + 丫）2-4乂 + 丫）亡而*+丫及（x+y）2的概率分布相应为从而 E(X + y)= (2)x' +2x4= 0, 44E(X + y)2 = 0x-!- + 4xl = 2, 22所以 Q(X + 丫)= E(X + Y)2-EX + r)2 = 2.28 .设随机变量X的概率密度为危尸ge-国，(-oo<x<+oo)(1)求 E (X)及 D (X)；(2)求Cov(X,|X|),并问X与因是否不相关？(3)问X与因是否相互独立，为什么？【解】(l)E(X) = J：xfeTKdx = ().Pycl IUf 4<o .D(X)= (x - ()2 - e4l1d.v = ()| x2e-Ad¥ = 2.J-oo2Jo(2) Cov(X,| X) = E(X X |)-E(X).E(| X |) = E(X4 X |)二厂 x | x 1-/3 = 0,所以X与因互不相关.(3)为判断因与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域YOV.K+CO中的子区间(0,+co)上给出任意点Xo，则有-Xo<x <x0) = |X|<x0)czX <x0.所以 OvP|X|<XovPXvXoL故由PX<Xo,X<xo = PX<xo>PX<xo.PX<xo得出X与因不相互独立.32.已知随机变量X和y分别服从正态分布N (1, 39 = -D(X) + -x(-6) = -3=0, 23_Cov(X,Z)Pxz Vb(x7gz)(3)由2xz=()，得x与Z不相关.又因ZN(g,3),XN(l,9),所以X与Z也 相互独立.33.将一枚硬币重复掷次，以x和y表示正面向上和反面向上的次数.试求x和丫的相关系 数。XY 【解】由条件知X+y=，则有。(X+Y) =D ()=0.再由 XB(几且 p=q=；,从而有D(x)= npq =彳=D(Y)和N(0, 42),且X与y的相关系数v VPXY= -1/2,设 Z=< + ；.32(1)求Z的数学期望E (Z)和方差。(Z)；(2)求X与Z的相关系数pxz;(3)问X与Z是否相互独立，为什么？(V y 1【解】(1) E(Z) = E - + -=-.I J 乙)J牍)=噌卜呜卜2.信=:x9 + ；x 16 + 2x；xgcov(X,y), 而Cov(X,y)= pxyD(X).D(Y) =-L |x3x4 = -6所以D(Z) = l + 4-6xl = 3.( V y A 11所以所以 因Cov(X,Z) = Cov X, + - =-Cov(X,X)+ -Cov(X,F) (32,32所以o=D(x+y)= D(x)+r(y)+2 Pxy Jd(x)jD(y)n . n=5 +工，故 Pxy = 7 J*134.设随机变量X和丫的联合概率分布为试求X和y的相关系数p.X-10100.070.180.1510.080.320.20【解】由己知知£(X)=0.6,£(y)=0.2,而XY的概率分布为.-I01P(108052(12所以 E (XY) =-0.08+0.2=0.12从而从而cov(x,r)=E(xr)-E(x)-E(y)=o.i2 -0.6x02=0PxY =035.对于任意两事件4和B 0<P(A)<l, 0<P(8)<l,则称JP(A)P(B)P(X)P(小JP(A)P(B)P(X)P(小为事件A和3的相关系数.试证:(1)事件A和8独立的充分必要条件是片0；(2) |p|<l.【证】 由2的定义知,p=0当且仅当P(AB) -P(A) P(B)=0.而这恰好是两事件A、8独立的定义，即p=0是A和8独立的充分必要条件.(2)引入随机变量X与V为(1,若4发生，(1,若8发生，0,若服:生；o,若破:生.由条件知，x和y都服从0-1分布，即0101x4y41 P(A) P(A)l-P(R) P(B)从而有 E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A) P( A ),D(Y)=P(B) P( B ),Cov(X,y)=P(AB) -P(A>P(B)所以，事件4和8的相关系数就是随机变量X和y的相关系数.于是由二元随机变量相 关系数的基本性质可得MW.36.设随机变量X的概率密度为1 -,21 - 41 -,21 - 4-1 < x < 0,0 < x < 2,其他令Y=X2, F (x,y)为二维随机变量(X, Y)的分布函数，求：(1)丫的概率密度力任)；(2) Cov(X,y);2-品).解：(1) 丫的分布函数为FY(y) = PY<y = PX2<y.当烂0 时，、(y) = o，AbJ)= o：当OVyVl时，FY(y)= P-<x< = P-<x<0 + P0<x<4y = 4y3加当 13y4 时，FY(y) = P-<X <0 + P0<X <4y = - + -4y加，)=加当这4 时，K(y) = l, 4(y) = 0.故y的概率密度为3八 .y840, 其他.E(X 户 J： xfx (x)±r = J： ； xdx +； xdx =； ,E(Y)=E(X2 尸二/人 "比=f,g+ £；Y心=j)，E(XY)=E(Y2)=I /人(x冰=J _!_丁(1丫 +3d¥ = 1,2 故Cov(X, Y) = E(Xr)-£(X)- E(Y)=.F(-1,4) = PX<-1, y<4 = PX<-1, X2<4= PX <-,-2<X <2 = P-2<X<-= P-1<X<-1) = 1.NP(A)全概率公式，PA|X = ZPX =k.=0*=0 N7V hO=*E(X)=.N N5.设随机变量X的概率密度为x, 0< x< 1,f (x) =< 2 - x, 1 < x < 2,0,其他.求七(X), D (X).【解】E(X) = 1 xf(x)dx =£x2dx + x(2-x)dxr, -11 r3-|2=-x3 + x2- =1.L3 Jo L3 J.E( x 2) = J： Y/(幻心=£x?dv + j2 x2 (2 - x)dx = :故 D(X) = E(X2)-E(X)2=166.设随机变量X, Y, Z相互独立，且E (X) =5, E (H =11, E (Z) =8,求下列随机变量 的数学期望.(1) U=2X+3"1；V=YZ-4X.【解】(1) EU = E(2X + 37+1) = 2E(X)+3E(Y)+1= 2x5 + 3x11 + 1=44.(2) EV = EYZ-4X = EyZ-4E(X)因y,z独立ay)£(z)-4E(x)= 11x8-4x5 = 68.7.设随机变量 X, y相互独立，且 E(X)=E(y)=3, D(X)=12, D(y)=16,求 E(3X-2" D C2X-3Y).【解】 E(3X-2r)= 3E(X)-2E(y)= 3x3-2x3 = 3.(2) D(2X-37) = 22D(X) + (-3)2Dy = 4x12 + 9x16 = 192.8 .设随机变量(X, Y)的概率密度为0<x< 1,0< <x, 其他.0<x< 1,0< <x, 其他.试确定常数上 并求七(XV).【解】因匚J： /(X，.y)dxdy = £ dxAdy = g A = 1,故 k=2E(XY) = j j xyf(x, y)dxdy =)4心 2)'dy = 0.25 .9 .设x, 丫是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2x, 0<x< 1,e-(y-5), y >5,A% 其他;/，3 = 0,其他.求 e (xn .【解】方法一：先求x与y的均值fi2E(X) = £x.2Mr = -,f+<O , V、 今 FV-S r4f-HX>E(Y) = £)七-2, dy - 5J。e dz + £ ze 'dz = 5 + 1 =6.由x与y的独立性，得E(XY) = (X).£(r)= |x6 = 4.方法二：利用随机变量函数的均值公式.因x与y独故联合密度为f(y) = fxM9fy(y) =2xe-(y-5),0,0 < x < 1, y > 5, 其他，于是£(Xy)= ( £xylxc (y 5,d.rdj = £2x2dv£)*e 'v、'dy = gx6 = 4.10 .设随机变量X, y的概率密度分别为fx (x) =«2e'2x, x()，0, x< 0;fy ='u，y > o,y < 0.求(1) E (X+r); (2) E (2X-3K2).【解】(X) = 二jtfx(x)dAj：x2e-2，dx = -xe_2t中edr=f e 'ch =. Jo 2E(Y)= J： M(y)dy/)"4e7dy =e(-)=J二 y-。曲="'由="1 1 3从而(i)E(x + y)= E(x)+ E(y)=+ =.2 4 4(2) E(2X -3F2) = 2E(X)-3E(r2) = 2xl-3x1 = |11 .设随机变量X的概率密度为Jere A r, x>(),f (x) =«0, x < 0.求(1)系数 c;(2) E (X) ; (3) D (X).【解】(1)由q= J；creY"dx = T = l 得c = 2公.。2k(2) E(X) = j .rf(x)d(x) = £ x»2k2xek x dx=2%2广中& =近J。2k(3) E(X2) = jx2/(x)d(x) = J：/.2公xe*/J_.故O(X) = E(X2)-画x)4-修祭.12 .袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出(取 出后不放回)，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X,求E(X)和。(X).【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0, I, 2, 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知由此可得 E(X) = 0x ().75() +1 x 0.204 + 2 x 0.()4 l+3x ().(X)5 = 0.301.9 PX=0= = 0.750,3 2 9 PX = 2 = x x = 0.041, 12 11 10于是，得到X的概率分布表如下：3 9PX = l = _x = 0.204,3 2 19PX=3= x x x- = 0.005.12 11 10 9X0123P0.7500.2040.0410.005E(X2) = 02 x 750 + 12 x 0.204 + 22 x 0.04 l + 32x 0.005 = 0.413D(X) = E(X2)-E(X)2 =O.4I3-(O.3O1)2 =0.322.13 .一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为/(“)=.%三 x>。，0, x < 0.为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在年内损坏可以调换.若售出台设备, 工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利丫只有两个值：10。元和-200元Py = 100 = PX>l =" 1 e-r/4dx = e-,/4PY = -200) = P(X <1) = 1-e-,M.故 EG) = 100xe-,M + (-200)x(l-e-1/4) = 300c-l/4 - 200 = 33.64 (元).14 .设Xi，X2，X是相互独立的随机变量，且有E (X,)=小D (X,)=，工1, 2, n,记x=-Yxiis2, s2=y(xz-x)2.(J2(1)验证 E(X)=", D(X)=； n(2)验证 S?=-(之-1片(3)验证 E(52)二.【证】 E(X) = Ef-y Xz 1 = -E(y X,.) = -y E(X,.) = -.nu = u.1 z=i J /=i ,=inD(X)=从，£ X j =二0( f X J X,之间相互独立4汽DXiI j=i /1=1= /=112/=ncr =.n" n(2)因£(%, -X)2 = J(X,2 + X2 -2XX.) = £ X： + nX2-2XY X/»=i*=ii=ii=i= £x； + nX2-2X»nX =2 X： 一病j=1r=l故这X：病).(3)因 E(XJ = ”,O(XJ = a:,故E(X；) = O(XJ + (EX,)? =(y2+u2.同理因 E(X) = u,D(X) = E(X2) = + u2. nn从而E(s2) = E -这X；-玄)=-E(Xf)-nE(X2)= -E(Xf)-nE(X2)=! (/+2) - 4-M2= (T2.n-n.对随机变量 X 和匕 已知。(X) =2, D (Y) =3, Cov(X,r)=-h 计算：Cov (3X-2Y+I, X+4K-3).【解】Cov(3X-27+1,X + 4/-3) = 3D(X) + 10Cov(X,Y)-8D(K)= 3x2 + 10x(-l)-8x3 = -28(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(K3)=0,其余类似).15 .设二维随机变量(X, Y)的概率密度为1 , »x- + v- < 1,/ (x，y) =s n0, 其他试验证x和y是不相关的，但x和y不是相互独立的.【解】设。= (x,)，)|d + y2wi.E(X) = J：D(x,y)dxdyjj xdxdy="rrcos6rdrde = 0.兀 Jo Jo同理 E(y)=o.而 Cov(X, Y) = x-E(x).y-E(Y)f(x,)，)drdyJ-oc=jj Aydxdy = J：,'sin6cosOrd/xi<9 = 0,由此得Oxy =0,故X与y不相关.下面讨论独立性，当国51时，fx (x) f - dy = - yj-x2.Ji-W-f n n当汩时，人(可丁;心彳尸.显然 fx Mfy(y)工 f(x9 y).故X和y不是相互独立的.17.设随机变量(X, Y)的分布律为X-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8验证x和y是不相关的，但x和y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，x与丫显然不独立，由联合分布律易求得x, y及xy的 分布律，其分布律如下表X -101P323888Y-101P323888XY-101P 242_888由期望定义易得E (X) =E (H =E (XH =0.从而E(xv尸£(x>E(r),再由相关系数性质知pxx=o,即X与y的相关系数为o,从而X和y是不相关的.3 3 1又 px=ipy=i=£/1Px=Ty = TO O O从而x与丫不是相互独立的.18.设二维随机变量(X, Y)在以(0, 0), (0, 1), (1, 0)为顶点的三角形区域上服从均 匀分布，求 Cov (x, n, pxy.E( X) =y)drdy = £d.v£ ' x2dy = 1D3E(X2) = J/x7(x, >')clvdv = £ 呵:2Wdy = 1D0、? I二T?从而 D(X) = E(X2)-E(X)2 =-6 1 3同理 E（y）="z）（y）=±.31 oE( XY) = jj xyf (x, y)dYdy = jj 2xydxdy = £ dv£ ' 2xydy =dd0012所以Cov( x, y)= e( xy)- 4 x)e( y)=-2 x ?=12 3 336从而从而cov(x,r)PxY 6(x56(y)19.设(X, Y)19.设(X, Y)的概率密度为sin(x+ y), 0<0,sin(x+ y), 0<0,其他.求协方差Cov (X, Y)和相关系数pxy.f-Ko f-bx”/2rx/2【解】&X)= LL4*dd)，= J。1. /、I 兀x» sin(x+y)ay =.E(X 2) =dvj / g sin(x + y)dy =- 2.从而D(X) = E(X2)-rE(X)2=4-1-2.同理E(r)=-,z)(n=+-2.416 2fn/2 fn/2E(xy)=0 时。71jcy sin(x + y )chdy =-1,故 cov（ x,r）= E（xr）-E（x）.E（y）=71-4?7t-4T(71-4)2_ 兀2-8兀+ 16兀2+8兀-32一一兀2+8兀32,试求Z产X-2丫和Z?=2X-丫的相关 4_ Cov(X,y) 4PxY yb(x).yba) L+_2 16 220 .已知二维随机变量(x, y)的协方差矩阵为1 1系数.【解】由己知知:D(X)= 1 ,D(n=4,Cov(Xn= 1.从而D(Z,) = D(X-2Y) = D(X) + 4D(y)- 4Cov(X, V) = 1 + 4x4 4x1 = 13, D(Z2) = Z)(2X-y)= 4D(X) + D(y)-4Cov(X,y)= 4xl + 4-4xl=4,Cov(Z1 ,Z2) = Cov( X-2Y,2X-Y)=2Cov( X, X) - 4Cov( r,X)-Cov(X,y)+ 2Cov( Y, Y)= 2D(X)-5Cov(X,y)+ 2D(y)= 2xl-5xl + 2x4 = 5._ CovZZ)=5_ 5 r和 一 M(ZJ向Z2). 'V 一21 .对于两个随机变量匕W,若E(y2), E (W2)存在，证明: E (VW) 2<E (V2) E (IV2).这一不等式称为柯西许瓦兹(Couchy-Schwarz)不等式.【证】令g(f) = £V + fW2)/£R.显然0<(/) = E(V + tW)2 = EV2 +2tVW + t2W2=EV2 + 2tEVW +12.EW2,V/ g R.可见此关于，的二次式非负，故其判别式名)，即 0 之 = 2E(VW)12 -4E(W2).£(V2)=4F(W)2 - E(V2).E(W2).jfcE(VW)2 < E(V2).E(W2).22 .假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数2=1/5的指数分布.设备定时开机，出现 故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障 工作的时间丫的分布函数尸(了).【解】设y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间