1 n维欧氏空间中的点集.ppt

N维欧氏空间点集的初步知识度量空间与n维欧氏空间度量空间中的各类点集2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系n本章将研究一种特殊的集合空间中的点集。n所谓空间，是一类具有某种结构的集合，往往成为数学研究的载体和对象。n分析学科所关心的空间的结构包括度量、范数、开集、闭集等。n本章的主要内容为度量空间，特别是n维欧氏空间中的各类点集，这将为我们研究新的积分奠定基础。2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系1.度量空间与n维欧氏空间度量，也称距离，是空间理论的基本概念，下面给出它的定义：度量，也称距离，是空间理论的基本概念，下面给出它的定义：定义：定义：设设X是一个集合，若对于是一个集合，若对于X中任意两个元素中任意两个元素x,y，都有唯一确定的实都有唯一确定的实数数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足：与之对应，而且这一对应关系满足：（1）正定性：）正定性：（2）三点不等式：）三点不等式：称称d(x,y)是是x,y之间的之间的距离距离，称，称(X,d)为为度量空间度量空间或或距离空间距离空间。由性质由性质(2)立刻可以得到度量的立刻可以得到度量的对称性对称性，即，即d(x,y)=d(y,x).若若(X,d)为度量空间，为度量空间，Y是是X的一个非空子集，则的一个非空子集，则(Y,d)也是一个度量空间，也是一个度量空间，称为称为(X,d)的的子空间子空间。例例1 欧氏空间欧氏空间例例2 连续函数空间连续函数空间2007年8月3南京航空航天大学 理学院 数学系度量空间中点集的一些基本概念度量空间中点集的一些基本概念邻域邻域定义定义(邻域邻域)：距离空间距离空间(X,d)中所有和定点中所有和定点的距离小于定数的距离小于定数全体，即集合全体，即集合称为点称为点 的的邻域，邻域，记作记作显然，在显然，在分别是以分别是以 为中心以为为中心以为 半径的开区间、半径的开区间、开圆和开球。开圆和开球。邻域具有如下的基本性质：邻域具有如下的基本性质：的点的的点的(1)(2)对于对于P的两个邻域的两个邻域存在邻域存在邻域(3)对于对于存在存在Q的邻域的邻域(4)对于对于存在存在P和和Q的邻域的邻域使得使得2007年8月4南京航空航天大学 理学院 数学系点列的极限点列的极限(I)式定义式定义：为度量空间为度量空间(X,d)中一点列，若对于任意的中一点列，若对于任意的存在自然数存在自然数N，使得使得nN时有时有则称该点列收敛于则称该点列收敛于记作记作(II)邻域式定义邻域式定义：若对于若对于的任意邻域的任意邻域存在存在N，使，使nN时有时有则称该点列收敛于则称该点列收敛于性质：性质：1.点列的极限是唯一的；点列的极限是唯一的；2.N维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛；维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛；3.点列的收敛满足线性；点列的收敛满足线性；4.N维欧氏空间中的收敛点列等价于维欧氏空间中的收敛点列等价于Cauchy点列点列2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系点集的直径点集的直径：一个非空点集一个非空点集E的的直径定义为直径定义为有界点集有界点集：一个非空点集一个非空点集E称为有界集合，若称为有界集合，若直径及有界点集直径及有界点集点集的距离点集的距离两个非空点集两个非空点集A,B的的距离定义为距离定义为注注：若：若A=P*，即，即A为单点集，则可记为单点集，则可记注注.收敛点列必为有界点集，收敛点列必为有界点集，n n维欧氏空间的有界点列必有收敛子列维欧氏空间的有界点列必有收敛子列2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系度量空间中点集的一些基本概念度量空间中点集的一些基本概念区间区间定义：定义：中的点集中的点集称为一个称为一个开区间开区间；若将若将其中的不等式全部换成其中的不等式全部换成则则上述点集分别称为闭区间、上述点集分别称为闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，统称为区间，记作左开右闭区间、左闭右开区间，统称为区间，记作I。称为称为I的第的第I个边长；个边长；称为称为I的体积，记作的体积，记作|I|.2007年8月7南京航空航天大学 理学院 数学系2.度量空间中的各类点集首先，我们考虑度量空间首先，我们考虑度量空间(X,d)中的点与给定点集之间的关系。设中的点与给定点集之间的关系。设E为为X中的一个点集，中的一个点集，P为为X中的点，则中的点，则P和和E的关系具有如下几种：的关系具有如下几种：(1)P附近全是附近全是E的点，即存在的点，即存在P的某邻域的某邻域此时称此时称P为为E的的内点；内点；(2)P附近全不是附近全不是E的点，即存在的点，即存在P的某邻域的某邻域此时称此时称P为为E的的外点；外点；(3)P附近既有附近既有E的点，又有不属于的点，又有不属于E的点，即对的点，即对P的任意邻域的任意邻域U(P),此时称此时称P为为E的的边界点边界点，简称，简称界点；界点；(4)P附近有附近有E的无穷多个点，即对的无穷多个点，即对P的任意邻域的任意邻域U(P),为无限集合，为无限集合，此时称此时称P为为E的的聚点；聚点；(5)P附近除附近除P外没有外没有E的点，即存在的点，即存在P的邻域的邻域U(P),此时称此时称P为为E的的孤立点。孤立点。2007年8月8南京航空航天大学 理学院 数学系点集间的关系点集间的关系显然，空间中任意的点显然，空间中任意的点P是且只能是上述是且只能是上述(1)(2)(3)中的一个，或者是且中的一个，或者是且只能是上述只能是上述(2)(4)(5)中的一个，即中的一个，即(1)内点一定是聚点，外点一定不是聚点；内点一定是聚点，外点一定不是聚点；(2)聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点；聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点；(3)孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点；孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点；(4)E中的点要么是聚点，要么是孤立点；中的点要么是聚点，要么是孤立点；(5)界点要么是聚点，要么是孤立点。界点要么是聚点，要么是孤立点。2007年8月9南京航空航天大学 理学院 数学系聚点聚点关于聚点，下面三条是等价的：关于聚点，下面三条是等价的：(1)P是是E的聚点；的聚点；(2)P的任意邻域内，至少含有一个属于的任意邻域内，至少含有一个属于E而异于而异于P点；点；(3)存在存在E中互异的点所成的点列中互异的点所成的点列2007年8月10南京航空航天大学 理学院 数学系开核、边界、导集、闭包开核、边界、导集、闭包定义定义：(1)E的全体内点所成的集合，称为的全体内点所成的集合，称为E的的开核开核，记作，记作(2)E的全体边界点所成的集合，称为的全体边界点所成的集合，称为E的的边界边界，记作，记作(3)E的全体聚点所成的集合，称为的全体聚点所成的集合，称为E的的导集导集，记作，记作(4)E与与E的导集的并集，称为的导集的并集，称为E的的闭包闭包，记作，记作闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论：闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论：这样可知：这样可知：2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系重要性质重要性质前面介绍的一些点集在分析学科中是非常重要的，具有以下的性质：前面介绍的一些点集在分析学科中是非常重要的，具有以下的性质：(1)(2)(3)(4)(Bolzano-Weierstrass定理定理)若若E为有界的无限集合，则为有界的无限集合，则(5)2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数学系开集和闭集开集和闭集定义：定义：若集合若集合E的每一点都是的每一点都是E的内点，则称的内点，则称E为开集；为开集；若集合若集合E的每一个聚点都属于的每一个聚点都属于E，则称则称E为闭集。为闭集。开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质：开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质：(1)对任意的点集对任意的点集E，(2)点集点集E是开集当且仅当是开集当且仅当E是闭集当且仅当是闭集当且仅当(3)(4)若若E为开集，则为开集，则E的余集为闭集，若的余集为闭集，若E为闭集，则为闭集，则E的余集为开集的余集为开集；(5)任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集仍为开集；任意多个任意多个开集的并集以及有限多个开集的交集仍为开集；任意多个闭集的交集以及有限多个闭集的并集仍为闭集闭集的交集以及有限多个闭集的并集仍为闭集；(6)对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集分对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集分别包含这两个闭集。别包含这两个闭集。2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系有界闭集和紧集有界闭集和紧集有限覆盖定理有限覆盖定理：设：设F为为n维欧氏空间有界闭集，则对任意的覆盖维欧氏空间有界闭集，则对任意的覆盖F的开集族：的开集族：存在有限个开集同样覆盖存在有限个开集同样覆盖F。定义：定义：设设M为度量空间为度量空间X的子集，若对于的子集，若对于X的任意一族覆盖的任意一族覆盖M的开集，的开集，一定存在其中有限个开集仍然覆盖一定存在其中有限个开集仍然覆盖M，则称则称M为为X的的紧集紧集。定理：度量空间的紧集一定是有界闭集。定理：度量空间的紧集一定是有界闭集。思考：判断下面说法的正确与否，思考：判断下面说法的正确与否，(1)设设E,F为两个不相交的闭集，则一定有为两个不相交的闭集，则一定有d(E,F)0；(2)设设E,F为两个不相交的闭集，其中为两个不相交的闭集，其中E为紧集，则一定有为紧集，则一定有d(E,F)0.2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系开域、闭域、区域开域、闭域、区域开域开域若非空开集若非空开集 E 具有连通性具有连通性,即即 E 中任意两中任意两 点之间都可用一条完全含于点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接的有限折线相连接,则称则称 E 为开域为开域.简单地说简单地说,开域就是非空连通开集开域就是非空连通开集.闭域闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合成的集合,统称为区统称为区域域.不难证明不难证明:闭域必为闭集闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域而闭集不一定为闭域.2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系*自密集、完备集、稠密集、疏朗集自密集、完备集、稠密集、疏朗集定义：设定义：设E为度量空间为度量空间(X,d)中的点集，中的点集，(1)若若E中的每一个点均为其聚点，即中的每一个点均为其聚点，即则称则称E为为自密集自密集；(2)若若E与其导集相等，即与其导集相等，即则称则称E为为完备集完备集；(3)若若E的闭包为全空间，即的闭包为全空间，即则称则称E为为稠密集稠密集；(4)若若E的闭包没有内点，即的闭包没有内点，即则称则称E为为疏朗集，疏朗集，或称为或称为无处稠密集。无处稠密集。注意：完备集为没有孤立点的闭集；注意：完备集为没有孤立点的闭集；疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集。疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集。2007年8月16南京航空航天大学 理学院 数学系 举例讨论上述点集的性质举例讨论上述点集的性质例例1 证明证明:对任何对任何恒为闭集恒为闭集.证证 如图所示如图所示,设设的任一聚点，欲证的任一聚点，欲证（即（即 亦为亦为的界的界 点）点）.为此为此由聚点定义，存在由聚点定义，存在 再由再由为为界点的定界点的定义义,在在 2007年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系的点的点.由此推知由此推知在在 内既有内既有的点的点,又有非又有非 的任意性的任意性,为为的界点的界点,即即,也就也就证证得得 为闭集为闭集 注注 类类似地可以似地可以证证明明:对对任何点集任何点集 亦恒为闭集亦恒为闭集.(留作习题留作习题)例例2 2 设设 试证试证 E 为闭集的充要条件是：为闭集的充要条件是：内既有内既有的点的点,又有非又有非 的点的点.所以所以,由由2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学系证证 下面按循环流程图下面按循环流程图 来分别作出证明来分别作出证明.已知已知为闭集为闭集(即即 ),),欲证欲证 反之反之显显然有然有 2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系综合起来综合起来,便证得便证得 已知已知 欲欲证证 为为此此 外点外点,反之显然反之显然 2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系注注 此例指出了如下两个重要结论此例指出了如下两个重要结论:(i)闭闭集也可用集也可用“”来定来定义义(只是使用只是使用 起来一般不如起来一般不如“”方便方便,因因为为有关聚点有关聚点 有许多便于应用的性质有许多便于应用的性质)(ii)闭集与开集具有对偶性质闭集与开集具有对偶性质闭集的余集为闭集的余集为开开 集集;开集的余集为闭集开集的余集为闭集.利用此性质利用此性质,有时可以通有时可以通 过讨论过讨论 来认识来认识 E.2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系例例3 以下两种说法在一般情形下为什么是以下两种说法在一般情形下为什么是错错的的?(i)既然说开域是既然说开域是“非空连通开集非空连通开集”，那么闭域就是，那么闭域就是 “非空连通闭集非空连通闭集”；(ii)要判要判别别一个点集一个点集是否是是否是闭闭域域,只要看其去除只要看其去除 边界后所得的是否为一开域边界后所得的是否为一开域,即即 答答(i)例如取例如取 这这是一个非空是一个非空连连 通通闭闭集集.但因它是第一和第三象限的集合但因它是第一和第三象限的集合 G 与其与其边边 界界(二坐二坐标轴标轴)的并集的并集(即即),而而 G 不是不是 2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系开域开域,故故 S 不是闭域不是闭域(不符合闭域的定义不符合闭域的定义).(a)(b)(c)(ii)如如图图所示所示,集为集为 (c)中的点集为中的点集为 易见易见 E 为一开域为一开域,据定义据定义 F 则为闭域；然而则为闭域；然而 (a)中的点集为中的点集为 D;(b)中的点中的点2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系显然不符合它为闭域的定义显然不符合它为闭域的定义.由此又可见到由此又可见到:2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系复 习 思 考 题 1.试问试问在在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域中的开集、闭集、开域、闭域、区域 等集合是数直线上怎样一些点集？等集合是数直线上怎样一些点集？2.设设 E,F 分别是分别是 R2 中的开集和闭集试问在中的开集和闭集试问在 R3 中中 E 是否仍为开集？是否仍为开集？F 是否仍为闭集？是否仍为闭集？3.R 中的中的单调单调有界性定理和确界原理有界性定理和确界原理,为为什么在什么在 R2 中没有直接对应的命题？中没有直接对应的命题？4.为什么说为什么说“在一切平面点集中，只有在一切平面点集中，只有 R2 与与 是既开又闭的点集是既开又闭的点集”？2007年8月25南京航空航天大学 理学院 数学系5.2007年8月26南京航空航天大学 理学院 数学系