空间的平行直线与异面直线.ppt
9.2空间的平行直线与异面直线空间的平行直线与异面直线 思考思考:过直线外一点，可作几条过直线外一点，可作几条直线与已知直线平行？为什么？直线与已知直线平行？为什么？c cb ba aP P过过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.1.公理公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行.即即:已知直线已知直线 且且 则则2.公理公理4 的特性的特性,通常叫做空间平行线的传递性通常叫做空间平行线的传递性 .a ab bc c等角定理等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且方向相同并且方向相同,那么这两个角相等那么这两个角相等.DEDE平移平移AABCBC定理：定理：空间中如果两个角的两边分别平空间中如果两个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补行，那么这两个角相等或互补.问题问题1：在平面几何中，两直线的位置在平面几何中，两直线的位置关系如何？关系如何？abcd异面直线异面直线 定义定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做不同在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线异面直线.特点特点:不相交也不平行不相交也不平行;异面直线直观图的画法异面直线直观图的画法两条直线异面两条直线异面:lm3.异面直线的判定异面直线的判定:连结平面内一点与平面外一点的直线连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个和这个平面内不经过此点的直线是异面直线平面内不经过此点的直线是异面直线.ABL（三）（三）空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系1.相交直线相交直线-在同一平面内有且只有一个交点在同一平面内有且只有一个交点.2.平行直线平行直线-在同一平面内没有公共点在同一平面内没有公共点.3.异面直线异面直线-不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内,没有公共点没有公共点.4.分类分类:（1）从公共点的数目看）从公共点的数目看:A.只有一个公共点只有一个公共点-相交相交;B.没有公共点没有公共点（2）从平面的基本性质看）从平面的基本性质看:A.在在同一平面内同一平面内B.不在任何一个平面内不在任何一个平面内-异面直线异面直线2.异面直线的画法异面直线的画法:Abababa问题问题1：没有公共点的直线一定平行吗？没有公共点的直线一定平行吗？问题问题2：没有公共点的两直线一定在同没有公共点的两直线一定在同 一平面内吗？一平面内吗？问题问题3 3：分别在某两个平面内的两条直 线一定是异面直线?答案答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1A1B1C1D1CBDA练习练习 如图所示：正方体的棱所在的直线如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线中，与直线A1B异面的有哪些？异面的有哪些？2.两条异面直线指：两条异面直线指：A.空间中不相交的两条直线；空间中不相交的两条直线；B.不在同一平面内的两条直线；不在同一平面内的两条直线；C.不同在任一平面内的两条直线；不同在任一平面内的两条直线；D.分别在两个不同平面内的两条直线分别在两个不同平面内的两条直线；E.空间没有公共点的两条直线空间没有公共点的两条直线；F.既不相交，又不平行的两条直线既不相交，又不平行的两条直线.()1.画两个相交平面，在这两个平面内各画画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：一条直线，使它们成为：平行直线；平行直线；相交直线；相交直线；异面直线异面直线.1.画两个相交平面，在这两个平面内各画画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：一条直线，使它们成为：平行直线；平行直线；相交直线；相交直线；异面直线异面直线.ababab填空：填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系有、空间两条不重合的直线的位置关系有_、_、_三种。三种。2、没有公共点的两条直线可能是、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是直线，也有可能是 _直线。直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有有_。4、过已知直线上一点可以作、过已知直线上一点可以作_条直线与已知直线垂直。条直线与已知直线垂直。5、过已知直线外一点可以作、过已知直线外一点可以作_条直线与已知直线垂直。条直线与已知直线垂直。平行平行相交相交异面异面平行平行异面异面无数无数无数无数相交、异面相交、异面1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。()2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。、空间两条不相交的直线一定是异面直线。()3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。、垂直于同一条直线的两条直线必平行。()4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。与另一条直线垂直。()判断对错：判断对错：1、平行关系的传递性、平行关系的传递性例例2 已知已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的是四个顶点不在同一个平面内的空间四边空间四边形形，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点，连的中点，连结结EF，FG，GH，HE，求证求证EFGH是是一个平行四边形。一个平行四边形。解题思想：解题思想：EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH=BD同理，同理，FG BD且且FG=BDEH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题解立体几何时最主要、最常用的一种方法。解立体几何时最主要、最常用的一种方法。AB DEFGHC1.空间四边形空间四边形(1)概念概念:顺次连接不共面的四点顺次连接不共面的四点A、B、C、D，所，所(2)组成的四边形。组成的四边形。(2)空间四边形的对角线：空间四边形的对角线：AC、BD.ACDBHGFEDCBA1.已知已知 E、F、G、H 分别是空间四边形四条边分别是空间四边形四条边 AB、2.BC、CD、DA的中点，的中点，3.求证：求证：四边形四边形 EFGH 是平行四边形是平行四边形.HGFEDCBA三、两条异面直线所成的角三、两条异面直线所成的角如图所示，如图所示，a，b是两条是两条异面直线，异面直线，在空间中任选一点在空间中任选一点O，过过O点分别作点分别作 a，b的平行线的平行线 a和和 b，abPabO 则这两条线所成则这两条线所成的锐角的锐角（或直角），或直角），称为称为异面直线异面直线a，b所成的角所成的角。？任选任选Oa若两条异面直线所成角为若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。，则称它们互相垂直。异面直线异面直线a与与b垂直也记作垂直也记作ab异面直线所成角异面直线所成角的取值范围：的取值范围：平平移移例例 3 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中指出下列各对线段所中指出下列各对线段所成的角：成的角：练习：练习：1、求直线、求直线AD1与与B1C所成的夹角；所成的夹角；2、与直线、与直线BB1垂直的棱有多少条？垂直的棱有多少条？1）AB与与CC1；2）A1 B1与与AC；3）A1B与与D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB与CC1所成的角=9 02）A1 B1与AC所成的角=4 53）A1B与D1B1所成的角=6 02）与棱）与棱BB1垂直的棱有：垂直的棱有：ABCDA1B1C1D1AD、A1D1、DC、D1C1、A1B1、AB、B1C1、BC、相交：相交：异异面：面：垂直垂直相交垂直相交垂直异面异面垂直垂直B1CC1ABDA1D11）直线）直线AD1与与B1C所成的夹角所成的夹角9 0一一.习题课习题课（一）复习提问：一）复习提问：1.什么是异面直线什么是异面直线?2.异面直线所成的角是如何定义的异面直线所成的角是如何定义的?范围是多少范围是多少?不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.范围范围:bBabaO4.如何判定两直线是异面直线如何判定两直线是异面直线?连结平面内一点与平面外一点的直线连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个和这个平面内不经过此点的直线是异面直线平面内不经过此点的直线是异面直线.ABL4.异面直线所成的角异面直线所成的角:定义定义:已知异面直线已知异面直线 a、b，经过空间任一点，经过空间任一点 O 作直作直线线 a/a,b/b ,我们把我们把 a与与 b所成的锐角所成的锐角,叫做异叫做异面直线面直线 a 与与 b 所成的所成的角角(或夹角或夹角).bBabaO有关问题有关问题:(1)范围范围(2)与与O的位置无关的位置无关;(3)为了方便点为了方便点O取在下班取在下班a 或或 b 上上.5.两条直线互相垂直两条直线互相垂直:如果两条异面直线所成的角是直如果两条异面直线所成的角是直角角,那么就说两条直线互相垂直那么就说两条直线互相垂直.bca特点特点:相交或异面相交或异面.(四四).例题例题图表示正方体图表示正方体(1)那些棱所在直线与直线那些棱所在直线与直线BA是异面直线是异面直线;(2)求直线求直线BA和和CC的夹角的度数的夹角的度数;(3)那些棱所在直线与直线那些棱所在直线与直线AA垂直垂直.(二二)例题例题1.在空间四边形在空间四边形ABCD中中,各边长及对角线长都是各边长及对角线长都是 ,点点 E 是是 BD 的中点的中点,点点 F 是是AC 的中点的中点,试画出试画出 AE 与与 BC 所成的角所成的角,AE 与与 BF 所成的角所成的角2.如图棱长为如图棱长为 正方体中正方体中(1)写出与写出与 成异面直线的各棱所在直线成异面直线的各棱所在直线;(2)求求 与与 所成的角所成的角;(3)求求 与与 所成角的余弦所成角的余弦.
