小学数学基本思想方法和基本活动经验的积累.ppt

小学数学基本思想方法和小学数学基本思想方法和基本活动经验的积累基本活动经验的积累 襄州区教研室襄州区教研室 张孝洪张孝洪20112011年年7 7月月数学课程标准数学课程标准（修订稿）（修订稿）把把“双基双基”改为改为“四基四基”：基础知识、基本技能、基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。基本思想、基本活动经验。基本思想方法基本思想方法基本活动经验基本活动经验一、什么是数学思想方法一、什么是数学思想方法所谓的所谓的数学思想数学思想，是指人们对数学理，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。数学规律的理性认识。所谓的所谓的数学方法数学方法，就是解决数，就是解决数学问题的方法，即解决数学具学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学和手段，也可以说是解决数学问题的策略。问题的策略。数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。成一个整体概念，即小学数学思想方法。二、数学思想方法的教学功能二、数学思想方法的教学功能1数学思想方法的教学是数学文化功能的具体数学思想方法的教学是数学文化功能的具体体现。体现。数学思想方法统摄数学知识而成为数学的灵魂，数学思想方法统摄数学知识而成为数学的灵魂，数学教育在本质上是传承文明、传递文化、创造数学教育在本质上是传承文明、传递文化、创造新思想的一种文化教育。所以，数学的学习和训新思想的一种文化教育。所以，数学的学习和训练，决非单纯地获取知识，更重要的是通过数学练，决非单纯地获取知识，更重要的是通过数学的学习接受数学精神、数学思想和数学方法的熏的学习接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶，提高文化品位，陶冶一个人的品格和思维习陶，提高文化品位，陶冶一个人的品格和思维习惯，提升一个人素质的综合水平。惯，提升一个人素质的综合水平。通过数学思想方法教学，可以帮助人们通过数学思想方法教学，可以帮助人们更好的认识自然和人类社会，塑造人们更好的认识自然和人类社会，塑造人们改造世界的理性精神，形成科学的世界改造世界的理性精神，形成科学的世界观、人生观和价值观，提高国民的基本观、人生观和价值观，提高国民的基本素质和生活质量，为人的一生可持续发素质和生活质量，为人的一生可持续发展奠定基础。展奠定基础。2、数学思想方法的教学是引导学生欣赏美、发、数学思想方法的教学是引导学生欣赏美、发现美、创造美的重要工具现美、创造美的重要工具无论是数学学习和数学创造无论是数学学习和数学创造,数学思想方法都具数学思想方法都具有至高无尚的地位有至高无尚的地位,它精巧绝伦，奇美无比，其它精巧绝伦，奇美无比，其美育效果非同寻常。美育效果非同寻常。数学思想方法是数学理性美的化身，它的美感因数学思想方法是数学理性美的化身，它的美感因素和美育价值，充分体现了数学发现的魅力和数素和美育价值，充分体现了数学发现的魅力和数学创造的精神，它们在问题解决过程中无时不在学创造的精神，它们在问题解决过程中无时不在、无处不在地显露出令人叫绝的优美特征，常常、无处不在地显露出令人叫绝的优美特征，常常使人赏心悦目，心旷神怡，春风化雨般地启迪和使人赏心悦目，心旷神怡，春风化雨般地启迪和激励着数学学习者的学习兴趣和创造欲望。激励着数学学习者的学习兴趣和创造欲望。3、数学思想方法的教学是实施素质教育的核心、数学思想方法的教学是实施素质教育的核心内容内容任何一门学科，只有站在思想方法的高度上去审任何一门学科，只有站在思想方法的高度上去审视和认识，才能真正理解它的科学意义和实践价视和认识，才能真正理解它的科学意义和实践价值。值。一旦学生掌握了数学思想方法，就能更快捷地获一旦学生掌握了数学思想方法，就能更快捷地获取知识，更透彻地理解知识、更灵活地运用知识，取知识，更透彻地理解知识、更灵活地运用知识，在知识的获取、理解、运用过程中，自觉地产生在知识的获取、理解、运用过程中，自觉地产生创新意识，使创造性思维得以充分体现。所以数创新意识，使创造性思维得以充分体现。所以数学思想方法教学会使学生受益终生，它正是数学学思想方法教学会使学生受益终生，它正是数学素质教育的本质所在。素质教育的本质所在。4、数学思想方法的教学是提高学生数学素养的重、数学思想方法的教学是提高学生数学素养的重要载体要载体数学素养包括数学思想方法、数学思维能力、问题数学素养包括数学思想方法、数学思维能力、问题解决和创新能力等诸多内容，但数学思想方法和数解决和创新能力等诸多内容，但数学思想方法和数学思维能力是数学素养的重要组成部分，学生学会学思维能力是数学素养的重要组成部分，学生学会数学思想方法是具有数学素养的一个重要标志。数学思想方法是具有数学素养的一个重要标志。学生数学素养的提高，需要在教师的指导下参与大学生数学素养的提高，需要在教师的指导下参与大量的各类数学活动，从各类体验中来积累、形成，量的各类数学活动，从各类体验中来积累、形成，不可能一蹴而就，但是，学生逐步掌握和学会运用不可能一蹴而就，但是，学生逐步掌握和学会运用数学思想方法，逐步增强创新意识，提高创新能力，数学思想方法，逐步增强创新意识，提高创新能力，是提高学生数学素养的根本途径。是提高学生数学素养的根本途径。三、小学数学思想方法有哪些三、小学数学思想方法有哪些1、对应思想方法、对应思想方法2、假设思想方法、假设思想方法3、比较思想方法、比较思想方法4、符号化思想方法、符号化思想方法5、类比思想方法、类比思想方法6、转化思想方法、转化思想方法7、分类思想方法、分类思想方法8、集合思想方法、集合思想方法9、数形结合思想方法、数形结合思想方法10、统计思想方法、统计思想方法11、极限思想方法、极限思想方法12、代换思想方法、代换思想方法 13、可逆思想方法、可逆思想方法14、化归思想方法、化归思想方法15、变中抓不变的思想方法、变中抓不变的思想方法16、模型思想方法、模型思想方法17、整体思想方法、整体思想方法 四、如何渗透数学思想方法四、如何渗透数学思想方法(一一)在教学目标中明晰在教学目标中明晰(二二)在知识形成中落实在知识形成中落实(三三)在反复训练中强化在反复训练中强化(四四)在概括总结中升华在概括总结中升华 一、在代数变形中渗透数形结合思想一、在代数变形中渗透数形结合思想例如：三角形面积计算公式的推导。例如：三角形面积计算公式的推导。Sah2(a2)ha(h2)思路思路1：Sah2看到ah可以想到以a为底，h为高的平行四边形，这样很容易想到两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。如图1。思路思路2：S(a2)h看到(a2)自然想到底边的一半，以边长为(a2)的这条边为底乘以高，得到一个平行四边形的面积。如图2。思路思路3：Sa(h2)看到(h2)可以想到高的一半，取高的一半，作中位线，构造出平行四边形，这个平行四边形的面积与三角形面积相等，如图3。二、用模型方法解决挑战性的数学问题二、用模型方法解决挑战性的数学问题问题问题1：张强和李明的年龄之和是：张强和李明的年龄之和是42岁。张强比李岁。张强比李明大明大16岁。岁。5年后李明是多少岁？年后李明是多少岁？这道题用代数方法一般都能解决，但对小学生来说，就有这道题用代数方法一般都能解决，但对小学生来说，就有这道题用代数方法一般都能解决，但对小学生来说，就有这道题用代数方法一般都能解决，但对小学生来说，就有点困难了。如果用模型化方法，如果用模型化方法，可以点困难了。如果用模型化方法，如果用模型化方法，可以点困难了。如果用模型化方法，如果用模型化方法，可以点困难了。如果用模型化方法，如果用模型化方法，可以从图从图从图从图1 1不难看出：不难看出：不难看出：不难看出：2 2个单位对应于个单位对应于个单位对应于个单位对应于2626岁，于是可以求出岁，于是可以求出岁，于是可以求出岁，于是可以求出1 1个个个个单位的量。同时图示的方法也简化了复杂的算式。单位的量。同时图示的方法也简化了复杂的算式。单位的量。同时图示的方法也简化了复杂的算式。单位的量。同时图示的方法也简化了复杂的算式。2 2个单位个单位个单位个单位42421616261261个单位个单位个单位个单位131313135 518185 5年后李明是年后李明是年后李明是年后李明是1818岁。岁。岁。岁。问题问题问题问题2 2：莎莎存的钱是丽丽的：莎莎存的钱是丽丽的：莎莎存的钱是丽丽的：莎莎存的钱是丽丽的3 3倍，玲玲存的钱比莎莎少倍，玲玲存的钱比莎莎少倍，玲玲存的钱比莎莎少倍，玲玲存的钱比莎莎少2020元。如果三人共存款元。如果三人共存款元。如果三人共存款元。如果三人共存款645645元，玲玲存有多少钱？元，玲玲存有多少钱？元，玲玲存有多少钱？元，玲玲存有多少钱？这道题用代数方法一般也能解决，但对小学生来说，就有这道题用代数方法一般也能解决，但对小学生来说，就有这道题用代数方法一般也能解决，但对小学生来说，就有这道题用代数方法一般也能解决，但对小学生来说，就有点困难了。如果用模型化方法，将玲玲少的点困难了。如果用模型化方法，将玲玲少的点困难了。如果用模型化方法，将玲玲少的点困难了。如果用模型化方法，将玲玲少的2020元补上去以元补上去以元补上去以元补上去以后，从图后，从图后，从图后，从图2 2中就不难看出中就不难看出中就不难看出中就不难看出7 7个单位对应的钱数（个单位对应的钱数（个单位对应的钱数（个单位对应的钱数（665665元），元），元），元），进而求出进而求出进而求出进而求出1 1个单位的钱数（个单位的钱数（个单位的钱数（个单位的钱数（9595元），问题元），问题元），问题元），问题2 2就很容易解决就很容易解决就很容易解决就很容易解决了。了。了。了。7 7个单位个单位个单位个单位645645202066566511个单位个单位个单位个单位6657665795953 3个单位个单位个单位个单位953953285285所以玲玲存的钱：所以玲玲存的钱：所以玲玲存的钱：所以玲玲存的钱：2852852020265265（元）（元）（元）（元）问题问题问题问题3 3：东东有一些红色和蓝色的珠子。：东东有一些红色和蓝色的珠子。：东东有一些红色和蓝色的珠子。：东东有一些红色和蓝色的珠子。1/41/4的红珠数目和的红珠数目和的红珠数目和的红珠数目和2/32/3的蓝珠数目相等。如果红珠比蓝珠多的蓝珠数目相等。如果红珠比蓝珠多的蓝珠数目相等。如果红珠比蓝珠多的蓝珠数目相等。如果红珠比蓝珠多1515颗，那么红珠颗，那么红珠颗，那么红珠颗，那么红珠有多少颗？有多少颗？有多少颗？有多少颗？图图图图3 3中上面的图是根据题目中上面的图是根据题目中上面的图是根据题目中上面的图是根据题目意思直接画得的模型，图上意思直接画得的模型，图上意思直接画得的模型，图上意思直接画得的模型，图上数量关系不是很明确，但当数量关系不是很明确，但当数量关系不是很明确，但当数量关系不是很明确，但当按照小的单位将红珠细分以按照小的单位将红珠细分以按照小的单位将红珠细分以按照小的单位将红珠细分以后，不难得到数量关系。后，不难得到数量关系。后，不难得到数量关系。后，不难得到数量关系。5 5个单位个单位个单位个单位15151 1个单位个单位个单位个单位155155338 8个单位个单位个单位个单位38382424所以红珠有所以红珠有所以红珠有所以红珠有2424颗。颗。颗。颗。问题问题问题问题4 4：2/32/3袋沙的重量是袋沙的重量是袋沙的重量是袋沙的重量是2.952.95千克。取走一些后，袋内千克。取走一些后，袋内千克。取走一些后，袋内千克。取走一些后，袋内的沙变成了原来的的沙变成了原来的的沙变成了原来的的沙变成了原来的1/21/2，重，重，重，重2.3252.325千克。空袋子重多少千千克。空袋子重多少千千克。空袋子重多少千千克。空袋子重多少千克？克？克？克？取走前：空袋子取走前：空袋子取走前：空袋子取走前：空袋子4 4个单位个单位个单位个单位2.952.95取走后：空袋子取走后：空袋子取走后：空袋子取走后：空袋子3 3个单位个单位个单位个单位2.3252.325相差相差相差相差1 1个单位：个单位：个单位：个单位：2.952.952.3252.3250.6250.6254 4个单位：个单位：个单位：个单位：0.62540.62542.52.5空袋子重：空袋子重：空袋子重：空袋子重：2.952.952.52.50.450.45（千克）（千克）（千克）（千克）三、用模型方法解决规律性的数学问题三、用模型方法解决规律性的数学问题数学中的模型化方法也就是数学模型，即数学中的模型化方法也就是数学模型，即用数学来描述或解决现实世界中的现象。用数学来描述或解决现实世界中的现象。我们来看这样一个问题：图我们来看这样一个问题：图1由由5个同样大个同样大小的圆组成，请画一条直线将该图分成面小的圆组成，请画一条直线将该图分成面积相等的两部分。积相等的两部分。为解决这个问题，我们先看一个简单点的问题：有为解决这个问题，我们先看一个简单点的问题：有多少种方式可以将一个正方形，如图多少种方式可以将一个正方形，如图2（a）分成）分成两个面积相等的部分。两个面积相等的部分。很多人会画出图很多人会画出图2（b），得出），得出4种分法。如果你的种分法。如果你的答案是无数，你就是一个横向思维能力较强的人。答案是无数，你就是一个横向思维能力较强的人。事实上，过正方形中心的任意一条直线都是可以的，事实上，过正方形中心的任意一条直线都是可以的，如图如图3。接下来的问题是，如何将两个正方形组成接下来的问题是，如何将两个正方形组成的图的图4分成面积相等的两部分？（图分成面积相等的两部分？（图5显示显示了一种分的方式。）了一种分的方式。）应用这一原理，可以解决我们开始提出的应用这一原理，可以解决我们开始提出的把五圆组成的图形分成面积相等的两部分把五圆组成的图形分成面积相等的两部分的问题吗？有多少种分的方式？的问题吗？有多少种分的方式？（图（图6显示了显示了4种分的方式。）种分的方式。）组合图形面积典型解法的组合图形面积典型解法的整理和复习整理和复习通过求组合图形面积的复习，让通过求组合图形面积的复习，让学生掌握一些求积的方法，感悟数学学生掌握一些求积的方法，感悟数学思想，从而达到建立空间观念，培养思想，从而达到建立空间观念，培养形象思维和抽象思维的目的。形象思维和抽象思维的目的。（一）等积变形。（一）等积变形。1、平移法。、平移法。（1）点的平移。）点的平移。例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）将图将图将图将图1 1 1 1中右面三角形上面的顶点平移到左边三角形中右面三角形上面的顶点平移到左边三角形中右面三角形上面的顶点平移到左边三角形中右面三角形上面的顶点平移到左边三角形的顶点，使两个三角形合并为一个大三角形，如图的顶点，使两个三角形合并为一个大三角形，如图的顶点，使两个三角形合并为一个大三角形，如图的顶点，使两个三角形合并为一个大三角形，如图2 2 2 2。面积为：面积为：面积为：面积为：2010201020102010100100100100（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（2）面的平移。）面的平移。例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）将图将图将图将图1 1 1 1中的阴影扇形向右平移，组成一个正方形，中的阴影扇形向右平移，组成一个正方形，中的阴影扇形向右平移，组成一个正方形，中的阴影扇形向右平移，组成一个正方形，如图如图如图如图2 2 2 2。面积为：。面积为：。面积为：。面积为：222222224 4 4 4（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）3、旋转法。、旋转法。（1）以点为中心旋转。）以点为中心旋转。例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）以图以图以图以图1 1 1 1中大圆的圆心为旋转中心，将左侧小半圆顺中大圆的圆心为旋转中心，将左侧小半圆顺中大圆的圆心为旋转中心，将左侧小半圆顺中大圆的圆心为旋转中心，将左侧小半圆顺或逆时针方向旋转或逆时针方向旋转或逆时针方向旋转或逆时针方向旋转180180180180，就得到图，就得到图，就得到图，就得到图2 2 2 2所示的形状，所求所示的形状，所求所示的形状，所求所示的形状，所求的阴影部分的面积就是大半圆的面积：的阴影部分的面积就是大半圆的面积：的阴影部分的面积就是大半圆的面积：的阴影部分的面积就是大半圆的面积：3.141022=1573.141022=1573.141022=1573.141022=157（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（2）以线为中心翻转。）以线为中心翻转。例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）就是以图就是以图就是以图就是以图1 1 1 1中的竖直半径为对称轴，将右边阴影部中的竖直半径为对称轴，将右边阴影部中的竖直半径为对称轴，将右边阴影部中的竖直半径为对称轴，将右边阴影部分翻转到左边，如图分翻转到左边，如图分翻转到左边，如图分翻转到左边，如图2 2 2 2。阴部面积就是大扇形面积与空。阴部面积就是大扇形面积与空。阴部面积就是大扇形面积与空。阴部面积就是大扇形面积与空白三角形面积的差：白三角形面积的差：白三角形面积的差：白三角形面积的差：3.142083.142083.142083.1420820202020（202202202202）222257575757（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（二）对称扩缩（二）对称扩缩1 1、对折法、对折法、对折法、对折法例：等腰直角三角形的斜边长例：等腰直角三角形的斜边长例：等腰直角三角形的斜边长例：等腰直角三角形的斜边长6 6 6 6厘米，这个三角形的厘米，这个三角形的厘米，这个三角形的厘米，这个三角形的面积多少？面积多少？面积多少？面积多少？把等腰直角三角形图把等腰直角三角形图把等腰直角三角形图把等腰直角三角形图1 1 1 1对折如图对折如图对折如图对折如图2 2 2 2，可以得到，可以得到，可以得到，可以得到2 2 2 2个小个小个小个小等腰直角三角形。进而发现原三角形斜边上的高是等腰直角三角形。进而发现原三角形斜边上的高是等腰直角三角形。进而发现原三角形斜边上的高是等腰直角三角形。进而发现原三角形斜边上的高是62=362=362=362=3（厘米）。（厘米）。（厘米）。（厘米）。等腰直角三角形面积等腰直角三角形面积等腰直角三角形面积等腰直角三角形面积=6=6=6=6（62626262）2=92=92=92=9（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）3、等分法。、等分法。例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例：计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）先求出图先求出图先求出图先求出图1 1 1 1中阴影部分的八分之一，即图中阴影部分的八分之一，即图中阴影部分的八分之一，即图中阴影部分的八分之一，即图2 2 2 2中的阴影中的阴影中的阴影中的阴影部分面积，然后乘以部分面积，然后乘以部分面积，然后乘以部分面积，然后乘以8 8 8 8就是阴影部分总面积。即：就是阴影部分总面积。即：就是阴影部分总面积。即：就是阴影部分总面积。即：（3.14243.14243.14243.1424222222222222）88889.129.129.129.12（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（三）等量替换（三）等量替换1、条件替换、条件替换如图所示，两个圆的半径均为如图所示，两个圆的半径均为2 2厘米，两个阴影部分厘米，两个阴影部分面积相等，长方形面积是多少？面积相等，长方形面积是多少？由两个阴影部分面积相等，可知长方形面积两个由两个阴影部分面积相等，可知长方形面积两个直角扇形面积的和半圆面积，所以长方形面积为：直角扇形面积的和半圆面积，所以长方形面积为：3.14223.14226.286.28（平方厘米）（平方厘米）2、问题替换、问题替换如图所示，一个直径为如图所示，一个直径为如图所示，一个直径为如图所示，一个直径为4 4 4 4厘米的半圆，以厘米的半圆，以厘米的半圆，以厘米的半圆，以A A A A 点为中点为中点为中点为中心，按顺时针方向旋转心，按顺时针方向旋转心，按顺时针方向旋转心，按顺时针方向旋转45454545，此时点，此时点，此时点，此时点B B B B到点到点到点到点BBBB，求阴影，求阴影，求阴影，求阴影部分面积。部分面积。部分面积。部分面积。阴影部分面积扇形面积阴影部分面积扇形面积阴影部分面积扇形面积阴影部分面积扇形面积+半圆面积半圆面积半圆面积半圆面积半圆面积半圆面积半圆面积半圆面积扇形面积。即：扇形面积。即：扇形面积。即：扇形面积。即：3.14483.14483.14483.14486.286.286.286.28（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（四）寻找隐蔽条件（四）寻找隐蔽条件如图所示，它是由如图所示，它是由4 4个直角边为个直角边为2 2分米和分米和3 3分米的直角分米的直角三角形和三角形和1 1个小正方形拼成的。大正方形的面积是多少个小正方形拼成的。大正方形的面积是多少？观察发现，大正方形的面积是由观察发现，大正方形的面积是由4 4个直角三角形的面个直角三角形的面积和小正方形的面积组成。而小正方形的边长正好是三积和小正方形的面积组成。而小正方形的边长正好是三角形两条直角边的差（角形两条直角边的差（3 32 2）分米。）分米。大正方形的面积大正方形的面积=3224=3224（3 32 2）=13=13（平（平方分米）方分米）（五）从整体看问题（五）从整体看问题如图所示，直角三角形如图所示，直角三角形ABCABC的三条边长分别为的三条边长分别为6 6厘米、厘米、8 8厘米、厘米、1010厘米，三个顶点厘米，三个顶点A A、B B、C C 分别是三个半径相等的圆的圆心，阴分别是三个半径相等的圆的圆心，阴影部分的总面积是多少？影部分的总面积是多少？从表面看，此题应先求三块阴影部分面积，再求其之和，但从表面看，此题应先求三块阴影部分面积，再求其之和，但因两个小扇形的圆心角度数未知，不易求解。如果从整体观察，因两个小扇形的圆心角度数未知，不易求解。如果从整体观察，三个扇形的圆心角之和就是三角形的内角和三个扇形的圆心角之和就是三角形的内角和180180，阴影部分面积，阴影部分面积就是半径为就是半径为3 3厘米的圆面积的一半。厘米的圆面积的一半。即：即：3.143.14（6262）2214.1314.13（平方厘米）（平方厘米）（六）灵活运用公式（六）灵活运用公式 如图所示，如图所示，BCBC为为2020厘米，求直角梯形厘米，求直角梯形ABCDABCD的面积。的面积。在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，已知高中，已知高BCBC的长度，上底的长度，上底ABAB与下与下底底CDCD的长度未知。但是如果能求出能求出上、下底之和的长度未知。但是如果能求出能求出上、下底之和，也可求出其面积。因为三角形，也可求出其面积。因为三角形ABEABE和三角形和三角形CDECDE都是等都是等腰直角三角形，所以梯形腰直角三角形，所以梯形ABCDABCD的面积为：的面积为：（BE+CEBE+CE）BC2BC22020220202200200（平方厘米）（平方厘米）基本活动经验基本活动经验基本活动经验基本活动经验一、什么是数学基本活动经验一、什么是数学基本活动经验一、什么是数学基本活动经验一、什么是数学基本活动经验首先是首先是首先是首先是“数学数学数学数学”的，所从事的活动要有明确的数学目标，的，所从事的活动要有明确的数学目标，的，所从事的活动要有明确的数学目标，的，所从事的活动要有明确的数学目标，没有数学目标的活动不是没有数学目标的活动不是没有数学目标的活动不是没有数学目标的活动不是“数学活动数学活动数学活动数学活动”。小学数学是研究。小学数学是研究。小学数学是研究。小学数学是研究最基本的数量关系、图形关系、随机关系（主要是统计关最基本的数量关系、图形关系、随机关系（主要是统计关最基本的数量关系、图形关系、随机关系（主要是统计关最基本的数量关系、图形关系、随机关系（主要是统计关系）的。系）的。系）的。系）的。其次是其次是其次是其次是“经验经验经验经验”的，经验是一种感性认识，包含双重意的，经验是一种感性认识，包含双重意的，经验是一种感性认识，包含双重意的，经验是一种感性认识，包含双重意义，一是经验的事物，二是经验的过程。数学经验是数学义，一是经验的事物，二是经验的过程。数学经验是数学义，一是经验的事物，二是经验的过程。数学经验是数学义，一是经验的事物，二是经验的过程。数学经验是数学的感性认识，是在数学活动中积累的。的感性认识，是在数学活动中积累的。的感性认识，是在数学活动中积累的。的感性认识，是在数学活动中积累的。再次是再次是再次是再次是“活动活动活动活动”的，苏联著名数学教育家斯托利亚尔认的，苏联著名数学教育家斯托利亚尔认的，苏联著名数学教育家斯托利亚尔认的，苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：数学教学是数学活动的教学，也是思维活动的教学。为：数学教学是数学活动的教学，也是思维活动的教学。为：数学教学是数学活动的教学，也是思维活动的教学。为：数学教学是数学活动的教学，也是思维活动的教学。那么包括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学那么包括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学那么包括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学那么包括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学教学活动都是教学活动都是教学活动都是教学活动都是“数学活动数学活动数学活动数学活动”，这样就过于泛化。我理解的，这样就过于泛化。我理解的，这样就过于泛化。我理解的，这样就过于泛化。我理解的“数学活动经验数学活动经验数学活动经验数学活动经验”所指的所指的所指的所指的“活动活动活动活动”其特定含义主要是对数其特定含义主要是对数其特定含义主要是对数其特定含义主要是对数学材料的具体操作和形象操作探究活动。学材料的具体操作和形象操作探究活动。学材料的具体操作和形象操作探究活动。学材料的具体操作和形象操作探究活动。“获得数学基本活动经验获得数学基本活动经验获得数学基本活动经验获得数学基本活动经验”作为教育目标指出，是基于作为教育目标指出，是基于作为教育目标指出，是基于作为教育目标指出，是基于“动态的数学观动态的数学观动态的数学观动态的数学观”，把数学看成是人类的一种活动，是，把数学看成是人类的一种活动，是，把数学看成是人类的一种活动，是，把数学看成是人类的一种活动，是一种充满情感、富于思考的经历体验和探索的活动。这一种充满情感、富于思考的经历体验和探索的活动。这一种充满情感、富于思考的经历体验和探索的活动。这一种充满情感、富于思考的经历体验和探索的活动。这样的数学观必然影响着数学教育观。样的数学观必然影响着数学教育观。样的数学观必然影响着数学教育观。样的数学观必然影响着数学教育观。首先，数学教学的目标，并非单纯体现于学生接受的首先，数学教学的目标，并非单纯体现于学生接受的首先，数学教学的目标，并非单纯体现于学生接受的首先，数学教学的目标，并非单纯体现于学生接受的数学事实，而更多的是通过对数学思想方法的感悟，对数学事实，而更多的是通过对数学思想方法的感悟，对数学事实，而更多的是通过对数学思想方法的感悟，对数学事实，而更多的是通过对数学思想方法的感悟，对数学活动经验的积累，将数学活动经验的积累，将数学活动经验的积累，将数学活动经验的积累，将“经验材料组织化经验材料组织化经验材料组织化经验材料组织化”“”“数学材数学材数学材数学材料逻辑化料逻辑化料逻辑化料逻辑化”。数学知识不仅包括定义、公式、法则、定。数学知识不仅包括定义、公式、法则、定。数学知识不仅包括定义、公式、法则、定。数学知识不仅包括定义、公式、法则、定理等数学事实的理等数学事实的理等数学事实的理等数学事实的“客观性知识客观性知识客观性知识客观性知识”，而且包括从属于学生，而且包括从属于学生，而且包括从属于学生，而且包括从属于学生自己的自己的自己的自己的“主观性知识主观性知识主观性知识主观性知识”，即带有个体认知特点的个人知，即带有个体认知特点的个人知，即带有个体认知特点的个人知，即带有个体认知特点的个人知识和数学活动经验，它是经验性的、感性的、不那么严识和数学活动经验，它是经验性的、感性的、不那么严识和数学活动经验，它是经验性的、感性的、不那么严识和数学活动经验，它是经验性的、感性的、不那么严格格格格“隐性知识隐性知识隐性知识隐性知识”。其次，数学教学不仅是结果的教学，更重要的是过程其次，数学教学不仅是结果的教学，更重要的是过程其次，数学教学不仅是结果的教学，更重要的是过程其次，数学教学不仅是结果的教学，更重要的是过程的教学。数学课堂教学必须结合具体内容让学生在数学的教学。数学课堂教学必须结合具体内容让学生在数学的教学。数学课堂教学必须结合具体内容让学生在数学的教学。数学课堂教学必须结合具体内容让学生在数学学习活动中去学习活动中去学习活动中去学习活动中去“经历过程经历过程经历过程经历过程”。再次，数学课堂教学应该是开放的。数学活动经验不再次，数学课堂教学应该是开放的。数学活动经验不再次，数学课堂教学应该是开放的。数学活动经验不再次，数学课堂教学应该是开放的。数学活动经验不像事实性知识那样像事实性知识那样像事实性知识那样像事实性知识那样“看得见、摸得着看得见、摸得着看得见、摸得着看得见、摸得着”，而且表述是唯，而且表述是唯，而且表述是唯，而且表述是唯一的。学生在数学活动中对某一数学对象的认识是有个一的。学生在数学活动中对某一数学对象的认识是有个一的。学生在数学活动中对某一数学对象的认识是有个一的。学生在数学活动中对某一数学对象的认识是有个性特征的，在认识的过程中所获得的经验又是多样的，性特征的，在认识的过程中所获得的经验又是多样的，性特征的，在认识的过程中所获得的经验又是多样的，性特征的，在认识的过程中所获得的经验又是多样的，学生的发展也因此而不同。这就决定了数学课堂教学不学生的发展也因此而不同。这就决定了数学课堂教学不学生的发展也因此而不同。这就决定了数学课堂教学不学生的发展也因此而不同。这就决定了数学课堂教学不能封闭式灌输，而要开放式地组织活动。每个学生在学能封闭式灌输，而要开放式地组织活动。每个学生在学能封闭式灌输，而要开放式地组织活动。每个学生在学能封闭式灌输，而要开放式地组织活动。每个学生在学习过程中都有一定的自主性，老师应给各种不同意见以习过程中都有一定的自主性，老师应给各种不同意见以习过程中都有一定的自主性，老师应给各种不同意见以习过程中都有一定的自主性，老师应给各种不同意见以充分表达的机会，积极拓展学生的学习空间。充分表达的机会，积极拓展学生的学习空间。充分表达的机会，积极拓展学生的学习空间。充分表达的机会，积极拓展学生的学习空间。二、数学基本活动经验的特征二、数学基本活动经验的特征二、数学基本活动经验的特征二、数学基本活动经验的特征个体性个体性个体性个体性基于学生个人的，它带有明显的学生个性基于学生个人的，它带有明显的学生个性基于学生个人的，它带有明显的学生个性基于学生个人的，它带有明显的学生个性特征，是属于学生自己的。特征，是属于学生自己的。特征，是属于学生自己的。特征，是属于学生自己的。实践性实践性实践性实践性是在学生学习过程中获得的，离开了实践是在学生学习过程中获得的，离开了实践是在学生学习过程中获得的，离开了实践是在学生学习过程中获得的，离开了实践活动就不能形成有意义的数学活动经验活动就不能形成有意义的数学活动经验活动就不能形成有意义的数学活动经验活动就不能形成有意义的数学活动经验多样性多样性多样性多样性学生群体针对同一数学对象，尽管学习环学生群体针对同一数学对象，尽管学习环学生群体针对同一数学对象，尽管学习环学生群体针对同一数学对象，尽管学习环境等外部条件相同，但每一个学生仍然可能会有不同的境等外部条件相同，但每一个学生仍然可能会有不同的境等外部条件相同，但每一个学生仍然可能会有不同的境等外部条件相同，但每一个学生仍然可能会有不同的活动经验。所以，对学习群体来说，数学活动经验具有活动经验。所以，对学习群体来说，数学活动经验具有活动经验。所以，对学习群体来说，数学活动经验具有活动经验。所以，对学习群体来说，数学活动经验具有多样性。对学生个体而言，如果活动方式多样，获得的多样性。对学生个体而言，如果活动方式多样，获得的多样性。对学生个体而言，如果活动方式多样，获得的多样性。对学生个体而言，如果活动方式多样，获得的经验也是多样的。经验也是多样的。经验也是多样的。经验也是多样的。发展性发展性发展性发展性随着学习内容的深入，获得的活动经验会随着学习内容的深入，获得的活动经验会随着学习内容的深入，获得的活动经验会随着学习内容的深入，获得的活动经验会不断变化、不断发展。而且个体的活动经验在群体的不断变化、不断发展。而且个体的活动经验在群体的不断变化、不断发展。而且个体的活动经验在群体的不断变化、不断发展。而且个体的活动经验在群体的“经验交流经验交流经验交流经验交流”中会相互补充、相互充实，丰富、发展个体中会相互补充、相互充实，丰富、发展个体中会相互补充、相互充实，丰富、发展个体中会相互补充、相互充实，丰富、发展个体的活动经验。的活动经验。的活动经验。的活动经验。三、数学活动的基本类型三、数学活动的基本类型三、数学活动的基本类型三、数学活动的基本类型根据从事数学活动的不同模式，数学基本活动大致有以根据从事数学活动的不同模式，数学基本活动大致有以根据从事数学活动的不同模式，数学基本活动大致有以根据从事数学活动的不同模式，数学基本活动大致有以下几种类型：下几种类型：下几种类型：下几种类型：1 1、直接的数学活动。、直接的数学活动。、直接的数学活动。、直接的数学活动。小学数学知识相当一部分直接来源于日常生活现实，因小学数学知识相当一部分直接来源于日常生活现实，因小学数学知识相当一部分直接来源于日常生活现实，因小学数学知识相当一部分直接来源于日常生活现实，因此，应设计源于实际生活的数学活动，体验其中的此，应设计源于实际生活的数学活动，体验其中的此，应设计源于实际