教育专题：213函数的简单性质---单调性2.ppt
第2章函数概念与基本初等函数2.1.3 2.1.3 函数的简单性质函数的简单性质-单调性单调性上图是我国上图是我国1949年至年至1995年的人口，粮食总产量以及人均年的人口，粮食总产量以及人均粮食的变化从上图的数据我们可以看出人口和粮食总产量和粮食的变化从上图的数据我们可以看出人口和粮食总产量和人均粮食是逐年增加的。人均粮食是逐年增加的。能用图象上动点能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标的横、纵坐标关系来关系来说说明上升明上升或下降或下降趋势吗趋势吗？xyoxyoxyo 在某一区间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图像在该区间内逐渐上升；图像在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图像在该区间内逐渐下降。图像在该区间内逐渐下降。先下降后上升先下降后上升下降下降上升上升1.函数函数 在区间在区间 上随着上随着x的增大函的增大函数值也增大数值也增大,那么在区间那么在区间 上任意两个不同上任意两个不同的的 ,试问试问 与与 有什么关系有什么关系?2 2.能推广到一般的函数能推广到一般的函数 在区间在区间D上随着上随着 的增大的增大,相应的相应的 值也增大值也增大(或减小或减小),能用数能用数学语言与符号表示吗学语言与符号表示吗?当当 时时,;当当 时时,.Oxyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I.如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内某个内某个区区间间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单这个区间上是单 调增函数调增函数,D称为称为f(x)的单调区间的单调区间.当当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调增这个区间上是单调增 函数，函数，D称为称为f(x)的单调增区间的单调增区间.那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调减这个区间上是单调减 函数，函数，D称为称为f(x)的单调的单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I.如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内某个区间内某个区间D上上的任意两个自变量的值的任意两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I.如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内某个区间内某个区间D上上 的任意两个自变量的值的任意两个自变量的值x1,x2，当当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，当当x1单调区间单调区间判断判断1 1：函数函数f f(x x)=)=x x2 2 在在 是单调增函数是单调增函数；（1 1）如果函数）如果函数 y=f(x)在区间在区间D D是单调增函数或单调减函数，是单调增函数或单调减函数，那么就说函数那么就说函数 y=f(x)在区间在区间D D上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。（2 2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;xyo答案：答案：(不是不是)判断判断2 2：定义在定义在R上的函数上的函数 f(x)满足满足 f(2)(2)f(1)(1)，则函数则函数 f(x)在在R上上是增函数；是增函数；（3 3）x 1,x 2 取值的任意性取值的任意性yxO12f(1)f(2)例例1 1 下图是定义在下图是定义在 5 5，55上的函数上的函数y yf f（x x）的图象，根的图象，根据图象说出据图象说出y yf f（x x）的单调区间，以及在每一单调区间上，的单调区间，以及在每一单调区间上，y yf f（x x）是增函数还是减函数是增函数还是减函数.单调递增区间：单调递增区间：-2,1,3,5单调递减区间：单调递减区间：-5,-2),(-3,3)看下列函数图象看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间下列各函数有没有单调区间,若有写出其单调区间若有写出其单调区间.图图1图图3图图2没有单调区间没有单调区间减区间减区间增区间增区间没有单调区间没有单调区间 画出函数画出函数 图象图象(1)这个函数的定义域是什么这个函数的定义域是什么?(2)它在定义域它在定义域I上的单调性是怎么样的上的单调性是怎么样的?函数的定义域为函数的定义域为_ 若将若将 改为改为 ,则函数的单调性又则函数的单调性又 如何如何?xy0在在 函数是单调递减的，函数是单调递减的，在在 函数也是单调递减的。函数也是单调递减的。例例2.物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 (k为正常数为正常数)告诉我们告诉我们,对于对于一定量的气体一定量的气体,当其体积减小时当其体积减小时,压强压强 p将增大将增大,试用函数的单试用函数的单调调性证明之性证明之.则则，且，且所以函数所以函数 在区间在区间 上是减函数上是减函数.证明：设证明：设 是定义域是定义域 上任取两个上任取两个实实数数,且且 又,于是取值取值作差作差变形变形定号定号结论结论证明函数单调性的一般步骤证明函数单调性的一般步骤:取值取值作差变形作差变形定号定号结论结论2.证明函数在证明函数在 上上 是减函数是减函数.1.证明函数在证明函数在 上上 是减函数是减函数.证明证明证明证明 (2)一次函数一次函数 的单调性又如何的单调性又如何?(1)反比例函数反比例函数 的的单调单调性？性？(可分可分k0,k0讨论讨论)探究思考思考:1.若若 在在R上是减函数上是减函数,且且 ,求实求实数数m的取值范围的取值范围.2.观察下列函数图象观察下列函数图象,除了单调性除了单调性,你还能发现函你还能发现函数的哪些性质数的哪些性质?小结小结1.1.函数单调性的定义中有哪些关键点？函数单调性的定义中有哪些关键点？2.2.判断函数单调性有哪些常用方法？判断函数单调性有哪些常用方法？3.3.你学会了哪些数学思想方法？你学会了哪些数学思想方法？证明：在区间证明：在区间 上任取两个上任取两个值值 且且 则则，且，且所以函数所以函数 在区间上在区间上 是减函数是减函数.证明：在区间证明：在区间 上任取两个上任取两个值值 且且 则则 ，且，且所以函数所以函数 在区间上在区间上 是减函数是减函数.
