分子的对称性与点群.ppt

教学目标：教学目标：通过分子对称性学习，使学生对分子点群有一通过分子对称性学习，使学生对分子点群有一系统了解，能判断常见分子所属的对称点群及包含系统了解，能判断常见分子所属的对称点群及包含的对称元素。的对称元素。学习要点：学习要点：群的定义群的定义-满足满足4 4要素：具有恒等元素、逆元素、封要素：具有恒等元素、逆元素、封闭性和满足乘法分配律的集合称为群。闭性和满足乘法分配律的集合称为群。分子点群分子点群具有对称元素：旋转轴、对称面、对称中心具有对称元素：旋转轴、对称面、对称中心和反轴、映轴等。和反轴、映轴等。分子对称点群可分为分子对称点群可分为C Cn n、C Cnvnv、C Cnhnh、D Dn n、D Dnhnh、D Dndnd、S Sn n及及高阶群高阶群T T、T Td d、T Th h、O O、O Oh h、I I、I Ih h等等 。分子对称性与偶极矩、旋光性的关系分子对称性与偶极矩、旋光性的关系一、对称性、对称操作与对称元素一、对称性、对称操作与对称元素对对称称操操作作是是指指不不改改变变物物体体内内部部任任何何两两点点间间的的距距离离而而使使物物体体复复原原的的操操作作。对对称称操操作作所所依依据据的的几几何何元元素素称称为为对对称称元元素素。对对于于分分子子等等有有限限物物体体，在在进进行行操操作作时时，物物体体中中至至少少有有一一点点是是不不动动的的，这这种种对称操作叫对称操作叫点操作点操作。旋旋转转操操作作是是将将分分子子绕绕通通过过其其中中心心的的轴轴旋旋转转一一定定的的角角度度使使分分子子复复原原的的操操作作，旋旋转转所所依依据据的的对对称称元元素素为为旋旋转转轴轴。n n次次旋旋转转轴轴的的记记号号为为C Cn n .使使物物体体复复原原的的最最小小旋旋转转角角（0 0度度除除外外）称称为为基基转转角角，对对C C n n轴轴的的基基转转角角=3603600 0/n/n。旋转角度按逆时针方向计算。旋转角度按逆时针方向计算。和和C C n n轴轴相相应应的的基基本本旋旋转转操操作作为为C Cn n1 1，它它为为绕绕轴轴转转3603600 0/n/n的的操操作作。分分子子中中若若有有多多个个旋旋转转轴轴，轴轴次次最最高高的的轴一般叫主轴。轴一般叫主轴。二、二、旋转轴和转动旋转轴和转动 C1的操作是个恒等操作，又称为主操作E，因为任何物体在任何一方向上绕轴转3600均可复原，它和乘法中的1相似。C2轴的基转角是1800，连续绕C2轴进行两次1800旋转相当于恒等操作，即：C3轴的基转角是1200，C4轴的基转角是900，C6轴的基转角是600。各种对称操作相当于坐标变换，可用坐标变换矩阵表示对称操作。C n轴通过原点和 z 轴重合的k次对称操作的表示矩阵为：例如：对称操作例如：对称操作 使空间某点使空间某点p（x，y，z）变换到）变换到另一个点另一个点p(x,y,z)对称操作对称操作 使空间某点使空间某点p（x，y，z）变换到另一个）变换到另一个点点p(x,y,z)三、对称面与反映三、对称面与反映 存存在在对对称称面面的的分分子子，除除位位于于对对称称面面上上的的原原子子外外，其其他他原原子子成成对对地地排排在在对对称称面面两两侧侧，它它们们通通过过反反映映操操作作可以复原。可以复原。反反映映操操作作是是使使分分子子中中的的每每一一点点都都反反映映到到该该点点到到镜镜面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。连续进行反映操作可得连续进行反映操作可得:n n=E ,n=E ,n为偶数，为偶数，,n ,n 为奇数为奇数 和和主主轴轴垂垂直直的的镜镜面面以以h h表表示示；通通过过主主轴轴的的镜镜面面以以v v表表示示；通通过过主主轴轴，平平分分副副轴轴夹夹角角的的镜镜面面以以d d 表表示。示。对称面对称面x y x y 的反映操作的表示矩阵为：的反映操作的表示矩阵为：从从分分子子中中任任一一原原子子至至对对称称中中心心连连一一直直线线，将将此此线线延延长长，必必可可在在和和对对称称中中心心等等距距离离的的另另一一侧侧找找到到另另一相同原子。一相同原子。依据对称中心进行的对称操作为依据对称中心进行的对称操作为反演反演，连续进行反演操作可得连续进行反演操作可得 四、对称中心和反演四、对称中心和反演in=E(n为偶数)，i(n为奇数)坐标原点的对称中心的反演操作i的表示矩阵为：如果每一个原子都沿直线通过分子中心移动，达到这个中心的另一边的相等距离时能遇到一个相同的原子，那么这个分子就具有对称中心对称中心 i i。显然，正方形的PtCl42离子有对称中心，但四面体的SiF4分子就没有对称中心。平面正方形的PtCl42四面体SiF4不具有对称中心具对称中心S1n=C1n五、映转轴和旋转反映五、映转轴和旋转反映 映转轴也称为非真轴，与它联系的对称操作是旋映转轴也称为非真轴，与它联系的对称操作是旋转转n n次轴再平面反映，两个动作组合成一个操作。次轴再平面反映，两个动作组合成一个操作。如甲烷分子，一个经如甲烷分子，一个经过原子的四次映转轴过原子的四次映转轴S S4 4，作用在分子上，作用在分子上，H H旋旋转到转到11的位置后，经平的位置后，经平面反映到面反映到H4H4的位置，同时的位置，同时H2H2旋转到旋转到22的位置再反的位置再反映到映到H3H3的位置的位置整个分整个分子图形不变，子图形不变，1即只有即只有S S4 4是独立的点群，是独立的点群，其余其余S Sn n 可化为可化为 或或对称元称元素符号素符号 对称元素称元素基本基本对称操称操作作 符号符号 基本基本对称操作称操作 E C n i S n -旋旋转 镜面面对称中心称中心 映映轴 E C1n i S1n=C1n 恒等操作恒等操作绕C n轴按按逆逆时针方方向向转3600/n通通过镜面反映面反映按按对称中心反演称中心反演绕S n轴转3600/n，接接着着按按垂直于垂直于轴的平面反映的平面反映对称元素与对称操作对称元素与对称操作六、对称点群六、对称点群1.1.群的定群的定义一组元素若满足以下四个条件，构成一个群一组元素若满足以下四个条件，构成一个群1）封闭性）封闭性2）恒等元素）恒等元素E3）逆元素）逆元素4）结合律）结合律2.2.群的乘法表群的乘法表根据群的定义，可以得到群的乘法表根据群的定义，可以得到群的乘法表C3v点群的乘法表点群的乘法表3 3群的一些相关概念群的一些相关概念 （1 1）群的构成：群元素可以是各种数学对象或物理）群的构成：群元素可以是各种数学对象或物理动作，可以进行某种数学运算或物理动作。动作，可以进行某种数学运算或物理动作。（2 2）群的分类：群有各种类型，如旋转群，置换群，）群的分类：群有各种类型，如旋转群，置换群，点群，空间群，李群点群，空间群，李群 （3 3）群阶：群所含的）群阶：群所含的元素个数元素个数称为群阶，称为群阶，（4 4）类：群中某些对称元素在相似变换中互为共轭）类：群中某些对称元素在相似变换中互为共轭元素的可分为一类。如元素的可分为一类。如C3v 点群中的元素可分为三类，点群中的元素可分为三类，E E元素成一类，元素成一类，C C3 31 1与与 C C3 32 2旋转成一类。三个旋转成一类。三个v v 平平面而成一类。面而成一类。（5 5）子群：在一些较大的群中可以找到一些较小的）子群：在一些较大的群中可以找到一些较小的群，称为子群。例如：群，称为子群。例如：C3v3v 群中有子群群中有子群 C3 3 。子群也。子群也要满足群的四个要求。要满足群的四个要求。一、对称点群分类一、对称点群分类CsCiS4Cn群群只只有有1 1个个Cn 旋旋转转轴轴。独独立立对对称称操操作作有有n n个个。阶阶次为次为n n。若分子只有若分子只有n n重旋转轴，它就属于重旋转轴，它就属于C Cn n群，群元素为群，群元素为EE，C Cn n1 1，C Cn n2 2CCn nn-1n-1。这是。这是n n阶循环群。阶循环群。1.1.Cn点群点群H2O2H2O2是是C2点点群，群，C2轴穿过轴穿过O-O键的中心和键的中心和两个两个H连线的中心。连线的中心。二氯丙二烯（图二氯丙二烯（图I）I.C3H2Cl2现以二以二氯丙二丙二烯（图I）为例例说明。明。该分子两个分子两个HC/Cl碎片分碎片分别位于两个相位于两个相互垂直的平面上，互垂直的平面上，C2轴穿穿过中心中心C原子，与原子，与两个平面形成两个平面形成45夹角。角。C2轴旋旋转180，两个，两个Cl，两个，两个H和和头、尾两、尾两个个C各自交各自交换，整个分，整个分子子图形复原。我形复原。我们说它属于它属于C2点群，群元点群，群元素素为E，C2。III.1,3,5-三甲基苯三甲基苯1,3,5-1,3,5-三甲基苯三甲基苯（图（图IIIIII）是是C3点点群的例子，若不考群的例子，若不考虑甲基上虑甲基上H原子，原子，分子的对称性可以分子的对称性可以很高，但整体考虑，很高，但整体考虑，C6H3(CH3)3只有只有C3对称元素。对称元素。C3轴位轴位于苯环中心，垂直于苯环中心，垂直于苯环平面，分子于苯环平面，分子绕绕C3轴转动轴转动120，240都能复原。都能复原。旋转一定角度的旋转一定角度的三氯乙烷（图三氯乙烷（图IV）也是）也是C3对称对称性分子性分子。IV.CH3CCl3CO2HHOHCH3C1ClHCCCClHC2HC3 Cnv群中有群中有1 1个个Cn轴轴,通过此轴有通过此轴有n n个个v v。阶次为。阶次为2n2n。若分子有若分子有n n重旋转轴和通过重旋转轴和通过C Cn n轴的对称面轴的对称面，就生成，就生成一个一个C Cnvnv群。由于群。由于C Cn n轴的存在，有一个对称面，必然产生轴的存在，有一个对称面，必然产生（n-1n-1）个对称面。两个平面交角为）个对称面。两个平面交角为/n/n。它也是。它也是2n2n阶阶群。群。2.2.Cnv点群点群 水分子属水分子属C2v点群。点群。C2轴经过轴经过O原子、平分原子、平分HOH，分子所在，分子所在平面是一个平面是一个v平面，另一个平面，另一个v平平面经过面经过O原子且与分子平面相互原子且与分子平面相互垂直。垂直。OHHC2轴 与水分子类似的与水分子类似的V型分子，如型分子，如SO2、NO2、ClO2、H2S,船式环已烷船式环已烷(图图IV)、N2H4(图图V)等均属等均属C2v点群。点群。属属C2v点群的其它构型的分子有稠环化合物菲（点群的其它构型的分子有稠环化合物菲（C14H10）(图图VI)，茚，杂环化合物呋喃，茚，杂环化合物呋喃(C4H4O)、吡啶吡啶(C5H5N)等。等。图图IV.船式环已烷船式环已烷图图V.N2H4NH3分子分子(图图VII)是是C3v点群的典型例子。点群的典型例子。C3轴轴穿过穿过N原子和三角锥的底心，三个垂面各包括一个原子和三角锥的底心，三个垂面各包括一个N-H键。其它三角锥型分子键。其它三角锥型分子PCl3、PF3、PSCl3、CH3Cl、CHCl3等，均属等，均属C3v点群。点群。P4S3(图图)亦属亦属C3v点群。点群。图图VII.NH3图图.P4S3 CO分子分子(图图)是是Cv点群点群典型例子。典型例子。C轴穿过了轴穿过了C原子原子和和O原子所在的直线，任何一原子所在的直线，任何一个经过个经过C原子和原子和O原子所在的原子所在的面都是其面都是其v平面平面。图图.CO分子分子CvC2vC3vC4vC5v C Cnhnh群群中中有有1 1个个C C n n轴轴，垂垂直直于于此此轴轴有有1 1个个h h。阶阶次为次为2n2n。C C1h1h点群用点群用C Cs s 记号。记号。若若分分子子有有一一个个n n重重旋旋转转轴轴和和一一个个垂垂直直于于轴轴的的水水平平对对称称面面就就得得到到C Cnhnh群群，它它有有2n2n个个对对称称操操作作，EE，C Cn n1 1，C Cn n2 2CCn nn-1n-1，h h，S Sn n1 1，S Sn n2 2SSn nn-1n-1 包包括括（n-n-1 1）个个旋旋转转、一一个个反反映映面面，及及旋旋转转与与反反映映结结合合的的（n-n-1 1）个映转操作。当）个映转操作。当n n为偶次轴时，为偶次轴时，S S2n2nn n即为对称中心。即为对称中心。3.3.Cnh点群点群C2hHClClHC2hi现以二氯乙烯分子为例，说明现以二氯乙烯分子为例，说明C2h点群。点群。I I7 7-离离子子(图图)亦亦属属于于C2h点点群群，I I7 7-离离子子为为“Z”“Z”型型的的平平面面离离子子，C2轴轴与与对对称称心心位位于于第第四四个个I I原原子子上上。萘萘的的二二氯化物亦属于氯化物亦属于C2h点群。点群。(图图)IV.I7-离子离子V.萘的二氯化物萘的二氯化物C2hC2hH3BO3分分子子是是C3h群群的的例例子子。由由于于B与与O原原子子都都以以Sp2杂杂化化与与其其它它原原子子成成键键，所所以以整整个个分分子子在在一一个个平平面上。面上。C3轴位于轴位于B原子上且垂直分子平面。原子上且垂直分子平面。(图图VI)VI.H3BO3分子C3hCsC3hC4h 分分子子中中有有1 1个个S Sn n轴轴，当当n n为为奇奇数数时时，属属C Ci i群群；当当n n 为为偶偶数数但但不不为为4 4的的整整数数倍倍时时，属属C Cn/2hn/2h点点群群；当当n n为为4 4的的整整数倍时，属数倍时，属S Sn n点群。点群。分分子子中中只只含含有有一一个个映映转转轴轴S Sn n的的点点群群属属于于这这一一类类。映映转转轴轴所所对对应应的的操操作作是是绕绕轴轴转转2/n2/n，接接着着对对垂垂直直于于轴轴的平面进行反映。的平面进行反映。3.3.Sn和和Ci点群点群.S S1 1=C=Cs s群群：S S1 1=C=C1 11 1=即即S S1 1为对称面反映操作，故为对称面反映操作，故S S1 1群相当群相当于于C Cs s群。即对称元素仅有一个对称面。：群。即对称元素仅有一个对称面。：EE，。如如TiClTiCl2 2(C(C5 5H H5 5)2 2，TiTi形成四配位化合物，形成四配位化合物，2 2个个ClCl原原子和环戊烯基成对角。子和环戊烯基成对角。.TiCl2(C5H5)2没有其它对称元素的平面分子没有其它对称元素的平面分子.C.Ci i群群:S S2 2=C=C2 2=C=Ci i为绕轴旋转为绕轴旋转180180再进行水平面反映，再进行水平面反映，操作结果相当于一个对称心的反演。故操作结果相当于一个对称心的反演。故S S2 2群亦记为群亦记为C Ci i群。群。例如例如 Fe Fe2 2(CO)(CO)4 4(C(C5 5H H5 5)2 2，每个，每个FeFe与一个羰基，一个与一个羰基，一个环戊烯基配位，再通过两个桥羰基与另一个环戊烯基配位，再通过两个桥羰基与另一个FeFe原子成原子成键，它属于键，它属于C Ci i对称性。对称性。Fe2(CO)4(C5H5)2二氟二氯乙烷 S S4 4点群点群：只有只有S4是独立的点群。例如：是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四甲基环辛四烯四烯(图图)，有一个，有一个S4映转轴，没有其它独立对称元映转轴，没有其它独立对称元素，一组甲基基团破坏了所有对称面及素，一组甲基基团破坏了所有对称面及C2轴。轴。IV.1,3,5,7-四甲基环辛四烯四甲基环辛四烯S4CiDn群由1个Cn轴和垂直于此轴的n个C2轴组成。阶次为2n。如果某分子除了一个主旋转轴如果某分子除了一个主旋转轴Cn(n2)之外，还之外，还有有n个垂直于个垂直于Cn轴的二次轴轴的二次轴C2，则该分子属，则该分子属Dn点群。点群。左图为左图为D2对称性分子，对称性分子，C2主轴穿过联苯轴线，经过主轴穿过联苯轴线，经过2个个O为水平面上的为水平面上的C2轴，轴，还有一个还有一个C2轴与这两个轴与这两个C2轴轴垂直。垂直。5.D5.Dn n点群点群双乙二胺双乙二胺NH2-CH2-CH2-NH2-CH2-CH2-NH2可可对对Co3+离子离子3配位配位螯合，螯合，2个双乙二个双乙二胺与胺与Co3+形成形成Co(dien)2配合物，配合物，具有具有D2对称性。对称性。(右图）右图）非平衡态的乙烷非平衡态的乙烷（白色的为上层的（白色的为上层的H原原子，黄色的为下层的子，黄色的为下层的H原子，）原子，）非非平平衡衡态态的的乙乙烷烷，甲甲乙乙碳碳上上的的2组组氢氢原原子子相相互互错错开开一一定定角角度度，该该状状态态对对称称性性为为D3。另有另有Co3+与乙二与乙二胺形成的螯合物，胺形成的螯合物，螯合配体螯合配体(乙二胺乙二胺)象风扇叶片一样排象风扇叶片一样排布。布。Dnh群群由由Dn群群的的对称称元元素素系系中中加加入入垂垂直直于于Cn轴的的h组成成。若若Cn为奇奇数数轴，将将产生生I2n和和n个个v，注注意意这时对称称元元素素系系中中不不含含对称称中中心心i。若若Cn为偶数偶数轴，对称元素系中含有称元素系中含有In，n个个v和和i。6.Dnh点群Dnh分子含有一个分子含有一个主旋主旋转轴Cn（n=2），），n个个垂直于垂直于Cn轴的的二次二次轴C2，还有一个垂直于主有一个垂直于主轴Cn的水平的水平对称面称面h；由；由此可此可产生生4n个个对称操作：称操作：E，Cn1，Cn2，Cn3Cnn-1；C2(1)，C2(2)C2(n)；h，Sn1，Sn2，Snn-1；v(1)，v(2)v(n)Cn旋旋转轴产生生n个旋个旋转操作，操作，n个个C2(i)轴旋旋转产生生n个旋个旋转操作，操作，还有有对称面反映及（称面反映及（n-1）个映个映转操作，操作，n个通个通过Cn主主轴的的垂垂对称面称面v的反的反映操作。故映操作。故Dnh群群为4n阶群群。D2h对称性的分子亦很多，如常见的乙烯分子对称性的分子亦很多，如常见的乙烯分子(图图)，平面型的对硝基苯分子，平面型的对硝基苯分子C6H4(NO2)2，草酸根离，草酸根离子子C2O42-等。还有稠环化合物萘等。还有稠环化合物萘(图图）、蒽、立体）、蒽、立体型的双吡啶四氟化硅型的双吡啶四氟化硅(图图）等。）等。.双吡啶四氟化硅双吡啶四氟化硅D2hD2hCCHHHH.乙烯分子乙烯分子.萘萘D3h：平面三角形的：平面三角形的BF3(图图IV)、CO32-、NO3-或三角或三角形骨架的环丙烷均属形骨架的环丙烷均属D3h点群。点群。三角双锥三角双锥PCl5(图图V)、三棱柱型的三棱柱型的Tc6Cl6(图图VI)金属簇合物等也是金属簇合物等也是D3h对称性。对称性。IV.BF3V.PCl5VI.Tc6Cl6D3hD4h：Ni(CN)42-(图I)、PtCl42-等平面四等平面四边形分子形分子属属D4h对称性，称性，典型的金属四重典型的金属四重键分子分子Re2Cl82-，两个，两个Re各配位四个各配位四个Cl原子，原子，两两层Cl原子完全重叠，故符原子完全重叠，故符合合D4h对称性要求。称性要求。I.Ni(CN)42-D4h 还有一类金属簇，双金属原子间形成还有一类金属簇，双金属原子间形成多重键，并通过四个羧桥再形成离域键。多重键，并通过四个羧桥再形成离域键。如如M2（COOR）4X2（MMo、Tc、Re、Ru，XH2O、Cl）(图图II)II)，C4轴位轴位于于M-M键轴，键轴，4个个C2轴中，轴中，2个各横贯一个各横贯一对羧桥平面，对羧桥平面，2个与羧桥平面成个与羧桥平面成45角，经角，经过过M-M键中心和键中心和4个个R基，还有一个水平对基，还有一个水平对称面存在。它也是称面存在。它也是D4h对称性。对称性。Re2Cl82-(图图III)也属也属D4h对称性。对称性。II.M2（COOR）4X2D4hIII.Re2Cl82-D4hD5h：重叠型的二茂铁属：重叠型的二茂铁属D5h对称性，对称性，IF7(左图左图)、UF7-离子为五角双锥构型，也属离子为五角双锥构型，也属D5h对称性。对称性。IV.IF7D5h 苯的主轴位于苯环中心垂直于分子平面，苯的主轴位于苯环中心垂直于分子平面，6 6个二次轴，个二次轴，3 3个分别经过个分别经过 两两相对两两相对C-HC-H键，键，3 3个分个分别平分别平分6 6个个C-CC-C键。键。分子平面即分子平面即h h平面，平面，6 6个个v v垂直面垂直面 分别经分别经过过6 6个个C C2 2轴且相交于轴且相交于C C6 6轴。轴。苯环属于苯环属于D D6h6h对称群，对称群，共有共有46462424阶对称操作，是对称性很高的分子。阶对称操作，是对称性很高的分子。D6h点群以苯分子为例说明：夹心面包型的二苯铬（重叠型）（图夹心面包型的二苯铬（重叠型）（图V）也是）也是D6h对称性。对称性。V.二苯铬D6hD7hDh：同核双原子分子：同核双原子分子H2、N2(图图VI)、O2等，等，或中心对称的线型分子或中心对称的线型分子CO2、CS2、C2H2、Hg2Cl2等属于等属于Dh对称性。在分子轴线存在一对称性。在分子轴线存在一个个C轴，过分子中心又有一个垂直于分子轴的轴，过分子中心又有一个垂直于分子轴的平面，平面上有无数个平面，平面上有无数个C2轴轴C轴，还有无数轴，还有无数个垂直面个垂直面v经过并相交于经过并相交于C轴。轴。VI.N2Dh Dnd群群由由Dn群群的的对对称称元元素素系系和和通通过过Cn有有平平分分2个个C2轴轴的的夹夹角角的的n个个d组组成成。若若Cn为为奇奇数数轴轴，对对称称元元素素系系中中含含有有Cn，n个个C2，n个个d，i和和In，若若Cn为为偶偶数数轴轴，对对称称元元素素系系中中含含有有Cn，n个个C2，n个个d和和I2n，注注意意这这时时不不包包含对称中心含对称中心i。一一个个分分子子若若含含有有一一个个n重重旋旋转转轴轴Cn及及垂垂直直于于Cn轴轴n个个2次次轴轴，即即满满足足Dn群群要要求求后后，要要进进一一步步判判断断是是Dnh或或Dnd，首首先先要要寻寻找找有有否否垂垂直直于于Cn主主轴轴的的水水平平对对称称面面h。若若无无，则则进进一一步步寻寻找找有有否否通通过过Cn轴轴并并平平分分C2轴轴夹夹角角的的n个个d垂垂直对称面，若有则属直对称面，若有则属Dnd点群，该群含点群，该群含4n个对称操作。个对称操作。7.Dnd点群点群I.I.丙二烯丙二烯现以丙二烯现以丙二烯(左图左图I)为例说明。沿着为例说明。沿着C=C=C键方键方向有向有C2主轴，经过中心主轴，经过中心C原子垂直于原子垂直于C2轴的轴的2个个C2轴，轴，与两个平面成与两个平面成45交角。但不存在一个过中心交角。但不存在一个过中心C、垂、垂直于主轴的平面，故丙二烯分子属直于主轴的平面，故丙二烯分子属D2d而不是而不是D2h。D2d N4S4(右图右图II)II)、As4S4的结构，是几个共边的结构，是几个共边五元环围成的网络立五元环围成的网络立体结构，它也是体结构，它也是D2d对对称性，称性，C2主轴经过上主轴经过上下下N-N键的中心，键的中心，S4共共平面，含有平面，含有2个个C2轴相轴相互垂直。互垂直。II.N4S4D2dPt4(COOR)8(左图III)D2dD2dCCCHHHHD3d：TiCl62-(图图I）构型为八面体沿三次轴方向压扁。）构型为八面体沿三次轴方向压扁。属于属于D3d对称性。对称性。I.TiCl62-D3dD3dD D4d4d：一些过渡金属八配位化合物，：一些过渡金属八配位化合物，ReFReF8 82-2-、TaFTaF8 83-3-(图图IIII）和）和Mo(CN)Mo(CN)8 83+3+等均形成四方反棱柱构型，它等均形成四方反棱柱构型，它的对称性属的对称性属D D4d4d。II.TaF83-D4dS8分子为皇冠型构型，属分子为皇冠型构型，属D4d点群，点群，C4旋转轴位于旋转轴位于皇冠中心。皇冠中心。4个个C2轴分别穿过轴分别穿过S8环上正对的环上正对的2个个S原原子，子，4个垂直平分面把皇冠均分成八部分。个垂直平分面把皇冠均分成八部分。(图图III）III.S8D4dD4d为了达到十八电子效应，为了达到十八电子效应，Mn(CO)5易形成二聚体易形成二聚体Mn2(CO)10(图图IV）为减少核间排斥力，为减少核间排斥力，2组组CO采采用交错型，故对称性属用交错型，故对称性属D4d。IV.二聚体二聚体Mn2(CO)10D4dD5d：二茂铁（图二茂铁（图V）分子属分子属D5d点群。点群。V.二茂铁二茂铁D5d数学已证明，有且只有五种正多面体。（正多面体是指表面由同样的正多面体组成，各个顶点、各条棱等价）它们是四面体，立方体、八面体、十二面体和二十面体。他们的面（F）、棱（E）、顶点（V）满足Euler方程：F FV VE E2 2如下所示：高高阶阶群：群：面：面：4个等边三角形个等边三角形顶点：顶点：4个个棱：棱：6条条1.1.四面体四面体五种正多面体五种正多面体 面：面：6个正方形个正方形顶点：顶点：8个顶点个顶点棱：棱：12条条2.2.立方体立方体面：面：8个正三角形个正三角形顶点：顶点：6个个棱：棱：12条条3.3.八面体八面体面：面：12个正五边形个正五边形顶点：顶点：20个个棱：棱：30条条4.4.十二面体十二面体面：面：20个正三角形个正三角形顶点：顶点：12个个棱：棱：30条条5.5.二十面体二十面体这些些是是四四面面体体群群，其其特特点点是是都都含含有有4个个C3轴，按立，按立方体体方体体对角角线排列。排列。T点群由点群由4个个C3，和，和3个个C2组成。成。Th点点群群由由4个个C3和和3个个C2，3个个h（它（它们分分别和和3个个C2轴垂直）垂直）和和i组成。成。Td点点群群由由4个个C3，和和3个个I4（其其中中含含有有C2）和和6个个d（分分别平平分分4个个C3轴的的夹角角）组成成，注注意意其其中中不不包包含含对称称中中心心i。T，Th和和Td点群点群当当一一个个分分子子具具有有四四面面体体骨骨架架构构型型，经经过过每每个个四四面面体体顶顶点点存存在在一一个个C3旋旋转转轴轴，4个个顶顶点点共共有有4个个C3轴轴，联联结结每每两两条条相相对对棱棱的的中中点点，存存在在1个个C2轴轴，六六条条棱棱共共有有3个个C2轴轴，可可形形成成12个个对对称称操操作作：E，4C3，4C32，3C2。这这些些对对称称操操作构成作构成T群，群阶为群，群阶为12。T群是纯旋转群，不含对称面，这群是纯旋转群，不含对称面，这样的分子很少，例如：样的分子很少，例如：新戊烷新戊烷(C(CH3)4)（图（图I）T T群群I.C(CH3)4T群群 当某个分子存在当某个分子存在T群的对称元素外，在垂直群的对称元素外，在垂直C2轴方向有一对称面，轴方向有一对称面，3个个C2轴则有轴则有3个对称面，个对称面，C2轴与垂直的对称面又会产生对称心。这样共轴与垂直的对称面又会产生对称心。这样共有有24个对称操作个对称操作E，4C3，4C32，3C2，i，4I3，4I32，3h，这个群称，这个群称Th群，群阶为群，群阶为24。属属Th群的分子也不多。近年合成了过渡金群的分子也不多。近年合成了过渡金属与属与C的原子簇合物的原子簇合物Ti8C12+、V8C12+即属此对称即属此对称性。性。Ti8C12（图（图II）分子中，上下分子中，上下2个个C-C键中键中点，左右点，左右2个个C-C键中点，前后键中点，前后2个个C-C键中点间键中点间存在存在3个个C3轴，在两两相对的金属轴，在两两相对的金属Ti原子间的连原子间的连线为线为C3轴。垂直于轴。垂直于C2轴还有轴还有3个对称平面。个对称平面。T Th h群群II.Ti8C12属属Th群群 若一个四面体骨架的分子，存在若一个四面体骨架的分子，存在4个个C3轴轴(动画演示动画演示)，3个个C2轴轴(动画演示动画演示)，同，同时每个时每个C2轴还处在两个互相垂直的平面轴还处在两个互相垂直的平面d(动动画演示画演示)的交线上，这两个平面还平分另外的交线上，这两个平面还平分另外2个个C2轴（共有轴（共有6个这样的平面）则该分子属个这样的平面）则该分子属Td对称性。对称操作为对称性。对称操作为E，3C2，8C3，6S4，6d共有共有24阶。这样的分子很多。阶。这样的分子很多。四面体四面体CH4、CCl4对对称性属称性属Td群群，一些含，一些含氧酸根氧酸根SO42-、PO43-等亦是。在等亦是。在CH4分子中，分子中，每个每个C-H键键方向存在方向存在1 1个个C3轴轴，2 2个个氢氢原子原子连线连线中点与中心中点与中心C原子原子间间是是S S4 4 轴轴，还还有有6 6个个d平面。平面。Td群群 一些分子骨架是四面体，所带的一些配体一些分子骨架是四面体，所带的一些配体亦符合对称要求。如过渡金属的一些羰基化合亦符合对称要求。如过渡金属的一些羰基化合物：物：Co4(CO)12(图图IV)IV)、Ir4(CO)12，每个金属原，每个金属原子有子有3 3个羰基配体，符合顶点个羰基配体，符合顶点C C3 3旋转轴的要求，旋转轴的要求，故对称性为故对称性为Td。又如。又如P4O6(图图V)V)，P P4 4形成四面体形成四面体，6 6个个O O位于四面体位于四面体6 6条棱的桥位，符合条棱的桥位，符合C2轴对轴对称性，故也是称性，故也是Td点群。点群。还有一些分子，如封闭碳笼富勒烯分子还有一些分子，如封闭碳笼富勒烯分子C40、C76等，由于封闭碳笼由等，由于封闭碳笼由1212个五边形与个五边形与个六边个六边形组成，五边形与六边形相对位置的改变使碳形组成，五边形与六边形相对位置的改变使碳笼对称性发生变化。笼对称性发生变化。C40、C76、C84等碳笼的某等碳笼的某种排列就属于种排列就属于T Td d点群。点群。IV.Co4(CO)12Td群V.P4O6Td群四四面面体体这些是八面体群，其特点是都含有些是八面体群，其特点是都含有3个个C4轴O群由群由3个个C4，和，和4个个C3和和6个个C2组成。成。Oh群群由由3个个C4，和和4个个C3和和6个个C2，3个个h（分分别和和3个个C4轴垂垂直直），6个个d（分分别平平分分4个个C3轴的的夹角）和角）和i等等组成。成。分分子子几几何何构构型型为为立立方方体体、八八面面体体的的，其其对对称性可属于称性可属于O或或Oh点群。点群。立立方方体体与与八八面面体体构构型型可可互互相相嵌嵌套套（图图I I），在在立立方方体体的的每每个个正正方方形形中中心心处处取取一一个个顶顶点点,把把这六个顶点连接起来就形成八面体。这六个顶点连接起来就形成八面体。O 和和Oh点群点群I.立方体与八面体构型可互相嵌套立方体与八面体构型可互相嵌套 经过立方体两个平行面的中心，存在经过立方体两个平行面的中心，存在1个个C4旋转轴，共有旋转轴，共有3组平行面，所以有组平行面，所以有3个个C4轴。通过相距最远的两个顶点有轴。通过相距最远的两个顶点有1个个C3轴，共有轴，共有4个个C3轴，轴，3个个C4轴与轴与4个个C3轴轴构成了构成了24个对称操作，个对称操作，E，6C4，3C2，6C2，8C3，构成纯旋转群，构成纯旋转群O群。群。O群的群的C4轴对八面体构型来说，存在轴对八面体构型来说，存在于两个对立顶点之间。于两个对立顶点之间。6个顶点就有个顶点就有3个个C4轴，联结两个平行的三角面的中心，则为轴，联结两个平行的三角面的中心，则为1个个C3轴，共有轴，共有8个三角面，就有个三角面，就有4个个C3轴轴.对称性为对称性为O群的分子较少。群的分子较少。一个分子若已有一个分子若已有O O群的对称元素（群的对称元素（4 4个个C3轴，轴，3 3个个C4轴），再有一个垂直于轴），再有一个垂直于C C4 4轴的对轴的对称面称面h h，同理会存在，同理会存在3 3个个h对称面，有对称面，有C4轴轴与垂直于它的水平对称面，将产生一个对称与垂直于它的水平对称面，将产生一个对称心心i i，由此产生一系列的对称操作，共有，由此产生一系列的对称操作，共有4848个：个：E，6C4，3C2，6C2，8C3，i，6S4，3h,6d,8S6这就形成了这就形成了Oh群。群。属于属于Oh群的分子有八面体构型的群的分子有八面体构型的SF6（图（图II）、WF6、Mo(CO)6，立方体构型的，立方体构型的OsF8、立方烷立方烷C8H8（图（图III），还有一些金属簇合，还有一些金属簇合物对称性属物对称性属Oh点群。点群。Oh群II.SF6III.立方烷立方烷C8H8Oh群 例如例如Mo6Cl84+或或Ta6Cl122+，这两个离子中，这两个离子中，6 6个金属原子形成八面体骨架，个金属原子形成八面体骨架，Cl原子在三角面原子在三角面上配位，或在棱桥位置与上配位，或在棱桥位置与M配位。配位。还有一种立方八面体构型的分子对称性也还有一种立方八面体构型的分子对称性也属属Oh群。群。从一个立方体的八个顶点削出一个三角面从一个立方体的八个顶点削出一个三角面来（如图所示），即形成一个立方八面体（十来（如图所示），即形成一个立方八面体（十四面体）一些金属簇如四面体）一些金属簇如Rh13（图（图IVIV）就是这种就是这种构型，一个金属原子位于中心，周围构型，一个金属原子位于中心，周围1212个原子个原子等距离围绕它，这种构型等距离围绕它，这种构型3 3个个C4轴，轴，4 4个个C3轴都轴都存在，还有存在，还有3 3个个h对称面，对称面，6 6个个d对称面，对称对称面，对称心心i i等，也有等，也有4848个对称操作。个对称操作。IV.Rh13这些些是是二二十十面面体体群群，其其特特点点是是都都含含有有6个个C5轴。I点群由点群由6个个C5，10个个C3或或15个个C2组成。成。Id点点群群由由6个个C5，10个个C3或或15个个C2，15个个和和i组成。成。Id点群有点群有时又称又称Ih点群。点群。正二十面体与正十二面体具有完全相同正二十面体与正十二面体具有完全相同的对称操作。（将正十二面体的每个正五边的对称操作。（将正十二面体的每个正五边形的中心取为顶点，联结起来就形成严格正形的中心取为顶点，联结起来就形成严格正二十面体二十面体 。反之，从正二十面体每个三角。反之，从正二十面体每个三角形中心取一个顶点，联结起来就形成一个正形中心取一个顶点，联结起来就形成一个正十二面体。）十二面体。）I 和和 I h点群点群正三角二十面体正五角十二面体 现以十二面体为例说明；联结十二面现以十二面体为例说明；联结十二面体两个平行五边形的中心，即是多面体的体两个平行五边形的中心，即是多面体的一个一个C5对称轴，共有对称轴，共有1212个面，即有个面，即有6 6个个C5轴，联结十二面体相距最近的两个顶点，轴，联结十二面体相距最近的两个顶点，则为则为C3轴，共有轴，共有2020个顶点，故有个顶点，故有1010个个C3轴。轴。经过一对棱的中点，可找到经过一对棱的中点，可找到1 1个个C2轴，共轴，共有有3030条棱，所以有条棱，所以有1515个个C2轴。轴。6 6个个C5轴、轴、1010个个C3轴、轴、1515个个C2轴共同组成了轴共同组成了I I群的群的6060个对称操作：个对称操作：E，12C5，12C52，20C3，15C2，I群的一个群的一个6060阶的纯旋转群。阶的纯旋转群。属于属于I I群的分子很少。群的分子很少。I I群群在在I I群对称元素基础上，增加一个对群对称元素基础上，增加一个对称心，即可再产生称心，即可再产生6060个对称操作，形成个对称操作，形成120120个对称操作的个对称操作的Ih点群：点群：E，12C5，12C52，20C3，15C2，i，12S10，12S103，20S6，15。现以现以B12H122-（图（图I I）分子为例说明：分子为例说明：该分子为正二十面体构型，相隔最远的该分子为正二十面体构型，相隔最远的2 2个个B B原子间有一个原子间有一个C5旋转轴，旋转轴，1212个原子共个原子共有有6 6个个C5轴。轴。C20H20（图（图IIII）分子则是正十二面体分子