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固体物理固体物理Solid State Physics2011.09.01固体固体晶体晶体:非晶体非晶体:准晶体准晶体:长程有序长程有序不具有长程序的特点不具有长程序的特点,短程有序。短程有序。有长程取向序，而没有长程的平移对称性。有长程取向序，而没有长程的平移对称性。单晶体单晶体多晶体多晶体固体分类(按结构)：金属、合金：金属、合金 固体的分类固体的分类基元：晶体的基元：晶体的基本结构单元基本结构单元格点：格点：基元的代表点基元的代表点晶格：晶格：格点的周期性无限分布格点的周期性无限分布（晶体结构周期性（晶体结构周期性的数学抽象）的数学抽象）表征晶体周期性的物理量晶体结构晶体结构=基元基元+晶格晶格基矢：基矢：初基平移矢量初基平移矢量（基矢的选取不唯一）（基矢的选取不唯一）原胞：原胞：晶格的最小重复单元晶格的最小重复单元 由基矢为三个棱边组成的平行六面体是晶格结构的最小重由基矢为三个棱边组成的平行六面体是晶格结构的最小重复单元，它们平行、无交叠的堆积在一起，可以形成整个晶体。复单元，它们平行、无交叠的堆积在一起，可以形成整个晶体。这样的重复单元即为这样的重复单元即为原胞（原胞（固体物理学原胞固体物理学原胞）。原胞（固体物理学原胞）一个原胞只含一个格点一个原胞只含一个格点原胞的体积为：原胞的体积为：原胞对于同一晶格，原胞的选取不唯一对于同一晶格，原胞的选取不唯一 原胞 原胞的存在反映了晶体晶格的周期性，各原胞中的对应点的一切物理性质相同，因而作为位置函数的各种物理量 ，应具有晶格周期性或者平移对称性：其中 为晶格平移矢量 晶胞（结晶学原胞）除了周期性外，每种晶体还有自己特有的对称性，结晶学除了周期性外，每种晶体还有自己特有的对称性，结晶学上往往选取能直观反映上述对称性的晶格重复单元，称为上往往选取能直观反映上述对称性的晶格重复单元，称为晶胞晶胞（结晶学原胞）。（结晶学原胞）。晶胞的边长称为晶胞的边长称为晶格常数晶格常数，它不一定等于近邻原子的间距。，它不一定等于近邻原子的间距。晶胞基矢用晶胞基矢用 、表示表示晶胞可能含一个以上的格点晶胞可能含一个以上的格点晶胞不一定是最小重复单元，其体积一般是原胞的整数倍晶胞不一定是最小重复单元，其体积一般是原胞的整数倍(a)a)简立方简立方 三种常见的立方系晶胞与相应原胞的关系(b)b)面心面心立方立方(c)c)体心体心立方立方立方晶系立方晶系晶胞的体积晶胞的体积:取取 为坐标轴的单位矢量为坐标轴的单位矢量,设设晶格常数晶格常数为为a晶胞基矢为晶胞基矢为：(a)a)简立方简立方简立方晶胞即为固体物理学原胞，原胞基矢简立方晶胞即为固体物理学原胞，原胞基矢等于晶胞基矢等于晶胞基矢(b)b)面心立方面心立方(fcc)每个每个面心立方晶面心立方晶胞包含胞包含4个个格点格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积原胞基矢分别为：原胞基矢分别为：(c)c)体心立方体心立方(bcc)每个每个晶晶胞包含胞包含2个个格点格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积原胞基矢分别为：原胞基矢分别为：(c)c)体心立方体心立方 复式格子基元一般包含多种原子，如果以这些原子作为结构点基元一般包含多种原子，如果以这些原子作为结构点来观察，晶体还是布拉维格子吗？来观察，晶体还是布拉维格子吗？布拉维格子：由格点（基元的代表点）形成的晶格。布拉维格子：由格点（基元的代表点）形成的晶格。其特点是每个格点周围的情况完全相同其特点是每个格点周围的情况完全相同ab一维双原子链，所包含两类原子等价吗？一维双原子链，所包含两类原子等价吗？复式格子二维蜂窝状结构二维蜂窝状结构PRQP P、Q Q、R R三点等效吗？三点等效吗？氯化钠结构氯化钠结构Cl原子与原子与Na原子周围情原子周围情况相同吗？况相同吗？多原子晶体对原子来说不是布拉维格子，但是各多原子晶体对原子来说不是布拉维格子，但是各个基元中的相应原子构成与格点相同的布拉维格子，个基元中的相应原子构成与格点相同的布拉维格子，只不过这些晶格之间存在相对位移，我们把若干相同只不过这些晶格之间存在相对位移，我们把若干相同结构的布拉维格子相互套构而成的格子称为结构的布拉维格子相互套构而成的格子称为复式格子复式格子。NaCl结构中的结构中的Na+和和Cl-各自构各自构成面心立方格子成面心立方格子注意：即便是单原子晶体，也不一定是布拉维注意：即便是单原子晶体，也不一定是布拉维格子。格子。为了方便，以后都以原子为结构点把晶体分为为了方便，以后都以原子为结构点把晶体分为布拉维格子和复式格子。如布拉维格子和复式格子。如Cu、Al等是面心等是面心立方格子，立方格子，NaCl则是复式格子则是复式格子(a)a)金刚石结构金刚石结构金刚石结构：面心立方晶胞外加金刚石结构：面心立方晶胞外加4 4个位于体对角线个位于体对角线1/41/4处的原子构处的原子构成。成。几类立方晶系复式格子体对角线体对角线1/41/4处的四个原子不共面，处的四个原子不共面，它们与顶角以及面心的原子不等价它们与顶角以及面心的原子不等价（共价键方向不同）（共价键方向不同）思考：金刚石结构的晶胞包含几个原子？思考：金刚石结构的晶胞包含几个原子？(a)a)金刚石结构金刚石结构 几类立方晶系复式格子 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/41/4的长度套构而成的长度套构而成,其布拉维晶格为其布拉维晶格为面心立方面心立方。1.1.金刚石结构的晶胞包含金刚石结构的晶胞包含8 8个原子个原子2.2.金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4 4个个格点格点。3.3.金刚石结构每个固体物理学原胞包含金刚石结构每个固体物理学原胞包含1 1个格点个格点,基元基元由两个碳原子组成由两个碳原子组成,位于（位于（000000）和）和 处。处。金刚石结构金刚石结构(b)b)氯化钠结构氯化钠结构 氯化钠结构由两个氯化钠结构由两个面心立方面心立方子晶格沿体对角线位移子晶格沿体对角线位移1/21/2的的长度套构而成。长度套构而成。Cl-和和Na+分别组成面心立方子晶格。分别组成面心立方子晶格。其布拉维晶格为其布拉维晶格为面心立方面心立方。每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结个格点，每个结晶学原胞包含晶学原胞包含4个个格点格点。氯化钠的固体物理学原胞选取方氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方格子的选取方法相同。法与面心立方格子的选取方法相同。基元由一个基元由一个Cl-和一个和一个Na+组成。组成。(000)Cl-的坐标为的坐标为 ，Na+的坐标为的坐标为 。(c)c)氯化铯结构氯化铯结构 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长的长度套构而成。度套构而成。Cl-和和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶格为分别组成简立方格子，其布拉维晶格为简立方简立方。每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含个格点，每个结晶学原胞包含1个个格点格点。基元由一个。基元由一个Cl-和一个和一个Cs+组成。组成。(000)Cl-的坐标为的坐标为 ，Cs+的坐标为的坐标为 。例例1 1：求面心立方的致密度。我们把一个晶胞中被硬球占据：求面心立方的致密度。我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为的体积和晶胞体积之比称为致密度致密度(堆积比率或最大空间利堆积比率或最大空间利用率用率)。单胞体积单胞体积单胞中原子所占体积单胞中原子所占体积设晶格常量为设晶格常量为a，原子半径为原子半径为R，则则N是单胞中原子个数是单胞中原子个数内部原内部原子数子数面上原面上原子数子数棱上原子棱上原子数数顶角上顶角上原子数原子数1.3 晶向、晶面和它们的标志 1.3.1 晶向及晶向指数1.晶向 通过晶格中任意两个格点通过晶格中任意两个格点连一条直线称为连一条直线称为晶列晶列，晶列的，晶列的取向称为取向称为晶向晶向，描写晶向的一，描写晶向的一组数称为组数称为晶向指数晶向指数(或或晶列指数晶列指数)。过一格点可以有无数过一格点可以有无数晶列晶列。(3)(3)晶列族中的每一晶列上，晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；格点分布都是相同的；(4)(4)在同一平面内，相邻晶列间的在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。距离相等。(1)(1)平行晶列组成晶列族，晶列平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；族包含所有的格点；(2)(2)晶列上格点分布是周期性的；晶列上格点分布是周期性的；晶列的特点晶列的特点2.晶向指数如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为(1)(1)用固体物理学原胞基矢表示用固体物理学原胞基矢表示为固体物理学原胞基矢为固体物理学原胞基矢如遇到负数，将该数的上面加一横线。其中其中 为整数，将为整数，将 化为互质的整数化为互质的整数 ，记为记为 ，即为该晶列的即为该晶列的晶列指数晶列指数。如如121121表示表示(2)(2)以晶胞以晶胞(布拉维原胞布拉维原胞)基矢表示基矢表示如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为 其中其中 为有理数为有理数,将将 化为化为互质的整数 m,n,p,记为记为 mnp，mnp 即为该即为该晶列晶列的的晶列指数晶列指数.OABCDE 例例1 1：如图在立方体中，如图在立方体中，D是是BC的中点，求的中点，求BE,AD的晶列指数的晶列指数。解：解：晶列晶列BE的晶列指数为：的晶列指数为：011 AD的晶列指数为的晶列指数为:OABCDE求求AD的晶列指数的晶列指数。注意:(1)(1)晶列指数一定是一组互质的整数；晶列指数一定是一组互质的整数；(2)(2)晶列指数用方括号表示晶列指数用方括号表示 ；(3)(3)遇到负数在该数遇到负数在该数上方加一横线。加一横线。晶列晶列(11-1)(11-1)晶列晶列11-111-1晶列晶列(111)(111)晶列晶列111111 在立方体中有，沿立方边的在立方体中有，沿立方边的晶列一共有晶列一共有6个不同的晶向，由于个不同的晶向，由于晶格的对称性，这晶格的对称性，这6个晶向并没有个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方性质是完全相同的，统称这些方向为向为等效晶向等效晶向，写成，写成 。100 001 010 100 010 001 等效晶向1.3.2 晶面及晶面指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数晶面指数。1.晶面(1)(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(3)(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况情况)相同；相同；(4)(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。同一晶面族中相邻晶面间距相等。(2)(2)晶面上格点分布具有周期性；晶面上格点分布具有周期性；设设 的末端上的格点分别在离原点距离的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、h3d的晶面上，这里的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数为整数，d 为晶面间距。容易知为晶面间距。容易知道基矢被晶面族分为道基矢被晶面族分为h1、h2、h3等份等份 (2)(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原故在原点与基矢的末端间存在整数个晶面。点与基矢的末端间存在整数个晶面。(1)(1)晶面族包含所有格点，因此给定晶面族中必有一个晶因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点也一定落末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；在该晶面族的晶面上；2.晶面指数(以原胞基矢为坐标轴）O若若 已知，则晶面在空间的方位可确定，已知，则晶面在空间的方位可确定，称称 为晶面指数，记做为晶面指数，记做h1dh2dh1、h2、h3的求法：设晶面族(h1h2h3)中离原点距离为 ud 的晶面在三个基矢的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别为坐标轴上的截距分别为 ra1,sa2 和和 ta3，则有，则有故有故有可以证明可以证明h1，h2，h3一定是互质的一定是互质的因为因为h1、h2、h3为整数为整数，所以，所以r、s、t必为有理数。必为有理数。即任一晶面在坐标轴上的截距即任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数必是一组有理数。综上所述，晶面指数(h h1 1 h h2 2 h h3 3)表示的意义是：(3)(3)此晶面族的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。此晶面族的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。(2)(2)此晶面族在坐标轴上的截距的倒数比；此晶面族在坐标轴上的截距的倒数比；(1)(1)基矢基矢 被此晶面族等间距地分割成被此晶面族等间距地分割成h1、h2、h3 等等份；份；以布拉维原胞基矢以布拉维原胞基矢 为坐标轴来表示为坐标轴来表示的晶面指数称为的晶面指数称为密勒指数密勒指数，用，用(hkl)表示表示。例例2：如图所示如图所示 ，I和和H分别为分别为BC，EF之中点，之中点，试求晶面试求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密的密勒指数。勒指数。AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距OABCDEFGHI AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG 的密勒指数是的密勒指数是 (111)；ABCD的密勒指数是的密勒指数是 (001)；DIHG的密勒指数是的密勒指数是 (120)。OABCDEFGHIABCD例例3:在立方晶系中画出在立方晶系中画出(210)、晶面。晶面。晶面在三个坐标轴上的截距分别为：晶面在三个坐标轴上的截距分别为：1(210)11EGF密勒指数是密勒指数是 (210)的晶面是的晶面是ABCD面面；(121)密勒指数是密勒指数是 的晶面是的晶面是EFG面面；例例1.求由求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为子质量为m，恢复力常数为恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:解解:设最近邻原子间的恢复力系数为设最近邻原子间的恢复力系数为，则，则:将试探解代入振动方程得色散关系将试探解代入振动方程得色散关系:S为整数为整数