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教师版 2015 高中数学必修+选修知识点归纳引言引言1.1.课程内容：课程内容：必修课程必修课程由 5 个模块组成：必修必修 1 1：集合、：集合、函数概念及基本初等函数函数概念及基本初等函数（指、对、幂函数）（指、对、幂函数）必修必修 2 2：立体几何初步、平面解析几何初：立体几何初步、平面解析几何初步。步。必修必修 3 3：算法初步、统计、概率。：算法初步、统计、概率。必修必修 4 4：基本初等函数（三角函数）：基本初等函数（三角函数）、平、平面向量、三角恒等变换。面向量、三角恒等变换。必修必修 5 5：解三角形、数列、不等式。：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识与基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程与实际应用，而不在技巧及难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程选修课程有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线及方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理及证明、数系的扩充及复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修选修 2 21 1：常用逻辑用语、圆锥曲线及：常用逻辑用语、圆锥曲线及方程、方程、空间向量及立体几何。空间向量及立体几何。选修选修 2 22 2：导数及其应用，导数及其应用，推理及证明、推理及证明、数系的扩充及复数数系的扩充及复数选修选修 2 23 3：计数原理、随机变量及其分：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全及密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称及群。选修 35：欧拉公式及闭曲面分类。选修 36：三等分角及数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。选修选修 4 41 1：几何证明选讲。：几何证明选讲。选修 42：矩阵及变换。选修 43：数列及差分。选修选修 4 44 4：坐标系及参数方程。：坐标系及参数方程。选修选修 4 45 5：不等式选讲。：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法及试验设计初步。选修 48：统筹法及图论初步。选修 49：风险及决策。选修 410：开关电路及布尔代数。2 2重难点及考点：重难点及考点：重点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：高考相关考点：集合及简易逻辑:集合的概念及运算、简易逻辑、充要条件函数：映射及函数、函数解析式及定义域、值域及最值、反函数、三大性质、函数图象、指数及指数函第-0-页数、对数及对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求与、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系及诱导公式、与、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象及性质、三角函数的应用平面向量：有关概念及初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念及性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线与圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线及圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线及圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线及平面、平面及平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合与概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率及统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念及运算必修必修 1 1 数学知识点数学知识点第一章：集合及函数概念第一章：集合及函数概念1.1.11.1.1、集合、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.1.1.21.1.2、集合间的基本关系、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B中的元素，则称集合 A 是集合 B 的子集。记作A B.2、如果集合A B，但存在元素xB，且x A，则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集，2n1个真子集.1.1.31.1.3、集合间的基本运算、集合间的基本运算第-1-页1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B的元素组成的集合，称为集合 A 及 B的并集.记作：A B.2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B的所有元素组成的集合，称为 A 及 B的交集.记作：A B.3、全集、补集？CUA x|xU,且xU1.2.11.2.1、函数的概念、函数的概念1、设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B 中都有惟一确定的数fx与它对应，那么就称f:A B为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y fx,x A.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.1.2.21.2.2、函数的表示法、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1.3.11.3.1、单调性及最大（小）值、单调性及最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：(1)(1)定义法：定义法：设x1、x2a,b,x1 x2那么f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数；f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是减函数.步骤：取值作差变形定号判断格式：解：设x1,x2a,b且x1 x2，则：fx1 fx2=(2)(2)导数法：导数法：设函数y f(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.1.3.21.3.2、奇偶性、奇偶性1、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f x fx，那么就称函数fx为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f x fx，那么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数及导数知识链接：函数及导数1、函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数是曲线y f(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相 应 的 切 线 方 程 是y y0 f(x0)(x x0).2、几种常见函数的导数3、导数的运算法则（1）(u v)uv.（2）(uv)uvuv.（3）.4、复合函数求导法则第-2-页复合函数y f(g(x)的导数与函数y f(u),u g(x)的导数间的关系为yx yuux，即y对x的导数等于y对u的导数及u对x的导数的乘积.解题步骤:分层层层求导作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；第二章：基本初等函数（）第二章：基本初等函数（）2.1.12.1.1、指数及指数幂的运算、指数及指数幂的运算1、一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根。其中n 1,n N.2、当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nana.3、我们规定：4、运算性质：2.1.22.1.2、指数函数及其性质、指数函数及其性质1、记住图象：y axa 0,a 1y2、性质：0a12.2.12.2.1、对数及对数运算、对数及对数运算1a 1ox0 a 1如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.图象1-4-210-1-4-20-16、求函数的最值(1)求y f(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）(2)将y f(x)的各极值点及f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=14 在 R 上是（4）在 R 上是减增函数(5)x 0,a函数(5)x 0,0 ax1;x 0,a 1x1;xx 0,0 a 1x1、指 数 及 对 数 互 化 式：ax N x logaN；第-3-页2、对数恒等式：alogaN N.如果函数y fx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa fb 0，那么函数y fx在区间3、基本性质：loga1 0，logaa 1.4、运算性质：当a 0,a 1,M 0,N 0时：5、换底公式：6、重要公式：7、倒数关系：a 0,a 1,b 0,b 1.2.2.22.2.2、对数函数及其性质、对数函数及其性质1、记住图象：y logaxa 0,a 1ya,b内有零点，即存在ca,b，使得fc 0，这个c也就是方程fx 0的根.3.1.23.1.2、用二分法求方程的近似解、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.3.2.13.2.1、几类不同增长的函数模型、几类不同增长的函数模型3.2.23.2.2、函数模型的应用举例、函数模型的应用举例2、性质：2.51.5y=logax0a11x2.51.50 a 11、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.图象0.50.50-0.51-10-0.51-1-1-1.5-1.5-2-2.5-2-2.5必修必修 2 2 数学知识点数学知识点第一章：空间几何体第一章：空间几何体1、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面及截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。(1)定义域：（0，+）（2）值域：R性（3）过定点（1，0），即 x=1 时，y=0质（4）在（0，+（4）在（0，+）上是增函数）上是减函数(5)x 1,logax 0；(5)x 1,logax 0；0 x 1,logax 00 x 1,logax 02.32.3、幂函数、幂函数1、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用第三章：函数的应用3.1.13.1.1、方程的根及函数的零点、方程的根及函数的零点1、方程fx 0有实根函数y fx的图象及x轴有交点函数y fx有零点.2、零点存在性定理：第-4-页2、空间几何体的三视图与直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积及体积圆柱侧面积；S侧面 2r l圆锥侧面积：S侧面r l圆台侧面积：S侧面r l Rl体积公式：球的表面积与体积：第二章：点、第二章：点、直线、直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：线面平行：判定：判定：平面外一条直线及此平面内的一平面外一条直线及此平面内的一条直线平行，条直线平行，则该直线及此平面平行（简称线线平行，则该直线及此平面平行（简称线线平行，则线面平行）则线面平行）。性质：性质：一条直线及一个平面平行，一条直线及一个平面平行，则过则过这条直线的任一平面及此平面的交线这条直线的任一平面及此平面的交线及该直线平行（简称线面平行，则线及该直线平行（简称线面平行，则线线平行）线平行）。10、面面平行：面面平行：判定：判定：一个平面内的两条相交直线及另一个平面内的两条相交直线及另一个平面平行，一个平面平行，则这两个平面平行则这两个平面平行（简称（简称线面平行，则面面平行）线面平行，则面面平行）。性质：性质：如果两个平行平面同时与第三个如果两个平行平面同时与第三个平面相交，平面相交，那么它们的交线平行那么它们的交线平行（简称面（简称面面平行，则线线平行）面平行，则线线平行）。11、线面垂直：线面垂直：定义：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线与这个平面垂直。判定：判定：一条直线及一个平面内的两条相一条直线及一个平面内的两条相第-5-页交直线都垂直，则该直线及此平面垂交直线都垂直，则该直线及此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）直（简称线线垂直，则线面垂直）。性质：性质：垂直于同一个平面的两条直线平垂直于同一个平面的两条直线平行。行。12、面面垂直：面面垂直：定义：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：判定：一个平面经过另一个平面的一条一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）垂直，则面面垂直）。性质：性质：两个平面互相垂直，两个平面互相垂直，则一个平面则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。面。（简称面面垂直，则线面垂直）（简称面面垂直，则线面垂直）。第三章：直线及方程第三章：直线及方程1、倾斜角及斜率：2、直线方程：点斜式：y y0 kx x0斜截式：y kx b两点式：截距式：一般式：Ax By C 03、对于直线：l1:y k1x b1,l2:y k2x b2有：l1与l2相交 k1 k2；l1与l2重合；4、对于直线：有：l1与l2相交 A1B2 A2B1；l1与l2重合；5、两点间距离公式：6、点到直线距离公式：7、两平行线间的距离公式：l1：Ax By C1 0及l2：Ax By C2 0平行，则第四章：圆及方程第四章：圆及方程1、圆的方程：标准方程：标准方程：x a2y b2 r2其中圆心为圆心为(a,b)，半径为，半径为r.一般方程：一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0.其中圆心为，半径为圆心为，半径为.2、直线及圆的位置关系直线Ax By C 0及圆(x a)2(y b)2 r2的位置关系有三种:弦长公式：l 2 r2d23、两圆位置关系：d O1O2外离：d R r；外切：d R r；第-6-页相交：R r d R r；内切：d R r；内含：d R r.3、空间中两点间距离公式：必修必修 3 3 数学知识点数学知识点第一章：算法第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构顺序结构示意图：当型当型（WHILE 型）循环结构示意图：（图 4）循环体直到型直到型（UNTIL 型）循环结构示意图：满 足 条是（图否5）4、基本算法语句：循环体输入语句的一般格式：INPUT“提示否满 足 条内容”；变量是输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句的一般格式：变量表达式（“=”有时也用“”）.条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE 语句的一般格式为：IFIF条件（图THENTHENIFTHEN语句语句的一般格式为：2）1WHILE条件ELSEELSE循环体（图语句 2循环语句的一般格式是两种：WEND4）当型循环（WHILE）语句的一般格式：直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：DO（图循环体算法案例：LOOPUNTIL 5）辗转相除法 结果是以相除余数为结果是以相除余数为 0 0而得到而得到THENTHENIFIF条件语句利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：END IFEND IF（图）：用较大的数 m 除以较小的数 n 得3）R0；到一个商S0与一个余数）：若R00，则 n 为 m，n 的最大公约数；若R00，则用除数n 除以余数语句 n语句（图 1）条件结构示意图：IF-THEN-ELSEIF-THEN-ELSE 格式：格式：（图 2）满足条件？否IF-THENIF-THEN 格式：格式：是是语句满1足条语句 2（图 3）否循环结构示意图：语句第-7-页R0得到一个商S1与一个余数R1；）：若R10，则R1为 m，n 的最大公约数；若R10，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2与一个余数R2；依次计算直至Rn0，此时所得到的Rn1即为所求的最大公约数。注：总体分布的密度曲线及横轴围成的面积为 1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：x x1 x2 x3 xn；n更相减损术结果是以减数及差相等结果是以减数及差相等而得到而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数及所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。进位制十进制数化为 k 进制数除除 k k 取余法取余法k 进制数化为十进制数第二章：统计第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为n。N取值为x1,x2,xn的频率分别为p1,p2,pn，则其平均数为x1p1 x2p2 xnpn；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差及标准差：一组样本数据x1,x2,xn方差：；标准差：注：方差及标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差及标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系及相关关系；第-8-页2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体分布趋势制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：y bxa（最小二乘法）注意：线性回归直线经过定点(x,y)。第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件 A 的概率：P(A)m,0 P(A)1.n几何概型概率计算公式：P(A)d的测度；D的测度其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件A1,A2,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,An彼此互斥。如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的与，即：P(A B)P(A)P(B)如果事件A1,A2,An彼此互斥，则有：对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记作A对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。必修必修 4 4 数学知识点数学知识点第一章：三角函数第一章：三角函数1.1.11.1.1、任意角、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、及角终边相同的角的集合：1.1.21.1.2、弧度制、弧度制2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则事件 A 发生的概率P(A)m.n3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。第-9-页1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、.3、弧长公式：.4、扇形面积公式：.1.2.11.2.1、任意角的三角函数、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边及单位圆交于点Px,y，那么：sin y,cos x,tanyxtan1.2.21.2.2、同角三角函数的基本关系式、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：sin2cos21.2、商数关系：.3、倒数关系：tancot11.31.3、三角函数的诱导公式、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”奇变偶不变，符号看象限”k Z）1、诱导公式一：（其中：k Z）2、诱导公式二：3、诱导公式三：2、设点Ax,y为角终边上任意一点，那么：（设r x2 y2）3、sin，cos，tan 在四个象y yP PT T4、诱导公式四：5、诱导公式五：6、诱导公式六：1.4.11.4.1、正弦、余弦函数的图象与性质、正弦、余弦函数的图象与性质1、记住正弦、余弦函数图象：37-5 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的-1-4-7-3 222O OMMA A x x限的符号与三角函数线的画法.正弦线：正弦线：MP;MP;余弦线：余弦线：OM;OM;正切线：正切线：ATAT5、特殊角 0，30，45，60，90，180，270 等的三角函数值.y=sinxy-1相关性质：定义域、值域、最大最小-2 -3 -2o22225 324x值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.y sin x在x0,2上的五个关键点0643223343223（0，0）（，1）（，0）（，-1）（，2，0）.为：22cossin第-10-页1.4.31.4.3、正切函数的图象及性质、正切函数的图象及性质1、记住正切函数的图象：y2、记住余切函数的图象：y=tanx-32-2o232x3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx T fx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质y sin xy cosxy tan x图象图象定义定义域域值域值域x 2kRR-1,12-1,1x 2k,k Z时，ymax1x 2k,k Z时，ymin 1R最值最值x 2k,k Z时，ymax12,k Z时，ymin 1无T 周期周期性性T 2T 2第-0-页奇偶奇偶性性奇偶奇在2k,2k上单调单调单调性性k Z在上单调递增在上单调递减递增在2k,2k上单调递减在上单调递增对对 称称性性k Z对称轴方程：对称中心(k,0)对称轴方程：x k对称中心无对称轴对称中心1.51.5、函数、函数y Asinx 的图象的图象1、对于函数：振幅 A，y AsinxBA 0,0有：周期，初相，相位x，频率f 1T纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y Asinx横坐标变为原来的|倍12.平移|B|个单位y Asinx B2、能够讲出函数y sin x的图象及y Asinx B的图象之间的平移伸缩变换关系.（上加下减）先伸缩后平移：先伸缩后平移：先平移后伸缩：先平移后伸缩：平移|y sin x个单位y sin x横坐标不变y sinxy Asin x（左加右减）横坐标不变y Asinx纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y Asinx横坐标变为原来的|倍1第-1-页平移个单位126 246 242 3y Asinx3.1.23.1.2、两角与及差的正弦、余弦、正切公、两角与及差的正弦、余弦、正切公式式1、sin sincos cossin2、sin sincoscossin3、cos coscossinsin4、cos coscossinsintan5、tan1tantantan.tan6、tan1tantantan.（左加右减）平移|B|个单位y Asinx B（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴与对称中心函数y sin(x)，xR 及函数y cos(x)，xR(A,为常数，且A0)的周期；函数y tan(x)，(A,为常数，且 A0)的周期.对 于y Asin(x)与y Acos(x)来说，对称中心及零点相联系，对称轴对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系及最值点联系.求函数y Asin(x)图像的对称轴及对称中心，只需令及只需令及x k(k Z)解出解出x即可即可.余弦函数可及正弦函数类比余弦函数可及正弦函数类比可得可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：，.要根据周期来求,要用图像的关键点3.1.33.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公、二倍角的正弦、余弦、正切公式式1、sin2 2sincos，变形变形：sincos1.2sin22、cos2 cos2sin2变形如下：变形如下：升幂公式：升幂公式：cos21(1cos2)2降幂公式：降幂公式：21sin(1cos2)2来求.1.61.6、三角函数模型的简单应用、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换3.1.13.1.1、两角差的余弦公式、两角差的余弦公式记住 15的三角函数值：sin cos3、.4、tansin21cos21cos2sin23.23.2、简单的三角恒等变换、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2 2、辅助角公式、辅助角公式第-2-页tan（其中辅助角（其中辅助角所在象限由点所在象限由点(a,b)的象的象限决定限决定,).,).第二章：平面向量第二章：平面向量2.1.12.1.1、向量的物理背景及概念、向量的物理背景及概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.22.1.2、向量的几何表示、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量及任意向量平行.2.1.32.1.3、相等向量及共线向量、相等向量及共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.12.2.1、向量加法运算及其几何意义、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则与平行四边形加法法则.2、a ba b.2.2.22.2.2、向量减法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义1、及a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则与平行四边形减法法则.2.2.32.2.3、向量数乘运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数及向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度与方向规定如下：当 0时,a的方向及a的方向相同；当 0时,a的方向及a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量a a 0及b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a.2.3.12.3.1、平面向量基本定理、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a 1e12e2.2.3.22.3.2、平面向量的正交分解及坐标表、平面向量的正交分解及坐标表第-3-页示示1、a xi y j x,y.2.3.32.3.3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算1、设a x1,y1,b x2,y2，则：2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：2.3.42.3.4、平面向量共线的坐标表示、平面向量共线的坐标表示1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则xy y线段 AB 中点坐标为x，2,21212后的对应点为P(x,y)（新坐标），平移向量为PP (h,k)，则函数y f(x)的图像按向量a (h,k)平移后的图像的解析式为y k f(xh).2.5.12.5.1、平面几何中的向量方法、平面几何中的向量方法2.5.22.5.2、向量在物理中的应用举例、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的3ABC 的重心坐标为x x3x,y y3y.12312知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1 1、直线的方向向量与平面的法向量、直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量：若 A、B 是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；及AB平行2.4.12.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含、平面向量数量积的物理背景及其含义义1、ab a b cos.2、a在b方向上的投影为：a cos.3、a a.4、.5、a b ab 0.2.4.22.4.2、平平面面向向量量数数量量积积的的坐坐标标表表示示、模模、夹夹角角1、设a x1,y1,b x2,y2，则：2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：3 3、两向量的夹角公式两向量的夹角公式22的任意非零向量也是直线l的方向向量.平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量.平面的法向量的求法平面的法向量的求法（待定系数法）（待定系数法）：建立适当的坐标系设平面的法向量为n (x,y,z)4 4、点的平移公式、点的平移公式平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移第-4-页求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)面面平行面面平行若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证u v.根据法向量定义建立方程组.解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.（如图）2 2、用向量方法判定空间中的平行关系用向量方法判定空间中的平行关系即：两平面平行或重合向量共线。两平面的法3 3、用向量方法判定空间的垂直关系、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别是a、则b，要证明l1 l2，只需证明a b，即ab 0.即：两直线垂直两直线的方向向量线线平行线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1l2，只需证明ab，即a kb(k R).即：两直线平行或重合向向量共线。线面平行线面平行两直线的方垂直。线面垂直线面垂直（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即a u.（法二）设直线l的方向向量是a，（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明a u，即au 0.即：直线及平面平行直线的方向向n，平面内的两个相交向量分别为m、若量及该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线与一个平面平行，也可以在平面内找一个向量及已知直线的方向向量是共线向量即可.即：直线及平面垂直量及平面的法向量共线直线的方向向直线的方向向量及平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直面面垂直第-5-页若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证u v，即证uv 0.面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面即：两平面垂直直。两平面的法向量垂4 4、利用向量求空间角、利用向量求空间角求异面直线所成的角求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A，C 及 B，Da,b所成的角为分别是a,b上的任意两点，二 面 角 的 平 面 角 是 指 在 二 面 角l 的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内作射线AO l,BO l，则AOB为二面角l 的平面角.如图：Al 的两个半平求法：求法：设二面角lOm、Bm、n，再设面的法向量分别为n的夹角为，二面角l 的平面角为，则n的夹角或其补角.二面角为m、，则求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角定义：定义：平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与这个平面所成的角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，即；如果是钝角，则cos cos mnm n，求法：求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线及平面所成的角为，a及u的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：求二面角求二面角定义：定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平即.5 5、利用法向量求空间距离、利用法向量求空间距离点点 QQ 到直线到直线l距离距离若 Q 为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点 Q到直线l距离为h 1(|a|b|)2(ab)2|a|点点 A A 到平面到平面的距离的距离若点P P为平面外一点，点MM为平面第-6-页内任一点，平面的法向量为n，则P 到平面的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.即d MP cos n,MP理：理：在平面内的一条直线，如果它与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直PO,O推理模式：PA A a PAa,a OA直线直线a及平面及平面之间的距离之间的距离当一条直线与一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即两平行平面两平行平面,之间的距离之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即异面直线间的距离异面直线间的距离设向量n及两异面直线a,b都垂直，M a,Pb,则两异面直线a,b间的距离d概括为：垂直于射影就垂直于斜线概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线垂直，那么它也与这条斜线的射影垂直PO,O推理模式：PA A a AOa,a AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7 7、三余弦定理、三余弦定理设 AC 是平面内的任一条直线，AD 是的一条斜线 AB 在内的射影，且 BDAD，垂足为 D.设 AB 及(AD)所成的角为1，AD 及 AC 所成的角为2，AB 及 AC 所成的角为则cos cos1cos2.8、面积射影定理面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为SS原，它在平面内的射影图形的面积为SS射，平面及平面所成的二面角的大小为锐二面角，则9 9、一个结论、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有l2l12l22l32cos21cos22cos231就是MP在向量n方向上投影的绝对值。即6 6、三垂线定理及其逆定理、三垂线定理及其逆定理 三三 垂垂 线线 定定POA第-7-页asin21sin22sin232.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.必修必修 5 5 数学知识点数学知识点第一章：解三角形第一章：解三角形1、正弦定理：（其中R为ABC外接圆的半径）用途：已知三角形两角与任一边，求用途：已知三角形两角与任一边，求其它元素；其它元素；已知三角形两边与其中一边的已知三角形两边与其中一边的对角，求其它元素。对角，求其它元素。2、余弦定理：用途：已知三角形两边及其夹角，求用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素；其它元素；已知三角形三边，求其它元素。已知三角形三边，求其它元素。1、数列中an及Sn之间的关系：注意通项能否合并。2、等差数列：定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项及它的前一项的差等于同一个常数，即anan1=d，（n2，nN），那么这个数列就叫做