第5章 虚功原理与结构位移计算0405.ppt

1第第5 5章章 虚功原理和结构位移计算虚功原理和结构位移计算学习要求：学习要求：了解互等定理；了解互等定理；掌握荷载作用下静定结构位移计算方法（图乘法）；掌握荷载作用下静定结构位移计算方法（图乘法）；静定结构因温度改变和支座移动所引起的位移计算；静定结构因温度改变和支座移动所引起的位移计算；理解功、虚功和变形体虚功原理的基本概念。理解功、虚功和变形体虚功原理的基本概念。25.1 5.1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 5.2 5.2 变形体的虚功原理和结构位移计算的一般公式变形体的虚功原理和结构位移计算的一般公式 5.3/4 5.3/4 荷载下结构的位移计算和举例（积分法荷载下结构的位移计算和举例（积分法）5.5 5.5 图乘法图乘法5.6 5.6 温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算5.9 5.9 互等定理互等定理主要内容：主要内容：第第5 5章章 虚功原理和结构位移计算虚功原理和结构位移计算3教学要求：教学要求：了解位移的概念。了解位移的概念。掌握刚体体系位移计算的方法。掌握刚体体系位移计算的方法。Calculation of Displacement for Rigid Body System by the Principle of Virtual Force 理解虚力原理的概念。理解虚力原理的概念。5-15-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移P152 P152 4主要内容：主要内容：结构位移概述结构位移概述 刚体体系的位移计算刚体体系的位移计算Calculation of Displacement for Rigid Body System by the Principle of Virtual Force 小结小结5-15-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移P152 P152 55.1.1 5.1.1 结构位移概述结构位移概述上海莲花上海莲花13层倒楼层倒楼6成都居民楼雨后倾斜成都居民楼雨后倾斜7塔科马大桥风振破坏塔科马大桥风振破坏8地震作用下铁路破坏地震作用下铁路破坏9 计算位移的目的计算位移的目的 （1 1）刚度验算）刚度验算 （2 2）超静定结构分析的基础）超静定结构分析的基础 产生位移的原因产生位移的原因（1 1）荷载）荷载（2 2）支座沉降）支座沉降（3 3）温度变化、制造误差）温度变化、制造误差5.1.1 5.1.1 结构位移概述结构位移概述10结构各点产生位移时，结构内部结构各点产生位移时，结构内部是否产生应变？是否产生应变？思考思考刚体位移刚体位移ABCD支座移动支座移动变形体位移变形体位移荷载作用荷载作用ABCDP115.1.2 5.1.2 刚体体系的位移计算刚体体系的位移计算问题：问题：？手段：手段：刚体体系虚功原理刚体体系虚功原理具有理想约束的刚体体系：具有理想约束的刚体体系：设体系上作用任意的平衡力系。又设体系发生符合约设体系上作用任意的平衡力系。又设体系发生符合约束条件的微小刚体体系位移，则束条件的微小刚体体系位移，则外力在位移上所作的虚外力在位移上所作的虚功总和恒等于零功总和恒等于零。ABCD12问题：问题：？ABCD外力在位移上所作的虚功总和恒等于零外力在位移上所作的虚功总和恒等于零手段：手段：平衡的外力系统平衡的外力系统符合约束条件的微小位移状态符合约束条件的微小位移状态刚体体系虚功原理刚体体系虚功原理13ABCD刚体体系虚功原理应用的回顾刚体体系虚功原理应用的回顾平衡的力状态平衡的力状态（实际）（实际）FFAy？协调的位移状态协调的位移状态（虚设）（虚设）AC列出虚功方程：列出虚功方程：（联想：如果问题反过来，不是求力，（联想：如果问题反过来，不是求力，而是求位移该如何运用虚功原理解决？）而是求位移该如何运用虚功原理解决？）虚位移原理虚位移原理ABCD14平衡的力状态平衡的力状态（虚设）（虚设）ABCDFFAy协调的位移状态协调的位移状态（实际）（实际）ABDCAC=？列出虚功方程：列出虚功方程：虚力原理虚力原理为了便于计算：为了便于计算：单位荷载法单位荷载法15虚功方程虚功方程ABCDFAyFByFDy1FDxAABCDC=？3aa2a竖直向上竖直向上16（1）广义力是一个力，广义位移是力作用方向上的位移。）广义力是一个力，广义位移是力作用方向上的位移。（2）广义力是一个力偶，广义位移是力偶作用截面的转角）广义力是一个力偶，广义位移是力偶作用截面的转角。广义力与广义位移广义力与广义位移 作功的两方面因素：广义力、广义位移。作功的两方面因素：广义力、广义位移。广义力广义力F：与力有关的因素。：与力有关的因素。广义位移广义位移：与位移有关的因素。：与位移有关的因素。虚功：虚功：W=F17（3）若广义力是等值、反向的一对力）若广义力是等值、反向的一对力F。FFABAB：AB两点的相对位移。两点的相对位移。（4）若广义力是一对等值、反向的力偶）若广义力是一对等值、反向的力偶MABABAB：AB两截面的相对转角。两截面的相对转角。ABMMABAB18AABCDCD=？3aa2aABCDFAyFByFDy1FDx虚功方程虚功方程顺时针顺时针19数学方法数学方法AABCDBAC3aa2a20BAC2m4m2m5cm2cmBAC位移状态位移状态虚设平衡力状态虚设平衡力状态例：已知例：已知C支座产生水平向右位移支座产生水平向右位移5cm和竖直向下位移和竖直向下位移2cm，求求B点的水平位移和点的水平位移和BC杆的转角。杆的转角。21BAC2m4m2m5cm2cmBAC位移状态位移状态虚设平衡力状态虚设平衡力状态1FCyFCx（1）B点的水平位移点的水平位移 解方程得解方程得 建立虚功方程建立虚功方程 虚设单位荷载虚设单位荷载水平向右水平向右22BAC2m4m2m5cm2cm位移状态位移状态FCyFCx 解方程得解方程得BAC虚设平衡力状态虚设平衡力状态 虚设单位荷载虚设单位荷载1（2）BC杆的转角杆的转角 建立虚功方程建立虚功方程逆时针逆时针23BAC2m4m2m5cm2cmBAC位移状态位移状态虚设平衡力状态虚设平衡力状态FCyFCx课堂练习：课堂练习：求求B、C两点的相对线位移。两点的相对线位移。11245.1.3 5.1.3 小结小结 单位荷载法单位荷载法（1 1）沿所求位移方向）沿所求位移方向虚设单位荷载虚设单位荷载，求出，求出相应的相应的支座反力；支座反力；（3 3）解方程得）解方程得（2 2）建立虚功方程）建立虚功方程应用应用虚力原理虚力原理求支座移动时刚体体系的位移求支座移动时刚体体系的位移25（1 1）局部变形时的位移计算公式）局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsRdsdsRds在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形设为变形体，分析局部变形所引起的位移。所引起的位移。P5.2 5.2 变形体的虚功原理和结构位移计算的一般公式变形体的虚功原理和结构位移计算的一般公式dsdsRds材料力学可知：材料力学可知：微段微段d ds s两端截两端截面的相对位移面的相对位移27dsdsRds1(2)(2)结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：28(3)(3)位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。外虚功外虚功内虚功内虚功变形体虚功原理：变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总各微段内力在应变上所作的内虚功总和等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的和等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和外虚功总和。即：即：29线性弹性材料线性弹性材料5.3/4 5.3/4 荷载下结构的位移计算和举例荷载下结构的位移计算和举例实际荷载引起的内力实际荷载引起的内力虚设单位荷载引起的内力虚设单位荷载引起的内力正负号规定正负号规定以拉为正以拉为正使微段顺时针转动为正使微段顺时针转动为正当当 与与 使杆件同侧纤维受拉时，它们的使杆件同侧纤维受拉时，它们的乘积为正乘积为正30例例1 1 求悬臂梁在求悬臂梁在A A端的竖向位移端的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切变形对，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形。位移的影响。设梁的截面为矩形。Axlq解解:虚设单位荷载虚设单位荷载AxP=1实际荷载实际荷载虚设单位荷载虚设单位荷载31弯曲变形位移弯曲变形位移剪切变形位移剪切变形位移(矩形截面，矩形截面，k=1.2)k=1.2)P167 P167 表表5-25-2设设对于矩形截面对于矩形截面浅梁浅梁可忽略可忽略深梁深梁不可忽略不可忽略32例例2 2 计算计算桁架结点桁架结点D的竖向的竖向线线位移。位移。各杆的各杆的EA相同且为常数。相同且为常数。PABCD解：解：CABD10.5P0.5P0.50.5-0.7Pddd00.5P-0.710.5例例3 图图(a)所示为一等截面圆弧形曲杆所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧，截面为矩形，圆弧 AB的圆心角为的圆心角为，半径为，半径为R。试求。试求B点的竖向位移点的竖向位移。解：虚设荷载如图解：虚设荷载如图(b)图图(a)图图(b)设设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12例例5-6 试求图试求图(a)所示简支梁两端截面所示简支梁两端截面A、B的相对转角的相对转角。解：虚设力系如图解：虚设力系如图(b)实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)35（a）梁与刚架）梁与刚架（b）桁架）桁架(c)(c)桁梁组合结构桁梁组合结构(d)(d)拱拱梁式杆梁式杆链杆链杆36kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIydxEIMM0A=yEI01A=xtgEI01Aa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线直线kidxEIMM直杆直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0Ay0=x0tg5.5 5.5 图乘法图乘法37=DPEIydxEIMM0A注意事项：注意事项：（1）图乘法的应用条件：）图乘法的应用条件：a）EI=常数；常数；b）直杆；）直杆；c）两）两个弯矩图至少有一个是直线。个弯矩图至少有一个是直线。（2）竖标）竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。（3）面积）面积A与竖标与竖标y0在杆的同侧，在杆的同侧，A y0 取正号，否则取负。取正号，否则取负。MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0Ay0=x0tg38常见图形的面积和形心的位置常见图形的面积和形心的位置(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线A=hl/3二次抛物线二次抛物线A=2hl/3h顶点顶点顶点顶点顶点顶点393.3.图乘的一般方法图乘的一般方法（1 1）两图均是直线图形）两图均是直线图形ABLP例例1 1：求图示结构：求图示结构B B点的竖向位移点的竖向位移A1 1y1 1MPM140（2 2）分段图乘）分段图乘一图形为曲线，另外一图形为折线一图形为曲线，另外一图形为折线q例例2 2：求图示结构：求图示结构C C点的竖向位移点的竖向位移ABL/2L/2CA1 1y1 1A2 2y2 2MPM141q例例3 3：求图示结构：求图示结构B B点的转角点的转角ABLM1M2M1MPM1M2qL2/8142回顾回顾MP弯矩图绘制方法叠加法弯矩图绘制方法叠加法A1 1y1A2 2y2A3 3y3MPM1M2qL2/8M1M2MqM（3 3）分块图乘）分块图乘434.4.图乘法应用实例图乘法应用实例 例例1 1：试试求图示悬臂梁求图示悬臂梁B B点和点和C C点的竖向位移点的竖向位移，EI为常数。为常数。PL/2/2L/2/2A AB BC CA AB BPLMPA AB BLMAy计算计算B B点的竖向位移点的竖向位移 144ABPLMP方法方法1 1：A1 1y1 1计算计算C C点的竖向位移点的竖向位移 L/2MCABPLMPA2 2y2 2L/2/2MC不等不等,为什么？为什么？方法方法2 2：错误错误145例例2 2：试试求图示刚架求图示刚架C C点的水向位移，点的水向位移，EI为常数。为常数。q qALCBDLLqL2 2/2/2MLA1 1y y1 1A2 2y y2 2A3 3y y3 3qL2 2/8/8MP146 杆件温度变化时，静定结构杆件温度变化时，静定结构不会引起内力不会引起内力 但材料会发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，但材料会发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，使使结构产生变形和位移结构产生变形和位移。(E=*t)(E=*t)BA上边缘温度上升上边缘温度上升t1，上边缘温度上升，上边缘温度上升t2。5.6 5.6 温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算47 温度沿截面厚度为线性分布，温度变形后，温度沿截面厚度为线性分布，温度变形后，截面保持为平面截面保持为平面。温度变形包括：沿轴线方向拉伸变形温度变形包括：沿轴线方向拉伸变形du和截面转角和截面转角d。不产生剪切变形不产生剪切变形BA48形心轴处的温度形心轴处的温度当当h1=h2时时（1）du计算：计算：（2）d计算：计算：49温度作用引起的位移：温度作用引起的位移：正负号规定：正负号规定：轴力轴力 以拉为正；以拉为正；t t0 0以温度升高为正。以温度升高为正。与与 引起的弯矩为同一方向时乘积为正；反之为负。引起的弯矩为同一方向时乘积为正；反之为负。50例例1.刚架内侧温度升高刚架内侧温度升高10，外侧温度不变，外侧温度不变，=0.00001，各，各杆为矩形截面，高杆为矩形截面，高h=40cm。求：求：C 点的竖向位移点的竖向位移C。ABC6m6m分析：分析：单位荷载下的内力图单位荷载下的内力图51ABC6m图图P=1BACa解解:(1)C(1)C点加单位竖向力点加单位竖向力P=1=1，并作内力图。，并作内力图。6m(2)(2)代公式计算代公式计算52应用条件：应用条件：1)1)应力与应变成正比应力与应变成正比;2)2)变形是微小的。变形是微小的。即即:线弹性变形体系。线弹性变形体系。5.9 5.9 互等定理互等定理53P1P2F1F2（1 1）功的互等定理）功的互等定理 任一线性变形体系中，状态任一线性变形体系中，状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的的位移上作的功功W12等于状态等于状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的功的位移上作的功W21。即：。即：W12=W2154(2)(2)位移互等定理位移互等定理P1P22112 在任一线性变形体系中，在任一线性变形体系中，由荷载由荷载P1=1所引起的与荷载所引起的与荷载P2=1相应的位移影响系数相应的位移影响系数21 等于由荷载等于由荷载P2所引起的与荷所引起的与荷载载P1相应的位移影响系数相应的位移影响系数12。55(3)(3)反力互等定理反力互等定理c1c2R11R21R22R12 在任一线性变形体在任一线性变形体系中，由位移系中，由位移c1=1所所引起的与位移引起的与位移c2=1相相应的反力影响系数应的反力影响系数r21 等于由位移等于由位移c2所引起所引起的与位移的与位移c1相应的反相应的反力影响系数力影响系数r12。仅用于超静定结构仅用于超静定结构56作作 业业P199P199：5-25-2、5-5 5-5 刚体虚功原理刚体虚功原理P200P200：5-9 5-9 积分法求位移积分法求位移P200P200：5-11 5-11 桁架位移桁架位移P202/3P202/3：5-175-17、1919、22 22 图乘法图乘法P204P204：5-305-30、32 32 温度作用下温度作用下