教育专题：18角平分线.ppt
角平分线角平分线 不利用工具，请你将一张用纸片做的不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC 再再再再打打打打开开开开纸纸纸纸片片片片 ，看看看看看看看看折折折折痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？（对折对折）探究角平分线的性质 (1)实验：将实验：将 AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？结论？(2)(2)猜猜想想:角角的的平平分分线线上上的的点点到到角角的的两两边边的的距离相等距离相等.证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB PDO=PEO=900 在在 PDO和和 PEO中中,PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（A.A.S.）PD=PE（全等三角形的对应边相（全等三角形的对应边相等）等）P PA AOOB BC CE ED D12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E.E.求证求证:PD=PE.:PD=PE.(3)验证猜想验证猜想 几何语言几何语言:1=2,PD OA，PE OBPD=PE（角平分线上的点到角两角平分线上的点到角两角平分线上的点到角两角平分线上的点到角两边的距离相等边的距离相等边的距离相等边的距离相等）P PA AOOB BC CE EDD12(4)得到角平分线的性质：得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。1、如图：如图：1=2,_ DC=DE ACDEB122、判断题、判断题（）如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）BD =DC ，()角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等。两边的距离相等。巩固练习：巩固练习：DCAC,DEAB 1.如图，ABC中，C=90，BD平分ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，BD=3cm，DE=1.5cm，则AC等于（）A3cmB7.5cmC6cmD4.5cm BCDEAP118例1.如图，CDAB于D，BEAC 于E，CD，BE交于点O，且1=2，求证：OB=OC 课内探究例2：如图，在ABC中，C=90，AC=4cm，AB=7cm，AD平分BAC，DEAB于F，求EB的长 3如图，在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，若BA5，CD2，则ABD的面积为_2已知：如图已知：如图,PDPDOAOA，PEPEOBOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，PDPDPEPE求证：点求证：点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上OCB1A2PDE 证明：证明：PD OA，PE OB，在在Rt PDO 与与Rt PEO中中PDO=PEO=900PD=PE（已知）（已知）OP=OP（公共边）（公共边）Rt PDO Rt PDO(H.L)1=2 即点即点P在在AOB的平分线上的平分线上角平分线上的点角平分线上的点角平分线上的点角平分线上的点到角两边的距离到角两边的距离到角两边的距离到角两边的距离相等。相等。相等。相等。逆命题到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等的点在这距离相等的点在这个角的平分线上个角的平分线上.ACBEDPMHK如图，在如图，在ABC的的 顶点顶点 B的外角的平分线的外角的平分线BD与与顶点顶点 C的外角的平分线的外角的平分线CE相交于点相交于点P求证：点到三边求证：点到三边AB、BC、AC的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PM、PK、PH分别垂直于分别垂直于AB、BC、AC，垂足为垂足为M、K、H。BD平分平分CBM PKPM同理同理PKPH PKPMPH即点即点P到三边到三边AB、BC、AC的的距离相等距离相等若求证点若求证点P在在BAC的平分线上，的平分线上，又该如何证明呢？又该如何证明呢？已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P.FABCPN求证：点求证：点P在在BACBAC的平分线上的平分线上.3已知：如图，BD=CD，CFAB于点F，BEAC于点E求证：AD平分BAC4、如图，PA=PB，1+2=1800。求证：OP平分AOB。格瑞特教育格瑞特教育补充题：如图，已知：补充题：如图，已知：AB CD，B=90，E是是BC的中点，的中点，DE平分平分 ADC。求证：求证：AE平分平分 DAB。ABDEC作业讲评作业讲评1 1如图，已知如图，已知ABCABC为等边三角形，为等边三角形，D,E,F D,E,F分别在边分别在边BC,AC,ABBC,AC,AB上上.(1)(1)若若AF=BD=CE,AF=BD=CE,求证求证:DEF:DEF是等边三角形是等边三角形;(2)(2)若若DEFDEF是等边三角形是等边三角形,求证求证:AF=BD=CE.:AF=BD=CE.，123 2.2.如图，如图，R Rt tABCABC中，中，AA90AB=AC,D90AB=AC,D是是BCBC的中点的中点.(1)(1)如图如图,E,E、F F分别为分别为ABAB、ACAC上的点，且上的点，且BE=AF,BE=AF,求证：求证：DEF DEF为等腰直角三角形为等腰直角三角形 (2)(2)若若E E、F F分别为分别为ABAB、CACA延长线上延长线上的点，仍的点，仍有有BE=AF,BE=AF,那么那么DEFDEF是否仍为等腰直角三角形是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论？证明你的结论 ADCBEFADCBFEBDE ADF123练习练习.如图，如图，CD AB于于D，BE AC 于于E，CD，BE交于点交于点O，且，且OB=OC，求证：，求证：1=2.
