函数概念、极限、连续.ppt

多 元 函 数 微 积 分 空间解析几何简介空间解析几何简介 二元函数的概念二元函数的概念偏导数和全微分偏导数和全微分 第六章第六章多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法 多元函数的极值多元函数的极值 二重积分二重积分 平面直角坐标系平面直角坐标系 oxy平面内任取一点平面内任取一点O原点原点 过过O点另作一垂线点另作一垂线y轴（纵轴）轴（纵轴）过过O点做一直线点做一直线x轴（横轴）轴（横轴）两坐标轴分平面为两坐标轴分平面为、象限象限 实数对（实数对（x，y）对应平面内的点）对应平面内的点P，记作，记作P（x，y），分别），分别 称数称数x为点为点P的横坐标，数的横坐标，数y为点为点P的纵坐标。的纵坐标。平面内的点与实数对一一对应平面内的点与实数对一一对应 P(x,y)xy 空间解析几何简介空间解析几何简介 空间直角坐标系（三维直角坐标系）空间直角坐标系（三维直角坐标系）右右 手手 原原 则则（纵轴）（纵轴）（横轴）（横轴）（竖轴）（竖轴）O空间直角坐标系空间直角坐标系OOO平面平面平面平面平面平面O三个坐标平面分空间为八个卦限三个坐标平面分空间为八个卦限（演示）（演示）三个坐标平面三个坐标平面 八个卦限八个卦限 点的坐标（演示）点的坐标（演示）两点间的距离两点间的距离点点 M到原点的距离到原点的距离例例1 在在轴轴上求一点上求一点，使它到点，使它到点和和的距离相等。的距离相等。轴轴上，故上，故设设点点的坐的坐标为标为由两点由两点间间距离公式得距离公式得由由题题意知意知解：解：因所求点在因所求点在空间曲面空间曲面三元方程三元方程如果曲面如果曲面 S 上任意一点的坐标上任意一点的坐标都满足方程都满足方程 F(x,y,z)=0，同时，同时不满足方程不满足方程 F(x,y,z)=0的点都的点都不在曲面不在曲面 S 上，则称三元方程上，则称三元方程F(x,y,z)=0 为曲面为曲面 S 的方程。的方程。S平面平面平面平面一种特殊曲面一种特殊曲面 平面方程的一般形式：平面方程的一般形式：O几种特殊平面几种特殊平面 （三元一次方程）（三元一次方程）平行于平行于 z 轴轴的平面：的平面：过过 z 轴轴的平面：的平面：过原点过原点的平面：的平面：平行于平行于 y 轴轴的平面：的平面：过过 y 轴轴的平面：的平面：平行于平行于 x 轴轴的平面：的平面：过过 x 轴轴的平面：的平面：平面：平面：平面：平面：平面：平面：二次曲面二次曲面椭球面椭球面（几何演示）（几何演示）抛物面抛物面（几何演示）（几何演示）球面球面（几何演示）（几何演示）柱面柱面 平面内一直线平面内一直线L沿着一定曲线沿着一定曲线C移动而形成的曲面叫做移动而形成的曲面叫做柱面柱面，其中，直线其中，直线L叫做叫做母线母线，曲线，曲线C叫做叫做准线准线。如：如：平行于平行于 Z 轴的直线轴的直线沿着沿着XOY平面内的椭圆平面内的椭圆移动，而形成的曲面叫做移动，而形成的曲面叫做椭圆柱面椭圆柱面。其它柱面其它柱面（几何演示几何演示）柱面方程的特点柱面方程的特点：如果方程中不含：如果方程中不含变量变量 Z（X 或或 Y)，则母线平行于，则母线平行于Z(X 或或 Y)轴，柱面垂直于轴，柱面垂直于 XOY(YOZ 或或 XOZ)面面。xyoz其方程为其方程为 二元函数的概念二元函数的概念一、平面点集、平面点集平面上满足某个条件的所有点构成的集合称为平面点集。平面上满足某个条件的所有点构成的集合称为平面点集。例例1 平面上平面上满满足足的所有点的所有点构成平面点集，构成平面点集，记记作作例例2 平面上平面上满满足足的所有点构成的平面点集的所有点构成的平面点集，记记作作 邻域邻域：平面点集：平面点集 称为点称为点P0(x0,y0)的的邻域，记做邻域，记做 U(P U(P0 0，)开集：开集：如果点集如果点集E中的点都是内点，则称点集中的点都是内点，则称点集E为开集。为开集。连通集：连通集：如果点集如果点集E中的任意两点，中的任意两点，都可以用完全属于都可以用完全属于E中的折中的折 线段将它们连接起来，则线段将它们连接起来，则 称称E为连通集。为连通集。区域：区域：连通的开集称为开区域，简称区域。连通的开集称为开区域，简称区域。闭区域：闭区域：区域连同它的边界，称为闭区域。区域连同它的边界，称为闭区域。二元函数的概念二元函数的概念 几个概念：开集、连通集、区域、闭区域。几个概念：开集、连通集、区域、闭区域。例如：点集例如：点集 即为一开集。即为一开集。例如：点集例如：点集 即为区域。即为区域。例如：点集例如：点集 即为闭区域。即为闭区域。连通连通 不连通不连通 二元函数的概念二元函数的概念定义：定义：设设D是平面上的非空点集，如果存在一个对应法则是平面上的非空点集，如果存在一个对应法则 f，使，使得对集合得对集合D中的每一个点中的每一个点(x,y)，按法则，按法则 f，都有唯一确定的实数，都有唯一确定的实数值值 z 与之对应，则称此与之对应，则称此对应法则对应法则 f 为集合为集合D上的上的二元函数二元函数，记为：，记为：f：(x,y)z 或或 z=f(x,y)，(x,y)D称称 x,y 为函数为函数 f 的的自变量自变量，z 为函数为函数 f 的的因变量因变量；集合；集合D为函数为函数f 的的定义域定义域，记作，记作 D(f)或或 Df。称实数集称实数集 为函数为函数 f 的的值域值域。约定：约定：函数函数 z=f(x,y)的定义域约定为的定义域约定为使得式子有意义使得式子有意义的所有的所有的实数对（的实数对（x,y）。）。例如：函数例如：函数 的定义域为的定义域为它表示如右图所示的无界区域。它表示如右图所示的无界区域。二元函数的图像二元函数的图像 空间点集空间点集 称为函数称为函数 的的图像图像。它表示它表示空间曲面空间曲面。一元函数与二元函数的比较一元函数与二元函数的比较一元函数一元函数 二元函数二元函数 定义域定义域 数轴上的区间数轴上的区间 平面中的区域平面中的区域 图像图像 平面中的曲线平面中的曲线 空间中的曲面空间中的曲面 极限极限 单极限单极限 二重极限二重极限 微分学微分学 导数与微分导数与微分 偏导数与全微分偏导数与全微分 积分学积分学 定积分定积分 二重积分二重积分 例例3 二元函数二元函数其定其定义义域域为为值值域域例例4 已知二元函数已知二元函数 例例6 作二元函数作二元函数的的图图形。形。解：解：因因为为所以所以整理得整理得 此方程表示以点（此方程表示以点（0，1，0）为为球心，以球心，以1为为半径的球面。半径的球面。的的图图形是球面的上半部。形是球面的上半部。因此，函数因此，函数 二元函数定义域的求法 例例7 求函数求函数的定的定义义域。域。解：要使函数有意解：要使函数有意义义，必，必须满须满足足即函数的定即函数的定义义域是域是平面上上直平面上上直线线下方的无界区域。下方的无界区域。例例8 求函数求函数解：要使函数有意解：要使函数有意义义，必，必须满须满足足的定义域的定义域。函数的定函数的定义义域是抛物域是抛物线线的内部（含的内部（含边边界界）与）与圆圆的内部的公共部分。的内部的公共部分。例例9 求函数求函数的定的定义义域。域。有定有定义义，必，必须须解：解：要使要使二元函数的极限二元函数的极限 定义：定义：设二元函数设二元函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的邻域内有定义的邻域内有定义（点（点P0可以除外），如果当点可以除外），如果当点 P(x,y)无无论以何种方式以何种方式趋向于点向于点P0(x0,y0)时，函数，函数值 f(x,y)可以无限逼近可以无限逼近常数常数A，则称称A为函数函数 f(x,y)在在PP0时的时的极限极限，记作，记作或或 或或 二重极限二重极限 xyz 二元函数的极限计算二元函数的极限计算计算下列极限计算下列极限 二元函数的极限计算二元函数的极限计算 换元时换元时 与与 不能相互制约不能相互制约事实上，设事实上，设则则结果与结果与 有关，故原极限不存在。有关，故原极限不存在。证证明：明：不存在。不存在。证证明：明：要要证证明明不存在，即要不存在，即要证证当当沿不同的路径沿不同的路径趋趋向（向（0，0）时时，趋趋向于不同的向于不同的值值。因因为为当当沿直沿直线线趋趋向于（向于（0，0）时时结果与结果与 有关，故原极限不存在。有关，故原极限不存在。若若则称函数则称函数在点在点处处连续。连续。若函数在某区域上点点连续，则称函数在该若函数在某区域上点点连续，则称函数在该区域上连续区域上连续。直观上来看，若函数在区域直观上来看，若函数在区域 D 上连续，则其对应的上连续，则其对应的空间曲面没有裂缝，没有洞，是一个空间曲面没有裂缝，没有洞，是一个连续曲面连续曲面。初等二元函数在其定义区域上都是连续的。初等二元函数在其定义区域上都是连续的。例如：例如：在在上连续。上连续。二元函数的连续性二元函数的连续性闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质在闭区域在闭区域D上连续的二元函数具有以下性质上连续的二元函数具有以下性质（1）最值定理：有最大、最小值）最值定理：有最大、最小值（2）介值定理：能取得介于最大、最小值之间的任意值）介值定理：能取得介于最大、最小值之间的任意值（3）零点存在定理：）零点存在定理：从几何意义理解从几何意义理解 xyzo例例3 求求解：解：原式原式=例例4 求函数求函数的的间间断点。断点。在其定在其定义义域内域内连续连续，的的间间断点就是断点就是圆圆周周上的所有点。上的所有点。解：解：因为因为因此，函数因此，函数所以它的间断点就是定义域外的点。所以它的间断点就是定义域外的点。