函数极限连续.ppt

一、函数、极限和连续一、函数、极限和连续 二、一元函数微分学二、一元函数微分学三、一元函数积分学三、一元函数积分学 四、多元函数微积分学四、多元函数微积分学五、概率（五、概率（无穷级数、常微分方程）无穷级数、常微分方程）面临的两次考试面临的两次考试1、结业考试、结业考试 （重修一次（重修一次150元）元）卷面成绩卷面成绩+平时成绩（作业、课堂表现）平时成绩（作业、课堂表现）2、入学考试、入学考试（一）函数（一）函数（二）极限（二）极限（三）连续（三）连续第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续函函 数数的定义的定义反函数反函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性1 1、函数的定义、函数的定义 一个函数当它的定义域及对应法则确定后，这个函数就确一个函数当它的定义域及对应法则确定后，这个函数就确定了，所以，定义域和对应法则称为函数的两个要素。定了，所以，定义域和对应法则称为函数的两个要素。例例1求求例例 设设解解求函数的定义域求函数的定义域在在实实际际问问题题中中，函函数数的的定定义义域域由由问问题题的的实实际际意意义义确确定定。用用解解析析式式表表示示的的函函数数，其其定定义义域域是是自自变变量量所所能能取取的的使使解解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(4 4)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)(1)在分式中，分母不能为零；在分式中，分母不能为零；(2)(2)在根式中，负数不能开偶次方根；在根式中，负数不能开偶次方根；(3)(3)在对数式中，真数必须大于零；在对数式中，真数必须大于零；【例题演示】【例题演示】已知函数已知函数【例】【例】例例：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域考察两个函数是不是相同的函数考察两个函数是不是相同的函数1.1.定义域要相同定义域要相同2.2.对应法则要相同对应法则要相同(1)函数的奇偶性函数的奇偶性:2 2、函数的性质、函数的性质奇函数的图形关于坐标原点对称奇函数的图形关于坐标原点对称.偶函数的图形关于偶函数的图形关于y 轴对称。轴对称。有有对于对于关于原点对称关于原点对称设定义域设定义域,DxD 常见的奇函数：常见的奇函数：常见的偶函数：常见的偶函数：(2)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。(3)函数的有界性函数的有界性:设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)的的周期周期.（通常（通常说周期函数的周期是指其最小正说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.(4)函数的周期性函数的周期性:3 3、反函数、反函数反函数与直接函数之间的关系反函数与直接函数之间的关系fDx()xxffxff=-)()(111是一一对应函数，则是一一对应函数，则设函数设函数)(xf().)()(21xyxfyxfy=-图象对称于直线图象对称于直线的的与与4 4、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数5）反三角函数）反三角函数4）三角函数）三角函数1).幂函数幂函数2).指数函数指数函数3).对数函数对数函数4).三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数5).反三角函数反三角函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.5 5、复合函数、复合函数例题：分解下列复合函数例题：分解下列复合函数 6 6、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例例1.1.求函数求函数的定义域的定义域例例2.2.求函数求函数的定义域的定义域的定义域为的定义域为，求，求的定义域的定义域例例3.设函数设函数左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大 当当n无限增大时无限增大时 如果数列如果数列xn的一般项的一般项xn无限接无限接近于常数近于常数a 则常数则常数a称为数列称为数列xn的极限的极限 或称数列或称数列xn收敛收敛a 记为记为数列极限的通俗定义数列极限的通俗定义 如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数a 就说数列就说数列xn没有极限没有极限 1 1、极限的定义、极限的定义 收敛数列的性质：唯一性；有界性收敛数列的性质：唯一性；有界性 注意：有界数列不一定收敛注意：有界数列不一定收敛通俗定义通俗定义：如果当：如果当 无限增大时，函数无限增大时，函数f(x)无限趋近无限趋近于某个确定的常数于某个确定的常数A，则称常数，则称常数A为函数为函数f(x)当当x时的极限，记为时的极限，记为函数极限的定义函数极限的定义计算：计算：通俗定义通俗定义 设函数设函数 f(x)在在的某邻域内有定义（的某邻域内有定义（x0可以可以除外）除外）,如果当自变量如果当自变量x 趋近于趋近于x0 时时,函数函数 f(x)的函数的函数值无限趋近于某个确定的常数值无限趋近于某个确定的常数 A,则称则称A为函数为函数 f(x)当当xx0时的极限，时的极限，记为记为如果当如果当 从从 的左侧的左侧 趋近于趋近于 (记为记为 ）时）时,以以A为为极极限限，则则称称A为为函函数数 当当 时时的的左左极极限限如果当如果当 从从 的右侧的右侧 趋近于趋近于 （记为（记为 ）时）时,以以A为极限，则称为极限，则称A为函数为函数 当当 时的右极时的右极限，限，右极限右极限左极限左极限2.2.单侧极限单侧极限函数的极限与左、右极限有如下关系：函数的极限与左、右极限有如下关系：2.2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 说明：说明：1.1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者左极限与右极限中只要有一个不存在，或者 都存在但不相等，则函数的极限不存在。都存在但不相等，则函数的极限不存在。解：解：=9=9例例 3、极限计算、极限计算解：当解：当时，时，所以可将分子，分母的公因式，所以可将分子，分母的公因式消去，得消去，得:例例练习：练习：求下列函数的极限求下列函数的极限解：解：解：解：（3）（4）(1)4 4、两个重要极限、两个重要极限 例例3 3 求求例例1 1 求求 解：原式解：原式例例2 求求xxx3sinlim0 xxx3sinlim0例例 求求)0,(sinsinlim0 ba3x2xx 解解例例 求求解：原式解：原式 求下列极限求下列极限:（1 1）（2 2）（3 3）(2)例例 求求 例例解解例例 求求解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解解解练习练习 （3 3）（5 5）求下列极限求下列极限:（1 1）（2 2）（4 4）（6 6）无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系5 5、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大(4)(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2)(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.(1)(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小.定理定理 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中无穷小的运算性质无穷小的运算性质定义定义:无穷小的比较无穷小的比较几个重要的等价无穷小几个重要的等价无穷小：当时，定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)等价无穷小的性质等价无穷小的性质不能滥用等价无穷小替换不能滥用等价无穷小替换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意7.归纳：求极限的常用方法归纳：求极限的常用方法1.1.初等函数代入法求极限初等函数代入法求极限2.2.消去零因子法求极限消去零因子法求极限（约分法、共轭法（分母有理化）（约分法、共轭法（分母有理化）3.3.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限4.4.利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限5.5.利用两个重要极限利用两个重要极限6.6.利用等价无穷小因子的替换利用等价无穷小因子的替换7.7.利用极限的两个重要准则利用极限的两个重要准则8.8.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限9.9.罗必达法则罗必达法则说明：下列几个极限不存在说明：下列几个极限不存在例例1 1解解解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2例例3 3解解分母有理化，分子有理化分母有理化，分子有理化解解例例5 5(消去零因子法消去零因子法)例例6 6解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)例例7 7解解先变形再求极限先变形再求极限.例例8 8解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,例例9 9解解例例1010解解例例1111解解例例1212解解例例13：当：当时，时，是等价无穷小，求是等价无穷小，求例例14 若若求求例例15 若若求求8.曲线的水平与垂直渐近线曲线的水平与垂直渐近线左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类1 1、连续的定义、连续的定义可见可见 ,函数函数在点在点(1)在点在点即即(2)极限极限(3)连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在;有定义有定义,存在存在;定义定义2 2:在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义,则称函数则称函数设函数设函数且且2.单侧连续单侧连续定理定理3 3、间断点的定义、间断点的定义4.4.间断点的类型间断点的类型：第一类间断点第一类间断点:第二类间断点第二类间断点:左右极限都存在的间断点称为第一左右极限都存在的间断点称为第一 类间断点类间断点.包括可去和跳跃间断点包括可去和跳跃间断点.左右极限中至少有一个不存在的间断点称为左右极限中至少有一个不存在的间断点称为第二第二 类间断点类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx 第一类间断点第一类间断点:跳跃间断点：左右极限都存在但不相等的间断点。跳跃间断点：左右极限都存在但不相等的间断点。可去间断点：左右极限都存在且相等的间断点。可去间断点：左右极限都存在且相等的间断点。注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点5 5、闭区间的连续性、闭区间的连续性6 6、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 27 7、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.8 8、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在该该区间上一定有界区间上一定有界.零点定理（根的存在性定理）零点定理（根的存在性定理）定义定义:推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.例例1 1证证例例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解例7.若函数在处连续，求的值。例例9：证明方程：证明方程在在中至多有一个实根。中至多有一个实根。例例10：证明：方程：证明：方程在在内有且只有一个实根。内有且只有一个实根。