曲线曲面投影方法.ppt

第七章第七章 曲线与曲面曲线与曲面1 1）点在空间作连续变换方向的）点在空间作连续变换方向的运动轨迹运动轨迹1 1 曲线概述曲线概述 1.1 1.1 曲线的形成曲线的形成曲线的形成一般有下列三种方式：曲线的形成一般有下列三种方式：2 2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线3 3）平面与曲面或两曲面相交的交线）平面与曲面或两曲面相交的交线必须指出必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。：同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。线。1.2 1.2 曲线的分类曲线的分类1 1、按、按点的运动有无点的运动有无规律，曲线可分为规律，曲线可分为规则曲线规则曲线（如圆锥曲线、螺旋线等）和（如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线不规则曲线。2 2、按、按曲线上点的分布曲线上点的分布可分为两类：可分为两类：1 1）平平面面曲曲线线曲曲线线上上所所有有点点都都在在同同一一平平面面上上，如二次曲线、渐伸线等；如二次曲线、渐伸线等；2 2）空空间间曲曲线线 曲曲线线上上任任一一连连续续四四个个点点不不在在同同一平面上，如螺旋线等。一平面上，如螺旋线等。1.3 曲线的投影曲线的投影 一般情况下，曲线至少需要一般情况下，曲线至少需要两个投影两个投影才能确才能确定出它在空间的形状和位置。定出它在空间的形状和位置。按照曲线按照曲线形成的方法形成的方法，依次求出依次求出曲线上一曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺顺次光滑连接次光滑连接即得该曲线的投影。即得该曲线的投影。为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来、D、G均为特殊点均为特殊点B和和F为对为对H面重影点面重影点E为一般点为一般点 曲线的投影的基本性质曲线的投影的基本性质 1）曲线的投影）曲线的投影一般仍为曲线一般仍为曲线，只有当平面曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面条件下，该平面垂直于投影面垂直于投影面时，曲线投影为直线时，曲线投影为直线 2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的点与曲线的从属关系从属关系为曲线投影的为曲线投影的不变性不变性 3）代数曲线的投影，其）代数曲线的投影，其次数不变次数不变。如二次曲线。如二次曲线的投影仍为二次曲线的投影仍为二次曲线 4）曲线切线的投影仍为其投影的切线）曲线切线的投影仍为其投影的切线 圆的投影圆的投影 圆是最简单的平面曲线圆是最简单的平面曲线 根据根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其和两面正投影有如下三种情况（这里仅讨论其和两面投影）：投影）：2.1 圆所在平面为投影面平行面圆所在平面为投影面平行面 2.2 圆所在平面为投影面垂直面圆所在平面为投影面垂直面 2.3 圆所在平面为一般位置平面圆所在平面为一般位置平面 当圆所在平面为投当圆所在平面为投影面平行面时，圆在所影面平行面时，圆在所平行的投影面上的投影平行的投影面上的投影反映该圆的实形。在另反映该圆的实形。在另一投影面上的投影为直一投影面上的投影为直线，线段的长度等于圆线，线段的长度等于圆的直径的直径2.1 圆所在平面为投影面平行面圆所在平面为投影面平行面2.2 圆所在平面为投影面垂直面圆所在平面为投影面垂直面 当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。径。在另一投影面上的投影则为椭圆。2.3 圆所在平面为一般位置平面圆所在平面为一般位置平面 当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必须分别求解。须分别求解。椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影 短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影 方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线，方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线，确定长、短轴的方向与大小确定长、短轴的方向与大小 方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴 曲面概述曲面概述3.1 3.1 曲面的形成曲面的形成 曲面曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合或者说曲面是运动线所有位置的集合 如图所示曲面，如图所示曲面，是是由由AA沿着沿着曲线曲线ABC运动且在运动运动且在运动中始终平行于中始终平行于直线直线MN所形成的所形成的 AA称为母线称为母线母线形状可以是不变的，母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的也可以是不断变化的 母线在曲面上的任一位母线在曲面上的任一位置称为素线，无限接近置称为素线，无限接近的相邻两素线称为连续的相邻两素线称为连续两素线两素线 控制母线运动的点、线控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和和面称为定点、导线和导面它们统称为导元素导面它们统称为导元素 母线由导元素控制按照一定规律运动所形成母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为的曲面称为规则曲面规则曲面 母线作不规则运动所形成的曲面称为母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面不规则曲面 同一曲面可以由多种方法形成，一般应采同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用用最简单的母线最简单的母线来描述曲面的形成来描述曲面的形成 3.2 曲面的投影曲面的投影 只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为就可确定一个曲面，因为母线母线和和导元素导元素给定后，形成给定后，形成的曲面将唯一确定。的曲面将唯一确定。曲面的轮廓线曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知就是在正投影条件下，包络已知曲面的投射柱面与曲面的切线曲面的投射柱面与曲面的切线 当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合时，这些母线称为时，这些母线称为界限素线界限素线 曲面的轮廓线曲面的轮廓线对不对不同投影面各不相同。同投影面各不相同。如图所示，投射柱如图所示，投射柱面与曲面的切线面与曲面的切线T称为称为曲面对曲面对H面的面的轮廓线轮廓线，为曲面轮廓线的为曲面轮廓线的H投影。投影。3.3 曲面的分类曲面的分类 根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如：类方法。如：按按母线的形状母线的形状分类，曲面可分为分类，曲面可分为直线面直线面和和曲线面曲线面；按按母线的运动方式母线的运动方式分类，曲面可分为分类，曲面可分为移动面移动面和和回回转面转面；按按母线在运动中是否变化母线在运动中是否变化分类，曲面可分为分类，曲面可分为定母定母线面线面和和变母线面变母线面；按按母线运动是否有规律母线运动是否有规律来分类，曲面可分为来分类，曲面可分为规则规则曲面曲面和和不规则曲面不规则曲面；按按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类，分类，则可分为则可分为可展曲面可展曲面和和不可展曲面不可展曲面。44直线面直线面4.1 可展直线面可展直线面 4.1.1 柱面柱面 一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为线而形成的曲面称为柱面柱面。柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是内，所以是可展曲面可展曲面。作图时，一般应画出作图时，一般应画出导线导线和和曲面的轮廓线曲面的轮廓线，必，必要时还要画出要时还要画出若干素线若干素线及其及其曲面的曲面的H面迹线面迹线 直圆柱面直圆柱面 a a a 几种柱面 直圆柱面直圆柱面 斜圆柱面斜圆柱面 直椭圆柱面直椭圆柱面 斜椭圆柱面斜椭圆柱面 4.1.2 锥面锥面 一直母线沿曲导线一直母线沿曲导线运动且运动且始终通过一定点始终通过一定点（锥顶）而形成的曲面称（锥顶）而形成的曲面称为为锥面锥面。锥面的相邻两素线为锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线，位于过锥顶的相交直线，位于同一平面内，所以是同一平面内，所以是可展可展曲面曲面。作图时，一般只画出作图时，一般只画出锥顶锥顶、导线导线和和曲面的轮廓曲面的轮廓线线，必要时还要画出，必要时还要画出若干素线若干素线及及曲面的曲面的H面迹线面迹线 正圆锥面 s s k s k k 过锥顶作一过锥顶作一条素线。条素线。正圆锥面正圆锥面 斜圆锥面斜圆锥面 正椭圆锥面正椭圆锥面 斜椭圆锥面斜椭圆锥面 4.1.3 切线面切线面 一直母线在运动过程中一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线相始终与一空间曲导线相切切而形成的曲面称为而形成的曲面称为切线曲面切线曲面 切线曲面是切线曲面是可展直线面可展直线面 渐开线螺旋面渐开线螺旋面 在作投影图时，首在作投影图时，首先应画出其导线先应画出其导线圆圆柱螺旋线的投影（画法柱螺旋线的投影（画法详见详见），然后沿导），然后沿导线取若干点，在各点处线取若干点，在各点处作出导线的一系列切线，作出导线的一系列切线，即可求出即可求出H投影面迹线，投影面迹线，在在V面投影上应保留轮廓面投影上应保留轮廓线的投影。线的投影。4.2 不可展直线面不可展直线面 4.2.1 柱状面柱状面 一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了面平行，即形成了柱状面柱状面 柱状面是柱状面是不可展曲面不可展曲面 4.2.2 锥状面锥状面 一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了动，并始终与一导平面平行，即形成了锥状面锥状面 锥状面是锥状面是不可展曲面不可展曲面 4.2.3 双曲抛物双曲抛物 一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了与一导平面平行，即形成了双曲抛物面双曲抛物面 双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有两个导平面两个导平面。这两个导平面的交线（。这两个导平面的交线（OZ轴）即为该轴）即为该曲面的曲面的轴线轴线。若两个导平面相互垂直，则称为。若两个导平面相互垂直，则称为正双正双曲抛物面曲抛物面，否则称为，否则称为斜双曲抛物面斜双曲抛物面。双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是不可展曲面不可展曲面 正双曲抛物面正双曲抛物面斜双曲抛物面斜双曲抛物面5 回转曲面回转曲面 母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称为为回转曲面回转曲面 固定轴称为固定轴称为回转轴回转轴 在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，这些圆称为这些圆称为纬线圆纬线圆。其圆心在回转轴上，且该圆。其圆心在回转轴上，且该圆与回转轴垂直与回转轴垂直 在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的纬线圆称为纬线圆称为喉圆喉圆，比相邻两侧都大的纬线圆称为，比相邻两侧都大的纬线圆称为赤道圆赤道圆。画回转曲面的投影画回转曲面的投影图时，通常使其轴线垂图时，通常使其轴线垂直于某一投影面，以便直于某一投影面，以便简化作图简化作图 由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转曲面可以分为：曲面可以分为：直线回转面直线回转面 曲线回转面曲线回转面 组合回转面组合回转面 5.1 直线回转面直线回转面 5.1.1 圆柱面圆柱面 中介绍的直圆柱面可以认为是一直母中介绍的直圆柱面可以认为是一直母线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它是一般柱面的特殊形式。是一般柱面的特殊形式。若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成圆柱体圆柱体。圆柱面上求点圆柱面上求点 a a a 5.1.2 圆锥面圆锥面 中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线围绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一围绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一般锥面的特殊形式。般锥面的特殊形式。若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回转则形成转则形成圆锥体圆锥体。圆锥面上求点有两种方法：圆锥面上求点有两种方法：素线法素线法（介绍）介绍）纬线圆法纬线圆法 纬线圆法纬线圆法 s s (n)sn(n)5.1.3 单叶双曲回转面单叶双曲回转面 一直母线围一直母线围绕与之相错的轴绕与之相错的轴线作回转运动即线作回转运动即形成一形成一单叶双曲单叶双曲回转面回转面 单叶双曲回转单叶双曲回转面的相邻两素线为面的相邻两素线为相错直线，所以是相错直线，所以是不可展曲面不可展曲面 5.2 曲线回转面曲线回转面 曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面均为均为不可展曲面不可展曲面 5.2.1 球面球面 一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成球面球面 球面的三个投影都是圆，但三个圆却分别球面的三个投影都是圆，但三个圆却分别是三个不同界线素线的投影。球面各界线素线上是三个不同界线素线的投影。球面各界线素线上的点，应在该界线素线对应的各投影上，已知点的点，应在该界线素线对应的各投影上，已知点的一个投影，可直接求得另外两个投影。的一个投影，可直接求得另外两个投影。5.2.2 圆环面圆环面 一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转运动，即形成转运动，即形成圆环面圆环面 5.2.3 椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面 以组合线段以组合线段(包括曲线和直线包括曲线和直线)为母线，绕一轴线为母线，绕一轴线作回转运动，即形成作回转运动，即形成组合回转面组合回转面 5.3 组合回转面组合回转面 6螺旋线和螺旋面螺旋线和螺旋面 6.1 螺旋线螺旋线 6.1.1 圆柱螺旋线圆柱螺旋线 一点沿圆柱面直母线一点沿圆柱面直母线作等速直线运动，同时该作等速直线运动，同时该母线又绕圆柱面轴线作等母线又绕圆柱面轴线作等速回转运动，则该点在空速回转运动，则该点在空间的运动轨迹即为间的运动轨迹即为圆柱螺圆柱螺旋线旋线 圆柱螺旋线的三要素圆柱螺旋线的三要素 1 1：圆柱的直径：圆柱的直径 2 2：导程：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点当动点所在直母线旋转一周时，点沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程 旋向：分为旋向：分为右旋右旋、左旋左旋两种两种 右螺旋线的动点运动右螺旋线的动点运动遵循右手定则，图上（遵循右手定则，图上（a)a)可见部分右边高；可见部分右边高；左螺旋线的动点运动左螺旋线的动点运动遵循左手定则，图上遵循左手定则，图上(b)b)可见部分左边高可见部分左边高 作图步骤作图步骤 6.1.2 圆锥螺旋线圆锥螺旋线 一点沿圆锥面一点沿圆锥面直母线作等速直线直母线作等速直线运动，同时该母线运动，同时该母线又绕圆锥面轴线作又绕圆锥面轴线作等速回转运动，则等速回转运动，则该点在空间的运动该点在空间的运动轨迹即为轨迹即为圆锥螺旋圆锥螺旋线线 6.2 螺旋面螺旋面 一母线（直线或曲线）以螺旋线为导线作一母线（直线或曲线）以螺旋线为导线作一定规律的运动即可形成一定规律的运动即可形成螺旋面螺旋面 6.2.1 正螺旋面正螺旋面 一直母线沿圆柱螺旋线一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运动，且始终和螺旋线轴线运动，且始终与轴线垂直相交，即形成与轴线垂直相交，即形成正正螺旋面螺旋面 正螺旋面是锥状面正螺旋面是锥状面,为为不不可展曲面可展曲面。6.2.2 斜螺旋面斜螺旋面 一直母线沿圆一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线柱螺旋线和螺旋线轴线运动，且始终轴线运动，且始终与轴线斜交成一定与轴线斜交成一定角，即形成角，即形成斜螺旋斜螺旋面面。斜螺旋面也是斜螺旋面也是锥状面锥状面，为，为不可展不可展曲面曲面。7曲面的切平面曲面的切平面7.1 7.1 概述概述 曲面在某一点的曲面在某一点的切平面切平面就是过该点所有曲就是过该点所有曲线的切线集合线的切线集合 过曲面的切点，且垂直于切平面的直线称为过曲面的切点，且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的曲面在该点的法线法线 根据相交两直线决定一平面的几何原理可知，根据相交两直线决定一平面的几何原理可知，只要作出过一个点的两条曲线的切线，即可唯一只要作出过一个点的两条曲线的切线，即可唯一确定过该点的切平面确定过该点的切平面 曲面的切平面曲面的切平面 直线面的切平面图直线面的切平面图 圆环面的切平面圆环面的切平面 7.2 球面的切平面球面的切平面 方法一：方法一：切线法：过点切线法：过点A作作两条平面曲线（圆），两条平面曲线（圆），为方便，使其分别平为方便，使其分别平行于行于H、V投影面，并投影面，并分别作出两圆的切线，分别作出两圆的切线，则该两条切线所确定则该两条切线所确定的平面即为所求的平面即为所求 方法二：方法二：法线法：由于球法线法：由于球面上每一点的法线都面上每一点的法线都沿着半径方向，因此沿着半径方向，因此过点过点A的切平面必垂的切平面必垂直于半径。根据直角直于半径。根据直角定理，过点作水平定理，过点作水平线和正平线线和正平线垂直于半径，则垂直于半径，则该两条切线所确定的该两条切线所确定的平面即为所求平面即为所求 7.3.1 过圆锥面上一点过圆锥面上一点A作圆锥面的切平面作圆锥面的切平面 7.3 圆锥的切平面圆锥的切平面 圆锥面是直线面，其圆锥面是直线面，其切平面一定包含一条过点切平面一定包含一条过点A的直素线的直素线SA，因此只要因此只要过点过点A再在锥面上取一曲再在锥面上取一曲线（圆），并作该曲线的线（圆），并作该曲线的切线切线CA，即可得到确定即可得到确定切平面的两条直线。切平面的两条直线。由于圆锥的切平面由于圆锥的切平面必过圆锥顶点，故过点必过圆锥顶点，故过点A的切平面可由一条过的切平面可由一条过点点A及锥顶及锥顶S的直线和一的直线和一条与圆锥底圆相切的直条与圆锥底圆相切的直线所组成。过面外一点线所组成。过面外一点A可在两个方向上作圆可在两个方向上作圆锥的切平面，所以本题锥的切平面，所以本题有两个解。有两个解。7.3.2 过圆锥面外一点过圆锥面外一点A作圆锥面的切平面作圆锥面的切平面 7.4 柱面的切平面柱面的切平面 由由于于柱柱面面的的切切平平面面一一定定包包含含该该柱柱面面的的一一条条素素线线，只只要要过过点点A A再再作作一一条条切切线线即即可确定切平面。可确定切平面。作图步骤如下：作图步骤如下：1）过点）过点A取素线取素线AM交底圆交底圆于（，于（，）；）；2）过）过M作底圆的切线作底圆的切线MB，作其投影及作其投影及;3）AM与与MB所确定的平所确定的平面即为所求切平面。面即为所求切平面。由于柱面的切平面一定由于柱面的切平面一定包含柱面的一条素线，所以包含柱面的一条素线，所以切平面必包含一条平行于素切平面必包含一条平行于素线的直线，故柱面的切平面线的直线，故柱面的切平面可由过点可由过点A且平行于素线的且平行于素线的直线和一条与底圆相切的直直线和一条与底圆相切的直线确定。本题有两个解。线确定。本题有两个解。7.5 应用举例应用举例例例1 过直线过直线AB作一平面与作一平面与H面成面成角角 分析：过定点和分析：过定点和H面成面成角的平面，其轨迹是一个角的平面，其轨迹是一个与直圆锥面相切的平面族，与直圆锥面相切的平面族，该圆锥面的轴线垂直于该圆锥面的轴线垂直于H面，圆锥的底角为面，圆锥的底角为。因因此，可在直线此，可在直线AB上任取上任取一点作为圆锥的顶点，作一点作为圆锥的顶点，作一底角为一底角为的圆锥，再过的圆锥，再过直线直线AB作该圆锥面的切作该圆锥面的切平面，即为所求平面。平面，即为所求平面。1）过点（，）过点（，）作轴线垂直于作轴线垂直于H面的圆锥面的圆锥面，使圆锥底角为面，使圆锥底角为；2）求直线）求直线AB与圆锥底与圆锥底圆所在平面交点圆所在平面交点M（，）；）；3)3)过点过点M作圆锥底圆作圆锥底圆的切线的切线MD（，），则平面），则平面BAD即为所求即为所求.同理，平面同理，平面BAE为另一所求平面，本题共有两解。为另一所求平面，本题共有两解。例例2 过点过点A作一平面，使与点作一平面，使与点O的距离为的距离为R，且与且与H面成面成角角 平面平面AMD和平面和平面AME分别为所求的两分别为所求的两个解个解 在球面外先作底角在球面外先作底角为为的外切圆锥，再过的外切圆锥，再过点点A作该圆锥的切平面，作该圆锥的切平面，则此平面即为所求则此平面即为所求