人教新版九年级上22.3实际问题与一元二次方程(2).ppt
面积、体积问题面积、体积问题点击页面即可演示复习：复习：列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤?对于这些步骤对于这些步骤,应通过解各种类型的问题应通过解各种类型的问题,才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题.上一节上一节,我们学习了解决我们学习了解决“平均平均增长增长(下下降降)率问题率问题”,现在现在,我们要学习解决我们要学习解决“面积、面积、体积问题体积问题”.复习引入复习引入 1.直角三角形的面积公式是什么？直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么？2.正方形的面积公式是什么？正方形的面积公式是什么？长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？3.梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？4.菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？5.平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？6.圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一分之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应应如何设计四周边衬的宽度如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后结果保留小数点后一位一位)?27cm21cm分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9 7,依题知正中央的矩形两边之比也依题知正中央的矩形两边之比也为为9 7.探究探究3 3解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm.依题意得：依题意得：解得解得:故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm,左右边衬宽为左右边衬宽为 7xcm,依题意得依题意得解方程得解方程得(以下同学们自己完成以下同学们自己完成)方程的哪个根合方程的哪个根合乎实际意义乎实际意义?为什么为什么?例例1.1.学校为了美化校园环境学校为了美化校园环境,在一块长在一块长4040米、宽米、宽2020米的长方形空地上计划新建一块长米的长方形空地上计划新建一块长9 9米、宽米、宽7 7米米的长方形花圃的长方形花圃.(1)(1)若要在这块空地上设计一个长方形花圃若要在这块空地上设计一个长方形花圃,使它使它 的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积 多多1 1平方米平方米,请你给出你认为合适的三种不同请你给出你认为合适的三种不同 的方案的方案;(2)(2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情 况下况下,长方形花圃的面积能否增加长方形花圃的面积能否增加2 2平方米平方米?如如 果能果能,请求出长方形花圃的长和宽请求出长方形花圃的长和宽;如果不能如果不能,请说明理由请说明理由.解解:(1)方案方案1:长为长为 米米,宽为宽为7米米;方案方案2:长为长为16米米,宽为宽为4米米;方案方案3:长长=宽宽=8米米;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种(2)在长方形花圃周长不变的情况下在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃面长方形花圃面积积 不能增加不能增加2平方米平方米.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为16米米.设长方形花圃设长方形花圃的长为的长为x米米,则宽为则宽为(16-x)米米.x(16-x)=63+2,x2-16x+65=0，此方程无解此方程无解.在周长不变的情况下在周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增长方形花圃的面积不能增 加加2平方米平方米.用用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形,若能够若能够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明理由请说明理由.练习练习:解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,即即x2-10 x+30=0这里这里a=1,b=-10,c=30,此方程无解此方程无解.用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的的 矩形矩形.例例2.2.某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条相同宽度的道米的长方形场地上修筑若干条相同宽度的道路路,余下部分作草坪余下部分作草坪,使草坪的使草坪的面积面积为为540540平方米平方米.并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计现在有两位学生各设计了一种方案了一种方案(如图如图),根据两种设计方案各列出方根据两种设计方案各列出方程程,求图中道路的宽分别是多少求图中道路的宽分别是多少?(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图如图,设道路的宽为设道路的宽为x米米,则则化简得化简得,其中的其中的x=25=25超出了原矩形的宽超出了原矩形的宽,应舍去应舍去.图图(1)(1)中中道路的宽为道路的宽为1 1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ,分析分析:此题的相等关系是矩形此题的相等关系是矩形 面积减去道路面积等于面积减去道路面积等于 540540平方米平方米.解法一解法一:如图如图,设道路的宽为设道路的宽为x米米,32x平方米平方米纵向的路面面积为纵向的路面面积为 .20 x平方米平方米注意注意:这两个面积的重叠部分是这两个面积的重叠部分是x2 2平方米平方米.所列的方程是不是所列的方程是不是？图中的道路面积不是图中的道路面积不是平方米平方米.再来看图再来看图(2)(2)(2)而是从其中减去重叠部分而是从其中减去重叠部分,即应是即应是平方米平方米所以正确的方程是：所以正确的方程是：化简得化简得,其中的其中的x=50=50超出了原矩形的长和宽超出了原矩形的长和宽,应舍去应舍去.答答:所求道路的宽为所求道路的宽为2 2米米.解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动图形经过移动,它的面积大小它的面积大小不会改变不会改变”的道理的道理,把纵、横两条路移动一下把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些使列方程容易些 (目的是求出路面的宽目的是求出路面的宽,至于至于实际施工实际施工,仍按原图的位置仍按原图的位置).).(2)如图如图,设路宽为设路宽为x米米,矩形草坪的长矩形草坪的长(横向横向)为为 ,矩形草坪的宽矩形草坪的宽(纵向纵向).相等关系是相等关系是:草坪长草坪长草坪宽草坪宽=540=540平方米平方米(20-(20-x)米米(32-(32-x)米米即即化简得：化简得：其中的其中的x=50=50超出了原矩形的长和宽超出了原矩形的长和宽,应舍去应舍去.答答:所求道路的宽为所求道路的宽为2 2米米.练习：练习：1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解:设道路宽为设道路宽为x米，米，则则化简得化简得,其中的其中的x=35超出了原矩形的宽超出了原矩形的宽,应舍去应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.练习：练习：2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围四周外围环绕着宽度相等的小路环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解:设小路宽为设小路宽为x米米,则则化简得化简得:答答:小路的宽为小路的宽为3 3米米.例例3.3.如图如图,有长为有长为2424米的篱笆米的篱笆,一面利用墙一面利用墙(墙的最墙的最大可用长度大可用长度a为为1010米米),),围成中间隔有一道篱笆的长围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃方形花圃.设花圃的宽设花圃的宽AB为为x米米,面积为面积为S平方米平方米.(1)(1)求求S与与x的函数关系式的函数关系式;(2)(2)如果要围成面积为如果要围成面积为4545平方米的花圃平方米的花圃,AB的的 长是多少米？长是多少米？解解:(1):(1)宽宽AB为为x米米,则则BC为为(24-3(24-3x)米米,这时面积为这时面积为 S=x(24-3(24-3x)=-3)=-3x2 2+24+24x;(2)(2)由条件由条件-3-3x2 2+24+24x=45,=45,化为化为:x2 2-8-8x+15=0+15=0 解得解得x1 1=5,=5,x2 2=3.=3.0 024-324-3x1010得得 x8 8 x2 2不合题意不合题意,AB=5,即花圃的宽即花圃的宽AB为为5 5米米.练习：练习：如图如图,用长为用长为18m的篱笆的篱笆(虚线部分虚线部分),两面两面靠墙围成矩形的苗圃靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计应该怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则化简得化简得,答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9 9米的正方形米的正方形.这里要特别注意:在列一元二次方程解应在列一元二次方程解应用题时用题时,由于所得的根一般有两个由于所得的根一般有两个,所以要检所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求验这两个根是否符合实际问题的要求.列一元二次方程解应用题的步骤与列一列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似元一次方程解应用题的步骤类似,即审、设、即审、设、列、解、检、答列、解、检、答小结小结
