离散型随机变量的均值.pptx
一、复习回顾1、离散型随机变量的分布列 X2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi0，i1，2，；(2)p1p2pi1复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P权数加权平均二、互动探索按按3：2：1的比例混合的比例混合 18 混合糖果中每一粒糖果的质量都相等混合糖果中每一粒糖果的质量都相等24 36 定价为混合糖果的平均价格才合理定价为混合糖果的平均价格才合理按按3：2：1的比例混合的比例混合 18元/kg 24元/kg 36元/kg mm千克混合糖果的总价格为千克混合糖果的总价格为18 +24 +3618 +24 +36平均价格为平均价格为某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？X182436P把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：1.定义定义 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列为的分布列为 pn p3 p2 p1 p xn x3 x2 x1 X 则称则称 EX=x1 p1+x2p2+xn pn+为为X的的均值均值或或数学期望数学期望.它体现了离散型随机变量取值的它体现了离散型随机变量取值的平均水平平均水平。2、问题问题:若若Y=aX+b，其中，其中a,b为常数，为常数，X为随机变为随机变量量(1).写出随机变量写出随机变量Y的分布列；的分布列；(2).求求Y的均值的均值。解解:(1).由题意由题意,知知Y也也为随机变量为随机变量,则则 P（Y=aX+b）=P（X=xi)=pi,i=1,2,3,所以，所以，Y的分布列为的分布列为：pn p2 p1 P axn+b ax2+bax1+b Y(2).EY =(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+xnpn)+b(p1+p2+pn)=a E X+b即即E(a X+b)=a EX+b4、若、若XB（n，P），则），则EX=n P。EX=0q+1p=p3、如果、如果随机变量随机变量X服从两点分布服从两点分布,那么那么 EX=p三、基础训练1、随机变量的分布列是135P0.50.30.2(1)则E=.2、随机变量的分布列是2.4(2)若=2+1，则E=.5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则a=b=.0.40.1四、例题讲解四、例题讲解例例1 篮球比赛中篮球比赛中,罚球命中一次得罚球命中一次得1分，不中得分，不中得0分，分，如果某运动员罚球命中的概率为如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球那么他罚球1次次 的得分的得分X的均值是多少的均值是多少?解解:例例2 2.一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成，每个选择题个选择题构成，每个选择题 有有4 4 个选项个选项,其中仅有一个选项正确其中仅有一个选项正确.每题选对每题选对 得得5 5分分,不选或选错不得分不选或选错不得分,满分满分100100分分.学生学生甲甲 选对任意一题的概率为选对任意一题的概率为0.90.9.学生乙则在测验中学生乙则在测验中 对每题都从对每题都从4 4个选项中随机个选项中随机 地地 选择一个选择一个,求学生甲和学生乙在这单元测验中的成绩的均求学生甲和学生乙在这单元测验中的成绩的均值。值。解解:设学生甲和学生乙在这单元测验中选对的题数设学生甲和学生乙在这单元测验中选对的题数 分别是分别是X1和和X2,则则 X1B(20,0.9),X2B(20,0.25)EX1=20X0.9=18,EX2=20X0.25=5由于每题选对得由于每题选对得5分分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的所以学生甲和学生乙在这次测验中的 成绩分别是成绩分别是5X1和和5X2因此因此,他们在测验中的成绩的均值分别是他们在测验中的成绩的均值分别是E(5X1)=5EX1=5X18=90E(5X2)=5EX2=5X5=25思考思考:(1)学生甲在这次单元测验中的成绩一定是学生甲在这次单元测验中的成绩一定是90分吗分吗?(2)他的均值为他的均值为90分的含义是什么分的含义是什么?不一定不一定.他的成绩是一个随机变量他的成绩是一个随机变量,可能取值为可能取值为 0,5,10,95,100含义是含义是:在多次类似的考试中在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是他的平均成绩大约是90分分例例3.根据气象预报根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失遇到大洪水时要损失60 000元元,遇到小洪水时要损失遇到小洪水时要损失 10 000元元.为保护设备为保护设备,有以下有以下3种方案种方案:方案方案1:运走设备运走设备,搬运费搬运费3 800元元;方案方案2:建保护围墙建保护围墙,建设费为建设费为2 000元元.但围墙只能防小洪水但围墙只能防小洪水.方案方案3:不采取措施不采取措施,希望不发生洪水希望不发生洪水.试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好?解解:用用X1,X2和和X3分别表示三种方案的损失分别表示三种方案的损失采用第采用第1种方案种方案,无论有无洪水无论有无洪水,都损失都损失3 800元元,即即X1=3 800采用第采用第2种方案种方案,遇到大洪水时遇到大洪水时,损失损失2000+60000=62000元元;没有大洪水时没有大洪水时,损失损失2000元元,即即采用第采用第3种方案种方案,有有于是于是,EX2=62000XP(X2=62000)+2000XP(X2=2000)=62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600EX1=3800,EX3=60000XP(X3=60000)+10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0)=60000X0.01+10000X0.25=3100显然显然,采取方案采取方案2的的损失最小损失最小,所以可以选择方案所以可以选择方案2五、课堂小结一、离散型随机变量取值的平均值数学期望二、数学期望的性质三、如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1p则四、如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则六、课堂练习六、课堂练习教材教材P64 练习练习:1-51.不一定不一定.例如例如,掷一枚硬币掷一枚硬币,出现正面的次数出现正面的次数X是随机变量是随机变量,它的取值为它的取值为0,1,取每个值的概率都为取每个值的概率都为0.5,故均值是故均值是0.5.而不是而不是1,也不是也不是02.E(X)=0 x0.1+1x0.2=2x0.3=3x0.2+4x0.1+5x0.1=2.33.X-11P0.50.5E(X)=-1x0.5+1x0.5=0注意注意:要求离散型随机变量的均值要求离散型随机变量的均值,一般首先写出分布列一般首先写出分布列4.第一台机床生产零件的平均次品数第一台机床生产零件的平均次品数 E(X1)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1第二台机床生产零件的平均次品第二台机床生产零件的平均次品E(X2)=0X0.3+1X0.5+2X0.2=0.9E(X2)E(X1)所以第二台机床生产出的次品少所以第二台机床生产出的次品少
