数列求和问题.ppt

求求数列数列前前n n项和项和的常用的常用方方法：法：1.1.公式法公式法3.3.分组求和法分组求和法5.5.错位相减法错位相减法2.2.倒序相加法倒序相加法4.4.裂项相消法裂项相消法等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 1.1.公式法公式法即直接用求和公式即直接用求和公式,求前求前n n项和项和S Sn n分析分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为其首项为a，公比为，公比为ab，因此由题设求出，因此由题设求出a,b，再用等，再用等比数列前比数列前n项和公式求和项和公式求和例例1：若实数若实数a,b满足：满足：求：求：例例2 求和：求和：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)解：解：1，1/a,1/a21/an是首项为是首项为1，公比为，公比为1/a的等比数列，的等比数列，原式原式=原因：原因：上述解法错误在于，当公比上述解法错误在于，当公比1/a=1即即a=1时，前时，前n 项和公式项和公式不再成立。不再成立。例例2 求和：求和：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)在求等比数列前在求等比数列前n项和时，要特别项和时，要特别注意公比注意公比q是否为是否为1。当。当q不确定时不确定时要对要对q分分q=1和和q1两种情况讨论求两种情况讨论求解。解。对策：对策：倒序相加法在教材中是推导等差数列前倒序相加法在教材中是推导等差数列前n n项和的方法项和的方法2.2.倒序相加法倒序相加法3.3.分组求和法：分组求和法：若数列若数列 的通项可转化为的通项可转化为 的形式，且数列的形式，且数列 可求出前可求出前n项和项和 与与 则则解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 例例4.求下列数列的前求下列数列的前n项和项和 当当a0且且a1时，时，Sn=4.裂裂项相消法项相消法（或裂项法）：（或裂项法）：若数列若数列 的通项的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式公式拆分为某数列相邻两项之差的形式例例5、Sn=+1131351(2n-1)(2n+1)解：由通项解：由通项an=1(2n-1)(2n+1)=（-）21 2n-11 2n+11Sn=（-+-+-)2131115131 2n-11 2n+11=（1 -）21 2n+11 2n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。有规律的抵消项，进而达到求和的目的。常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：5.错位相减法错位相减法：设数列设数列 是公差为是公差为d的等差数列的等差数列（d不等于零），数列不等于零），数列 是公比为是公比为q的等比数列的等比数列(q不不等于等于1），数列满足：），数列满足：例例7、求和、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)这是一个等差数列这是一个等差数列n与一个等比数列与一个等比数列xn-1的对应的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2+nxn-1 xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1 -nxn n项这时等式的右边是一个等比这时等式的右边是一个等比数列的前数列的前n项和与一个式子的项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求和，这样我们就可以化简求值。值。错位相减法分析分析例例7、求和、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)解：解：Sn=1+2x+3x2+nxn-1xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn -，得：，得：(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn1-x=-nxn 直接求和（公直接求和（公式法）式法）等差、或等比数列用求和公式，常等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。数列直接运算。倒序相加倒序相加等差数列的求和方法等差数列的求和方法错位相减错位相减数列数列 anbn的求和，其中的求和，其中an是等差数是等差数列，列，bn是等比数列。是等比数列。裂项法裂项法分组求和法分组求和法把通项分解成几项，从而出现几个等把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和。差数列或等比数列进行求和。常见求和方法常见求和方法适用范围及方法适用范围及方法数列数列1/f(n)g(n)的求和，其中的求和，其中 f(n),g(n)是关于是关于n的一次函数。的一次函数。小结小结练习练习