概率论习题解答4.ppt
习习 题题 课课 随机变量的数字特征随机变量的数字特征一一、内容小结内容小结二、二、例题分析例题分析三、三、补充练习补充练习一、内容小结一、内容小结 1.随机变量的数字特征的意义随机变量的数字特征的意义随机变量的数字特征的意义随机变量的数字特征的意义分布函数分布函数 密度函数密度函数 数学期望数学期望 描述了随机变量描述了随机变量的平均的平均取值取值均值均值详细详细地描述了随机变量的概率分布情况地描述了随机变量的概率分布情况相关系数相关系数 描述了描述了X X与与Y Y的的线性相关线性相关程度程度方方 差差 描述了随机变量的取值与期望的描述了随机变量的取值与期望的偏离程度偏离程度协方差：协方差：刻画两随机变量之间的关系刻画两随机变量之间的关系 方差方差 D(X)协方差协方差 Cov(X,Y)Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)D(X)=EX-E(X)2 D(X)=E(X2)-E2(X)相关系数相关系数 XY 数学期望数学期望 E(X)函数函数Y=H(X)连续型连续型离散型离散型在定义式中用在定义式中用H(x)代替代替x 2.常用的数字特征的定义式与计算式常用的数字特征的定义式与计算式常用的数字特征的定义式与计算式常用的数字特征的定义式与计算式 E(X2)=D(X)+E2(X)计算期望的六个公式：计算期望的六个公式：计算期望的六个公式：计算期望的六个公式：3.常用的数字特征的性质常用的数字特征的性质常用的数字特征的性质常用的数字特征的性质数学期望数学期望 E(aX+b)=aE(X)+b E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)X,Y相互独立相互独立方差方差 D(aX+c)=a2D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)X,Y相互独立相互独立相关系数相关系数 X与与Y相互独立相互独立？Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)有有特殊特殊情况情况独立性与数字特征关系图独立性与数字特征关系图 4.几个常用的分布的数字特征几个常用的分布的数字特征几个常用的分布的数字特征几个常用的分布的数字特征分布分布(0-1)分布分布二项二项分布分布泊松分布泊松分布指数分布指数分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布分布律或概率密度函数分布律或概率密度函数期望期望方差方差ppq npnpq5.其它其它其它其它 契比雪夫不等式契比雪夫不等式设设 X Xn n 为相互独立的随机变量序列，为相互独立的随机变量序列，E(XE(Xi i)存在存在,D(XD(Xi i)M)M，(i=1(i=1，2 2，则对则对 00，有，有契比雪夫契比雪夫(大数定律大数定律)定理定理独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理设设X X1 1,X,X2 2,X Xn n,独立同分布，独立同分布，E E（X Xn n）=，DD（X Xn n）=2 200，则则例例1 1 P P9898T T2 2 将将3 3只球随机地逐个放入只球随机地逐个放入4 4只编号为只编号为1,2,3,41,2,3,4的盒子中的盒子中,以以X X表表 示至少有一只球的盒子的最小号码示至少有一只球的盒子的最小号码,试求试求E(X)E(X)。x xk k=1,2,3,4,=1,2,3,4,关键是求关键是求p pk k，样本点的总个数为样本点的总个数为4 43 3=64=64用对立事件计算用对立事件计算:k=4k=4时时,p,p4 4=1/64 =1/64 分析分析:离散型离散型,用公式用公式直接计算直接计算1 2 3 41 2 3 4k=1k=1时时,p,p1 1=(4=(43 3-3-33 3)/64=37/64)/64=37/64k=3k=3时时,p,p3 3=(2=(23 3-1)/64=7/64-1)/64=7/64k=2k=2时时,p,p2 2=(3=(33 3-2-23 3)/64=19/64)/64=19/641 2 3 41 2 3 41 2 3 4二、例题分析二、例题分析例例2 2 P P9999T8T8 将将n n只球只球(1(1 n n)随机地放进随机地放进n n只盒子中去只盒子中去,一只盒子只能装一一只盒子只能装一 只球。若一只球装入与球同号的盒子中去只球。若一只球装入与球同号的盒子中去,则称为一个配对则称为一个配对.记记X X为总的配对数为总的配对数,求求E(X).E(X).则有则有利用性质利用性质E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(X+Y)=E(X)+E(Y),关键是把关键是把X X写成某些随机变量的和的写成某些随机变量的和的形式，形式，若记若记 分析分析:1 2 3 4 5 n-2 nX的取值为的取值为:0,1,2,，n。用求用求分布律的方法十分困难分布律的方法十分困难Xi 0 1E(XE(Xi i)=1)=1(1/n)=1/n(1/n)=1/n所以所以 E(X)=n E(X)=n E(XE(Xi i)=1)=1 这是一个典型的离散型的分这是一个典型的离散型的分布求数学期望的问题。布求数学期望的问题。例例3 3 设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为求求Y=1/XY=1/X2 2的数学期望和方差。的数学期望和方差。解解:这样这样,Y,Y的数学期望存在但方差不存在的数学期望存在但方差不存在发散发散例例4 4P P9999T T1212设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y)X,Y)具有概率密度具有概率密度（2）求）求 Cov(X,Y)解解解解：（1 1 1 1）先求先求f fX X(x),f(x),fY Y(y(y)求（求（1）X与与Y是否相互独立。是否相互独立。X与与Y不相互独立。不相互独立。没有必要没有必要计算计算 Cov(XY)=0例例5 已知随机变量已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,并且并且X和和Y分别服从分别服从正态分布正态分布N(1,32)和和N(0,42),X与与Y的相关系数为的相关系数为-1/2,设设Z=X/3+Y/2(1)求求Z的数学期望的数学期望E(Z)和方差和方差D(Z);(2)求求X与与Z的相关系数的相关系数.解解:(1)E(Z)=E(X)/3+E(Y)/2=1/3.注意到注意到 D(X)=9,D(Y)=16,而而 本题难点在于本题难点在于熟练掌握计算性质熟练掌握计算性质.1 1、设随机变量设随机变量X与与Y独立独立,且且X服从数学期望为服从数学期望为1,标准差标准差(均方均方差差)为为 的正态分布的正态分布,而而Y服从标准正态分布服从标准正态分布,试求随机试求随机 变量变量 Z=2X-Y+3的概率密度函数的概率密度函数.解解:由于由于Z为独立正态随机变量为独立正态随机变量X与与Y的线性组合的线性组合,Z仍然服从仍然服从 正态分布正态分布,故只需确定故只需确定Z的数学期望的数学期望E(Z)和方差和方差D(Z).由期望和方差的性质由期望和方差的性质:所以所以Z服从正态分布服从正态分布N(5,9),从而得从而得Z的概率密度函数为的概率密度函数为:三、补充练习三、补充练习P100 20、某个单位设置一个电话总机，共有某个单位设置一个电话总机，共有200个分机。设每个个分机。设每个分机有分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立。问总机要多少外线才能以通话是相互独立。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个的概率保证每个分机要使用外线通话时可供使用。分机要使用外线通话时可供使用。查表得查表得分析分析分析分析：设设X 表示同时要求使用外线的分机数，表示同时要求使用外线的分机数，由隶莫佛由隶莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理:E(X)=np=10,D(X)=np(1-p)=9.5 m 为总机需配备外线条数，为总机需配备外线条数，而而 X B(200,0.05)求使求使 PX m 0.9成立的最小成立的最小m故总机需配备故总机需配备14条条外线外线
