11动量矩定理.ppt

第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理第一节第一节 动量矩的概念动量矩的概念第二节第二节 转动惯量转动惯量第三节第三节 动量矩定理动量矩定理第四节第四节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程第五节第五节 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理第六节第六节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本章重点本章重点1.转动惯量的计算转动惯量的计算2.动量矩守衡动量矩守衡3.刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程4.刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程1 1第一节第一节 动量矩的概念动量矩的概念一、质点的动量矩一、质点的动量矩动量动量mv 对固定点对固定点O的动量矩的动量矩为为:动量矩动量矩:物体机械运动强度的度量。物体机械运动强度的度量。质量为质量为m的质点，的质点，t时刻速度为时刻速度为v，动量矩的量纲为：动量矩的量纲为：dim L=ML2T1国际单位制中，动量矩的单位为：国际单位制中，动量矩的单位为：2 2kgm2s三、刚体的动量矩三、刚体的动量矩1 1、刚体平动刚体平动2 2、刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动Jz 称为称为刚刚体体对对于于z轴的转动惯量。轴的转动惯量。3 3质点系动量对质点系动量对固定点固定点O的动量矩的动量矩:质质点系点系对对固定固定轴轴z的的动动量矩量矩:二、质点系的动量矩二、质点系的动量矩3、刚体平面运动、刚体平面运动 平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，平面图形平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，平面图形对垂直于运动平面的固定轴的动量矩：对垂直于运动平面的固定轴的动量矩：C vC一、一、转动惯转动惯量的定量的定义义 刚体对某轴刚体对某轴z的转动惯量的转动惯量Jz等于刚体内各质点等于刚体内各质点的质量与该质点到轴的质量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和。的距离平方的乘积之和。质质量量连续连续分布分布时时:4 4第二节第二节 转动惯量转动惯量mi z二、回转半径二、回转半径 三、三、平行平行轴轴定理定理ClABxdxz1z 均质细长杆长为均质细长杆长为l，质量为质量为m。试求试求(1)杆件对于过质心杆件对于过质心C且与杆的轴线相且与杆的轴线相垂直的垂直的z轴的转动惯量轴的转动惯量；(2)杆件对于过杆端杆件对于过杆端A且与且与z轴平行的轴平行的z1轴的转动惯量；轴的转动惯量；(3)杆件对于杆件对于z轴和轴和z1轴的回转半径。轴的回转半径。解：杆的线密度解：杆的线密度 1.1.对对z轴的转动惯量轴的转动惯量取微段取微段dx，其其质质量量为为 2.2.对对z1轴的转动惯量轴的转动惯量5 53.3.杆件对于杆件对于z轴和轴和z1轴的回转半径。轴的回转半径。半径为半径为R，质量为质量为m的均质薄圆盘，试求的均质薄圆盘，试求圆盘对于过中心圆盘对于过中心O且与圆且与圆盘平面相垂直的盘平面相垂直的z轴的转动惯量。轴的转动惯量。解解:圆盘圆盘的面密度的面密度为为取圆盘上一半径为取圆盘上一半径为r，宽度为宽度为dr的细圆环的细圆环回转半径回转半径6 6 冲击摆冲击摆摆杆长摆杆长l，质量为质量为m1，摆盘摆盘质量为质量为m2，半径为半径为R，试求摆对于转轴的转动惯量。试求摆对于转轴的转动惯量。解：解：设摆设摆杆和杆和摆盘对轴摆盘对轴的的转动惯转动惯量量为为J1、J2 7 7O 半径半径为为R，质质量量为为m的均的均质圆盘质圆盘，在离，在离圆圆心心R/3处处挖去一半径挖去一半径为为 r=R/3的的圆圆，试试求其求其对对于通于通过过A的的轴轴的的转动惯转动惯量。量。解：解：半径为半径为R，质量为，质量为m的均质圆盘的均质圆盘对轴对轴A的的转动惯转动惯量量为为 8 8设挖去的圆盘的质量为设挖去的圆盘的质量为m2对轴对轴A的转动惯量为的转动惯量为1、质点动量矩定理、质点动量矩定理质质点点对对固定点固定点O的的动动量矩量矩对时间对时间求一求一阶导阶导数数 根据根据质质点的点的动动量定理量定理 得得 9 9第三节第三节 动量矩定理动量矩定理将矢量式向将矢量式向过过O点的固定点的固定轴轴投影：投影：注意：点注意：点O为为固定点，固定点，v为绝对为绝对速度。速度。二、质点系动量矩定理二、质点系动量矩定理 设质设质点系由点系由n个个质质点点组组成，取其中第成，取其中第i个个质质点来考察，将作用于点来考察，将作用于该该质质点上点上的力分的力分为为内力内力Fii和外力和外力Fie:根据根据质质点的点的动动量矩定理量矩定理:i=1，2，3，n求和求和:交交换换求和及求求和及求导导的次序的次序:1010直角坐直角坐标轴标轴投影投影式式:注意：注意：1 1、力矩中包含力偶矩；力矩中包含力偶矩；2、内力不影响质点系的动量矩。、内力不影响质点系的动量矩。三、动量矩守恒三、动量矩守恒1 1、质点动量矩守恒质点动量矩守恒r、v组组成的平面的方位不成的平面的方位不变变。（1 1）F过过点点O，称称为为有心力，有心力，Mo(F)=0Mo(mv)=常矢量常矢量1111（2 2）Mz(F)=0,F F和和轴轴z z共面，共面，Mz(mv)常量常量2 2、质质点系的点系的动动量矩守恒量矩守恒（2 2）Mz(Fe)=0,Lz常量常量（1 1）Mo(Fe)=0,Lz常矢量常矢量 均质均质鼓鼓轮轮重重W，半径半径为为R，通通过绳过绳子子悬悬挂一重挂一重W1的物体。的物体。在鼓轮在鼓轮上作用一力偶上作用一力偶M，试求重物上升的加速度。，试求重物上升的加速度。MWW1va解得：解得：解：系统为研究对象，解：系统为研究对象，动量矩定理动量矩定理1212 离离心心调调速速器器的的水水平平杆杆AB长长为为2a，可可绕绕铅铅垂垂轴轴z转转动动，其其两两端端各各用用铰铰链链与与长长为为l的的杆杆AC及及BD相相连连，杆杆端端各各联联接接重重为为W的的小小球球C和和D。起起初初两两小小球球用用细细线线相相连连，使使杆杆AC与与BD均均为为铅铅垂垂，系系统统绕绕z轴轴的的角角速速度度为为 0 0。如如某某瞬瞬时时此此细细线线拉拉断断后后，杆杆AC与与BD各各与与铅铅垂垂线线成成 角角。不计各杆重量，求此时系统的角速度。不计各杆重量，求此时系统的角速度。1313解解:系统为研究对象。系统为研究对象。系统对系统对z轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒1414WW绕绕定定轴转动刚轴转动刚体体对对z轴轴的的动动量矩量矩为为：1515第四节第四节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程注意：注意：2 2、转动惯量是刚体转动时惯性的度量。转动惯量是刚体转动时惯性的度量。3 3、a a、w w、MZ(F)符号的符号的规规定定应应一致。一致。4 4、刚体定轴转动微分方程适用于单个绕定轴转动刚体。刚体定轴转动微分方程适用于单个绕定轴转动刚体。1 1、刚体定轴转动微分方程是标量方程，只可解一个未知数。刚体定轴转动微分方程是标量方程，只可解一个未知数。动量矩定理：动量矩定理：刚体定轴转动微分方程：刚体定轴转动微分方程：或写成：或写成：复复摆摆的的质质量量为为m，质质心心为为C，摆对悬摆对悬点的点的转动惯转动惯量量为为JO。求复求复摆摆微幅微幅摆动摆动的周期的周期T。解：取复摆为研究对象。解：取复摆为研究对象。复摆微幅摆动时，有复摆微幅摆动时，有定轴转动微分方程定轴转动微分方程1616讨论：讨论：1.1.此微分方程的解此微分方程的解为为：2.2.测出零部件的摆动周期后，可计算出它的转动惯量。测出零部件的摆动周期后，可计算出它的转动惯量。齿轮传动系统，啮合处两齿轮的半径分别为齿轮传动系统，啮合处两齿轮的半径分别为R1=0.2m和和R2=0.4m，对轴对轴I I、IIII的转动惯量分别的转动惯量分别为为J1=10kg.m2,J2=8kg.m2,轴轴I I上作用有主动上作用有主动力矩力矩M1=20kN.m,轴轴IIII上有阻力矩上有阻力矩M2=4kN.m,转向如图所示。设各处的转向如图所示。设各处的摩擦忽略不计，试求轴摩擦忽略不计，试求轴I I的角加速度及两轮间的切向压力的角加速度及两轮间的切向压力Ft。M2M1R1R2J1J2III1717解：轮解：轮、为研究对象为研究对象。定轴转动微分方程定轴转动微分方程 M1F1xF1yW1FtFra a1M2FrFtF2xF2yW2a a21818联立求解得：联立求解得：M2M1R1R2J1J2III 均均质质杆杆OA长长l，质质量量为为m，其，其O端用端用铰链铰链支承，支承，A端用端用细绳悬细绳悬挂。挂。试试求将求将细绳细绳突然剪断瞬突然剪断瞬时时，铰链铰链O的的约约束反力。束反力。解：解：取杆取杆为为研究研究对对象。象。在该瞬时，角速度在该瞬时，角速度w w=0，角加速度，角加速度a a 01919（一）角加速度（一）角加速度（二）（二）反力反力 刚刚体的平面运体的平面运动动可分解可分解为为随随质质心的平心的平动动和和绕质绕质心的心的转动转动。刚刚体体相相对于质心的动量矩为：对于质心的动量矩为：刚刚体的平面运体的平面运动动可用可用质质心运心运动动定理和相定理和相对对于于质质心的心的动动量矩定理：量矩定理：质心运动定理质心运动定理向向x,y轴轴投影。投影。刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程：2020第六节第六节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 半径为半径为r、质量为质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动。设的均质圆轮沿水平直线纯滚动。设轮的回转轮的回转半径为半径为r rc，作用于圆轮上的力偶矩为作用于圆轮上的力偶矩为M，圆轮与地面圆轮与地面静摩擦因数为静摩擦因数为f。求（求（1 1）轮心的加速度；（）轮心的加速度；（2 2）地面对圆轮的约束力；（）地面对圆轮的约束力；（3 3）使圆轮只）使圆轮只滚不滑的力偶矩滚不滑的力偶矩M的大小。的大小。CMr2121纯滚动纯滚动条件下，有条件下，有解得解得2222平面运动微分方程平面运动微分方程解：解：圆轮为圆轮为研究研究对对象象.CMrWaCFNFa a圆轮只滚不滑的条件为圆轮只滚不滑的条件为 即即也也可用相可用相对对于瞬心于瞬心A的的动动量矩定理求量矩定理求aCA 均质细杆均质细杆AB，长，长l，重，重W，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下。求杆计摩擦。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下。求杆在任意位置的角加速度，角速度。在任意位置的角加速度，角速度。2323解：取杆解：取杆ABAB为研究对象，平面运动微分方程为研究对象，平面运动微分方程24242525 均质直杆均质直杆AB长长l，质量为质量为m，静止于光滑静止于光滑水平面上如图所示。若突然把绳水平面上如图所示。若突然把绳 OA 剪断，求剪断，求此瞬时点此瞬时点 B 的加速度和杆的加速度和杆AB的角加速度。的角加速度。ABO ABO mgFN AB杆运动分析杆运动分析平面运平面运动动微分方程：微分方程：解：解：杆杆为为研究研究对对象；象；杆作平面运动；杆作平面运动；剪断绳剪断绳 OA 的瞬时，角速度为零。的瞬时，角速度为零。x轴投影：轴投影：y轴投影：轴投影：aCa aABO a BCaCaByxaCa a2626 质量为质量为m长为长为l 的均质杆的均质杆AB用等长的细绳悬用等长的细绳悬挂静止如图所示挂静止如图所示.若突然把绳若突然把绳O2B剪断剪断,求此瞬时绳求此瞬时绳O1A的拉力的拉力T为多少为多少.O1O2ABC得得:对杆进行运动分析：对杆进行运动分析：把上式向把上式向y轴投影得轴投影得:平面运平面运动动微分方程。微分方程。解：解：杆杆为为研究研究对对象；象；杆作平面运杆作平面运动动；剪断剪断绳绳 O2B 的瞬的瞬时时，角速度，角速度为为零。零。O1O2ABCFTmga aaCyaAaAO1O2ABCaCa aa CA一、转动惯量一、转动惯量1.1.转动惯量定义式转动惯量定义式2.2.连续物体的转动惯量连续物体的转动惯量3.3.求转动惯量的平行轴定理求转动惯量的平行轴定理1.1.质点对固定点的动量矩质点对固定点的动量矩二、二、动动量矩量矩2.2.质点系对固定点的动量矩质点系对固定点的动量矩2727小小 结结3.3.刚体的动量矩刚体的动量矩(1)(1)刚体平动刚体平动(2)(2)刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动(3)(3)刚体平面运动刚体平面运动三、三、动量矩定理动量矩定理1.1.质点动量矩定理质点动量矩定理2.2.质点系动量矩定理质点系动量矩定理28283.3.质点系动量矩定理的投影形式质点系动量矩定理的投影形式4.4.动量矩守恒动量矩守恒（1 1）质点动量矩守恒）质点动量矩守恒（2 2）质质点系的点系的动动量矩守恒量矩守恒四、四、刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程五、刚体平面运动微分方程五、刚体平面运动微分方程292911-3(c),6(b),11,17,21