321立体几何中的向量方法一：平行和垂直-数学选修2-1.ppt

lAP直线的方向向量直线的方向向量:直线的向量式方程 换句话说换句话说,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量。一、方向向量与法向量2、平面的法向量、平面的法向量:AlP平面平面 的向量式方程 换句话说换句话说,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量。即即oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC=1,E是是PC的中点，的中点，求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系.用向量方法解决立体问题ml（一）（一）.平行关系：平行关系：（二）、垂直关系：（二）、垂直关系：lmlABC 例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形,PD 底面底面ABCD，PD=DC=6,E是是PB的中点，的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：求证：AE/FG.例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形,PD 底面底面ABCD，PD=DC=6,E是是PB的中点，的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG 证证 ：如图所示：如图所示,建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系./几何法呢？几何法呢？例例4 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PD 底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，(1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立体立体几何法几何法ABCDP PE EXYZG解解2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EGABCDP PE EXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：设平面设平面EDB的法向量为的法向量为ABCDP PE EXYZ解解4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：解得解得 x,A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F 例例5 5 正方体正方体中，中，E、F分分别别平面平面ADE.证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以所以,E,E是是AA1 1中点，中点，例例6 6 正方体正方体平面平面C1 1BD.证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是平面平面C1 1BD.平面平面EBD