2019年高考理数真题试卷（天津卷）.docx

阅卷人得分2019年高考理数真题试卷（天津卷）一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。（共8题；共40 分）1. （5 分）设集合 A = -1,123,5, B = 2,3,4, C = % G/?|1 < % < 3,则 Q4 n C） U B =（ ）A. 2B. 2, 3C. -1, 2, 3D. 1, 2, 3, 4）rx + y - 2 < 0,2 .（5分）设变量居y满足约束条件% " 7 J." 0,则目标函数z = -4x + y的最大值为I % / Lv y > -1,（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6. （5 分）设 E R ,则“ %2 - 5% < 0 ”是" 1| < 1 "的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）B. 8A. 5C. 24D. 29弦定理可得cosB =q2+c2/ _ 后+弼 蜘23csinB =c = a .由余(II )由(【)可得 sinB = V1 cos2B =, 从而 sin2B = 2sinFcosB = 4ocos2B =cos2B sin2B = ,故o7T sin(2B + g)nnsin2Bcosg + cos2Bsing715 73 7 13V5 + 7二-8-X*X2X 字+ 5X2X*=-6 + 5=-1故答案为：-1【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起 点所成的角才可以。15 .【答案】解：在AABC中，由正弦定理，得bsinC = csin5 ,又由4asinC ，得 3bsinC = 4asinC ,即 3b = 4a .又因为 b + c = 2a ,得至U b = a【解析】【分析】(I )利用正余弦定理即可求得cosB(II)利用cosB ，求得sinB ，进而根据二倍角公式求出sin2B ， cos2B ，再利用两角和的正 弦即可求得答案。本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。16 .【答案】解：(I )解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7： 30之前到校的概率均为 | ,故 x8(3, 1)，从而 P(X = k)=或(|)吗)3-k, k = 0, 1, 2, 3 .所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X) = 3 x|= 2 .X0123p1272949827(IT)设乙同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数为r ,则丫8(3, |),且M = X = 3, y = 1 u x = 2, y = 0.由题意知事件x = 3, y = 1与x = 2, y = 0互斥，且事件X = 3与Y = 1,事件X = 2与Y = 0均相互独立，从而由(I)知8 2 4 120 XIy = 27 9 9 27 243p(m)= p(x = 3, y = 1 u x = 2, y = o)= p(x = 3, y = 1)+ 尸(x = 2, y = o)=p(x = 3)p(y = i)+ p(x = 2)p(y = o)=【解析】【分析】本题主要考查随机变量及其分布列和数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率 计算公式。(I)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7： 30之前到校的概率均为| ,利 用尸(X =k)=或(|)及即士 k = o, 1, 2，3分别求出相应的概率，即可求出随机变量X的数 学期望。(II)先列出发生事件m的几种情况，由题意知事件X = 3, 丫 = 1与X = 2, 丫 = 0互斥， 且事件X = 3与 任=1,事件X = 2与丫 = 0均相互独立，由此即可求出事件M发生的 概率。17 .【答案】解：依题意，可以建立以A为原点，分别以AB, AD , AE的方向为轴，y轴， Z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，XX可得 4(000), B(ioo), C(120), r>(0,l,0) , E(0,0,2) .设 CT =h(/i > 0),贝U F(l,2,/i).(I)证明：依题意，AB = 是平面ADE的法向量，又 加=(0,2,/i),可得BF-AB =0 ,又因为直线BF (t平面ADE ,所以BF |平面ADE .(II)依题意，BD = (-1,1,0), BE = (-1,0,2), CE = (1,2,2).设九二 ("Z)为平面BDE的法向量，则心言二；x + y = 0fx + 2z = 0,不妨令z = 1可得n = (221) .因止匕有cos(CE,n)=m - BD = 0,m - BF = 0,所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(III)设租= (%y,z)为平面BDF的法向量，则不妨令y = 1 ,可得Hi = (LI,令2/5 _ |m-n| _ |4一五| _ 1°由题意，有|cos<nmi =万丽一干三一可 ,解得h=3 .经检验，符合题意.所以，线段CF的长为§【解析】【分析】本题主要考查空间向量的应用，直线与平面平行判定定理、二面角、直线与平面 所成的角等知识。(I )欲证BF |平面ADE ,需证出BF与平面ADE的法向量垂直，由而=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又前=(02八)，可得丽荏=0 ，进而得出BF |平面ADE ；(II)要求直线CE与平面所成角的正弦值，只要找出CE与平面的法向量所成的角 的余弦值即可。(III)设出平面的法向量租= ®y,z),根据 8.££ 二 °，求出访,再根据|cos冠粉二 得离=£ ,求出线段CF的长。l/fvl 1*1.【答案】解：(I )设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b = 4,工=尊，又a2 = b2 + c2，可得 a 5a = V5 ， b = 2,c = 1 .所以，椭圆的方程为4+耳=1.54y = kx +2,(II)由题意，设 P(Xp , yp)(%p W 0),M(%m，0).设直线 PB 的斜率为 k(kwo)，又 8(0,2),则直线PB的方程为y = kx +2 ,与椭圆方程联立则直线PB的方程为y = kx +2 ,与椭圆方程联立x2 v2 整理得(4 + 5k2)/ + 20/cx =S + Al20 ,可得冷=一包¥ ，代入y = k% + 2得%=匕吗,进而直线0P的斜率袈= 4+5/外 4+5/c2邳2945k.在y = " + 2中，令y = 0 ，得项=一.由题意得(0,-1),所以直线MN的斜率为T .由0PlMN ,得"5左2,化简得/=，从而攵=+缪.2-10k 1 275- 5所以，直线PB的斜率为洞或窣 55【解析】【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。(I)由椭圆的短轴长，离心率，即可求afbtc ,进而求得椭圆的方程;(II)由已知条件写出直线PB的点斜式，把直线PB的方程跟椭圆的方程联立，用k表示出P点的坐标，进而求出k0P，在通过已知条件求出kMN ,由0PlMN ,得出k0P-kMN = -1求出 k的值，进而得出直线PB的斜率。19.【答案】解：(I )设等差数列。"的公差为d ,等比数列g的公比为q.依题意得(6q = 6 + 2d, (6q2 = 12 + 4df(6q = 6 + 2d, (6q2 = 12 + 4df解得(d = 3,lq = 2,故册=4 + (zi 1) x 3 = 3几 + Lbn = 6x 2 几t = 3 x 2九.所以，an的通项公式为an = 3几+ 1, 勾的通项公式为bn = 3x2n .(II ) (i) a2n(c2n -1) = a2x(bn - 1) = (3 x 2n + 1)(3 x 2n - 1) = 9 x 4n - 1 .所以，数列。2九(。2九一1)的通项公式为a2n(c2n - 1) = 9 X 4?： - 1 .九L 2"2九 一(ii) £f=i % Ct = i=1at +(g - 1) = at +一 D= 0x4 +2n(2n-l)nX3)+W(9x4，-1)i=l4(1-4n)=(3 x 22 九 T + 5x 2 九一 2)+ 9 x ； _ J - n=27 x 2271T + 5 * 2九t - n- 12 (n G N*)【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。(I)由%=4/1 = 6,82 = 2。2-2*3 = 2。3 + 4，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求斯和bn的通项公式;(II)由(i ) &J的通项公式为an = 3n+ 1, bn的通项公式为bn = 3 x2n ,= lfcn =L f 几，'得出数列物©九1)的通项公式；bk，n = 2 ,(五)将求1弓6 WN*)代值并化简即可求值。20.【答案】解：(I )由已知，有 /'(%) = e%(cosx sin%).因此，当 e (2/ot + *2/ot + 争(左 Z)时，有 sin% > cosx ,得 f (%) < 0 ,则 /(%)单调递减；当 x G (2/ot 苧,2/ot + *)(k e Z)时，有sinx < cos% ,得/'(%)> 0 ,则/(%)单调递增.所以,/(%)的单调递增区间为2时竽,2/ot +勺(k Z),/(%)的单调递减区间为2/ot +(keZ).(II)证明:记八(%) =/(%) +g(%)(5 - ).依题意及(I ),有 g(x) = ex(cosx - sin%),从而“(%) = -2exsinx .当 。皆)时，“(%) V 0，故T(%) = /'(%) + “(%)(5 - ) + g(%)(i) = )因此，h(x)在区间 冷野 上单调递减,进而h(x) >咐)=啰)=0 .所以，当 xGp5时,/(%) + g(%)g %)>0 .(III)证明：依题意，u(xn) = f(xn) -1 = 0 ,即 e%九cos%九=1 .记% = %九 一 2九兀,则 yn G (5,y)，且 /(%) = eyncosyn = eXn-2n7rcos(xn - 2htt) = e-2n7r(n 6 N).由 /(yn) = e一2M4i = /(y0)及(1)，得 yn)y° .由(II)知，当 e时，g'(%) <0 ，所以g(x)在 冷刍上为减函数,因此g优)&g(y0) v遍)=0 .又由(II)知,f(yn) +e2mie2nnn_/.)= ？一2"兀2ml =2 %、g(yn) g(%)、g(yo) eyO(siny0-cosy0)p 27171sinxg-cosx_TTp _ 2"7T所以，2717T + 7T - Xn V -：2 n sinx0-cosx0【解析】【分析】本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用。(I )对函数f(x) = e%cosx求导可求出/(%)的单调递增区间和单调递减区间；(II)先构造函数 h(x) =/(%) + g(%)g - X)，再对(I)(x) = ex(cosx sin%)求导，找出 /i(x)的单调递减区间，结论得以证明；(III)由已知条件 u(xn) = /(xn) -1 = 0 得出 yn = xn- 2nn ,进而得出 /(yn) = e_2n7r41 =/(yo) ，结合(II) 9(%)在 冷刍为减函数，即可得到。(%)<9仇)<9。)=0 ,再由(H)可知/(%) + 9优)得一%)20 ,利用单调性即可证得结论。 乙5.（5分）已知抛物线y2 = 4x的焦点为F ，5.（5分）已知抛物线y2 = 4x的焦点为F ，准线为I,若I与双曲线今一，二1（q > 0, b >0）的两条渐近线分别交于点A和点B ，且AB=40F0为原点），则双曲线的离心率为A. V2B. V36. （5 分）已知 a = log52 , b = log0 50.2A. a < c < bB. a < b < cC. 2D. V5c = O.50,2 ,则af bfc的大小关系为（）C. b < c < aD. c < a < b（5分）已知函数/（x） = AsinQx + 0）（/> 0,3 > 0,|卬| < tt）是奇函数，将y =/（x）的图像上 所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g（%） .若g（%）的最小正 周期为27r ,且泪）=V2 ,则/）=（）A. -2B. -V2C. V2D. 2（5分）已知a e R ,设函数/（%）=俨2 2a； + 2a,:若关于=的不等式。在x - alnx, x > 1,B. 0,2阅卷入得分B. 0,2C. 0, eD. l,eA. 0,1R上恒成立，则a的取值范围为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（共6题；共30分）（5分）i是虚数单位，则|M|的值为10. （5 分）（2%-是展开式中的常数项为11. （5分）已知四棱锥的底面是边长为V2的正方形，侧棱长均为V5 ,若圆柱的一个底面的圆周经 过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.12. （5分）设aeR ，直线ax-y + 2 = 0和圆匕：彳七锂（ 0为参数）相切，则a的值 y jl 十 zsiricz为.13. （5 分）设1 > 0, y > 0, % + 2y = 5 ,则的最小值为.14. （5 分）在四边形 ABCD 中，AD | BCtAB = 23f AD = 5/4 = 30。，点 E 在线段 CB 的延长线上，且AE = BE阅卷入得分长线上，且AE = BE，贝1J丽，荏=.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（共6题；共80分）（13分）在 A ABC中，内角AfBfC所对的边分别为afbfc .已知b + c = 2a , 3csinB =4asinC .(I )求cosB的值；(H)求 sin(25 +1)的值.15. (13分)设甲、乙两位同学上学期间，每天7： 30之前到校的概率均为| .假定甲、乙两位同学 到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(I )用X表示甲同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数 学期望；(II)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7： 30之前到校的天数比乙同学在7： 30之前 到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.16. (13 分)如图，AE 1 平面 ABCD , CF | AEt AD | BC , AD 1 ABf AB = AD =1, AE = BC = 2 .(I )求证：BF |平面ADE ；(ID求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(III)若二面角E-BD-F的余弦值为1 ,求线段CF的长.17. (13分)设椭圆与+4=l(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为 a b4,离心率为电.(I)求椭圆的方程；(II)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上,若0N = 0F ( 0为原点)，且0PlMN ,求直线PB的斜率.18. (14分)设an)是等差数列,bn)是等比数列.已知的=4*1 = 6, b2 = 2a2 2,b =(I )求an和bn)的通项公式;1 2fc < n < 2fc+1(H)设数列4满足C1 = 1,%= L N几'其中/CEN*.bk，n = 2 ,(i)求数列Q2MC2九一1)的通项公式;(ii)求£着四6(71 N*).19. (14 分)设函数 /(%) = excosx, g(x)为 /(%)的导函数.(I )求/(%)的单调区间；(II)当 %Gp5 时,证明 /(%) + g(x)g %)0 ；(III)设xn为函数比(%)=/(%) 1在区间(2m + *2师+ *)内的零点，其中n e N ,证p 21177明 2727r +5 - xn < -.2 n sinx0cosx0答案解析部分1 .【答案】D【解析】【解答】AC = 1,2 , Q4nC)UB = 1,234故答案为：D【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。2 .【答案】C【解析】【解答】作出不等式对应的平面区域，由z = 4% + y得y = 4% + z ,平移直线y = 4% + z ,可知当直线y = 4x + z经过直线x y + 2 = 0与x = 1的交点时，直线y = 4x + z 的截距最大，此时Z最大由.7 + 2 =。解得;二I x = -1( y - 1x 少+2=0!x*y-2=0x=-l此时直线 y + 2 = 0与x = -l的交点为(-1J)此时z的最大值为z = -4 x (-1) + 1 = 5故答案为：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出z的最大值。3 .【答案】B【解析】【解答】由- 1| V 1得，0 V % < 2由 x2 5x < 0 得 0Vx<5由“小范围”推出“大范围”得出0<%<2可推出0<%<5故" 0 V % < 5 ”是" |x 1| < 1 "的必要而不充分条件。故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。4 .【答案】B【解析】【解答】该程序框图共运行3次：第1次，:1,1非偶数，S = 0 + 1 = 1, 1 =2V4；第 2 次，1 = 2.2 是偶数，j = g= 1 , S = l + 221 = 5, i = 3 < 4 ； i = 3 , 3 非偶数，S = 5 + 3 = 8, i = 2>4成立，结束循环，故输出S = 8。故答案为：B【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断i值的变化规律以及对应的赋值语 句即可得出答案。5 .【答案】D【解析】【解答】抛物线y2 = 4%的准线I ： x = -l抛物线y2 = 4%的准线为F,|。尸| = 1抛物线y2 = 4x的准线与双曲线马g=l(aO*O)的两条渐近线分别交于A, B两点，且 AB = 40F = 4 ,”(I, 2) ， 8(1, -2)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得2=2,CL b2 = 4a2 ,A 4a2 = c2 a2 ,即 5a2 = c2 ,:.e = ' = V5 . a故答案为：D.【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标，AB=40F得出 弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a,b,c的关系式得出出a,c的关系，即可 求得离心率。6 .【答案】A【解析】【解答】c = O.50,2 V 1 且 c = O,50,2 > 0,51 =，cl = log52 < log5V5 =，b = 乙乙logo,sO-2 > log0 50.5 = 1故 b > c > a故答案为：A【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定afbfc的大小关系即可。7 .【答案】C【解析】【解答】由函数/(%)= Zsin3% + 8)(4 > 0,3 > 0/w| <兀)是奇函数，得/(0) = 0 ，即 sin© = 0 得 0 = 0由y = /()的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为 g(%).若g(x)的最小正周期为27r ,得/(%)的最小正周期为n , 3 =竿=多=2 /(%) = Zsin2%故 g(x) Asin%由 9。) = & 得/si4=&即 4 = 2故/(等)=2sin2 x等=鱼故答案为：C【分析】由奇函数得/(0) = 0 ,即sin。= 0得。=0,由丫 = /(%)的图像上所有点的横坐标伸 长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x)的最小正周期为27r ,得/(%)的最小正周期为n,求出3,进而得出/(%) = /lsin2x , g(x) = Asinx ,再代入 福)=应求出A的值，进而得出/(券)o8 .【答案】C【解析】【解答】V/(x) = x2 2ax + 2a的对称轴为x = a又/(%) = % aln%./(%) = 1忖=*V/(x) N 0在R上恒成立, f(%)min -。.当 a 4 1 时，仔2a2a > 0 得+ 2a 之 0 解得 0 £ a E 1 ；当 a>l 时,1_2,+2好0得 a(i _ ina)> o 解得 l<a<e 。综上所述，OWaWe故答案为：C【分析】分段讨论a W 1和a > 1时，求最小值的问题，关于x的不等式/(%)之0在R上恒 成立，解不等式即可得出。的取值范围。9 .【答案】V13【解析】【解答】|招 =|篇器3 | = |2 - 34 = 02 + (-3)2 =反故答案为：VT3【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共辄复数，再利用复数求模即可得出答 案。10 .【答案】28【解析】【解答】展开式的通项公式为7r+i = 6(2%)8t(=玛28T4r 。人令8 - 4r = 0可得r = 2故展开式中的常数项为或26(-52 = 28故答案为：28【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。11 .【答案】I【解析】【解答】四棱锥的底面是边长为V2的正方形，侧棱长均为V5 连接AC ，设四棱锥的高为PO , 0是底面的中心。1：.AC = 2 , AO =AC = 1在 RtPOA 中，PO = >JPA2-AO2 = 2圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心， 圆柱底面的半径r = AO = | ，圆柱的高h = PO = 1*圆柱的体积V = Sh = nr2h =兀x (i)2 x 1 =今【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半 径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。12.【答案】|【解析】【解答】把圆的参数方程化为普通方程得：（、 2）2 +（y1）2=4圆心的坐标为（2,1）,半径丁 二 2;直线qx y + 2 = 0和圆相切，,|qx2-1+2| Q圆心到直线的距离d = I ? / 、2 = 2X+（-i）z即 |2a + 1| = 2Va2 + 1解得：a = 7故答案为：I【分析】将圆的参数方程化为普通方程，利用圆心（2,1）到直线ax-y+ 2 = 0的距离等于半径即 可得出答案。13 .【答案】4V3+福之2历我*=4百 时，等号成立。【解析】【解答】vx > 0, y > 0, x + 2y = 5.（x+l）（2y+l） _ 2xy+%+2y+l _ 2%y+6 _ 京 一 市 一向 一 当且仅当2月=击，即当仁二;或 故答案为：4V3【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。14 .【答案】-1【解析】【解答】,:AD”BC , AB = 2晅、AD = :44 = 30。，点E在线段CB的延长线上，AE = BE作 EF 1AB：./.ABE = 30° , /.BAE = 30°:在 RtAFE 中，4E = 2 , .'.'BD - AE = (BA +AD) -AE= BA-AE+AD-AE=| 询福 cosl50。+ |福 |福 cos60。