线性代数—行列式展开定理.ppt

音乐音乐第三节第三节1、余子式与代数余子式、余子式与代数余子式2在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如345 n阶行列式阶行列式D=|aij|等于它的任意一等于它的任意一行行(列列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即即或或按第按第i行展开行展开按第按第j列展开列展开证略证略推论推论:若行列式某行若行列式某行(列列)的元素全为零的元素全为零,则行列式则行列式的值为零的值为零.(行列式展开定理行列式展开定理)6例例2 2设设7定理定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零余子式之和等于零,即即这是因为这是因为第第i行行第第j行行8同样同样,行列式对列展开行列式对列展开,也有也有则有则有92、行列式的计算、行列式的计算 计算行列式的基本方法：利用性质计算行列式的基本方法：利用性质5 5将某行将某行(列列)化出较多的零化出较多的零,再利用展开定理按该行再利用展开定理按该行(列列)展开展开.例例11011例例2 计算行列式计算行列式解解12 每行元素的和都相等每行元素的和都相等,把第二、三、四列都加把第二、三、四列都加到第一列到第一列,例例3 计算行列式计算行列式解解1314 按第一列展开按第一列展开,并由上、下三角形并由上、下三角形行列式得行列式得 例例4 计算计算n阶行列式阶行列式解解15例例5 计算计算n阶行列式阶行列式解解16每每列列加加到到第第一一列列17每每行行减减去去第第一一行行18例例6 计算计算n阶行列式阶行列式解解按第按第1 1列展开列展开，(1)19反复利用反复利用递递推公式得：推公式得：(2)由对称性由对称性，(1)式式又又可化可化为为 (1)(3)联联列列(2)(3),解得解得20而而代入得代入得21 证证用数学归纳法，用数学归纳法，例例7证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式2223 n-1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式24证毕证毕.25例如例如,26练习：练习：P28 习题一习题一27