2.3矩阵级数与方阵的幂级数ljg.ppt

3.矩阵级数与方阵的幂级数矩阵级数与方阵的幂级数一、矩阵级数及其性质一、矩阵级数及其性质二、方阵的幂级数二、方阵的幂级数 定义定义 ,称称 为为矩阵矩阵级数级数.的的部分和序列部分和序列.若若 (收敛收敛),则则称级数称级数 收敛收敛,记作记作一、矩阵级数与其性质一、矩阵级数与其性质 若若 发散发散,则称则称 发散发散.为级数为级数 的和的和,记记 定理定理 收敛收敛,存在存在收敛于零矩阵收敛于零矩阵证明证明:设设收敛收敛收敛收敛存在存在.注注 收敛收敛(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)定义定义 ,若若 收敛收敛,称称 矩阵级数是矩阵级数是绝对收敛绝对收敛的的.性质性质1 ,绝对收敛绝对收敛 收敛收敛.性质性质2 方阵方阵,绝对收敛绝对收敛 对对任意方阵范数任意方阵范数 ,有有 收敛收敛.性质性质3 方阵方阵 (收敛收敛)(收敛收敛).(考考虑虑 )性质性质4 方阵方阵,绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛 (由由 及性质及性质2易知易知)1 定义定义 称为称为方阵的幂级数方阵的幂级数.二、方阵的幂级数二、方阵的幂级数 定理定理:设复数项级数设复数项级数(幂级数幂级数)的收敛的收敛半径为半径为 ,和函数和函数的谱半径为的谱半径为,则则2.方阵的幂级数的收敛性方阵的幂级数的收敛性 当当 时时,方阵幂级数方阵幂级数 发散发散;当当 时时,方阵幂级数方阵幂级数收敛于和收敛于和.复数项级数复数项级数 ,收敛半径为收敛半径为 .推论推论1若若 收敛半径为收敛半径为 ,则对任意方阵则对任意方阵 ,有有则当则当 时时,绝对收敛绝对收敛;收敛收敛.推论推论2 当当 时时,发散发散.例例 设设讨论讨论 收敛性收敛性.解解 故故 收敛收敛.的收敛半径为的收敛半径为1,