25.2.1_锐角三角函数定义及性质.ppt
问题问题1 1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是度数是3030，为使出水口的高度为，为使出水口的高度为35m35m，那么需要准，那么需要准备多长的水管？备多长的水管？这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C90，A30，BC35m，求，求AB的长的长.ABC 思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情情境境探探究究 根据根据“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜角所对的直角边等于斜边的一半边的一半”，即，即ABC 在在RtABC中，中，C90，A30，BC35m，求，求AB的长的长.可得可得 AB=2BC=70m，即需要准备，即需要准备70m长的水长的水管管.在上面的问题中，如果使出水口的高度为在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于都等于 .ABC50m30mB C 即在直角三角形中，当一个锐角等于即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于边与斜边的比都等于 .如图，任意画一个如图，任意画一个RtABC，使使C90，A45，计算，计算A的对边与斜边的比的对边与斜边的比 ，你，你能得出什么结论？能得出什么结论？ABC 综上可知，在一个综上可知，在一个RtABC中，中，C90，一般地，当一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？对边与斜边的比是否也是一个固定值？当当A30时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；是一个固定值；当当A45时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值也是一个固定值.探索探索ABCABC 任意画任意画RtABC和和RtABC，使得，使得CC90，AA ，那么，那么 与与 有什么关系你有什么关系你能解能解释释一下一下吗吗？由于由于CC90，AA 所以所以RtABCRtABC驶向胜利的彼岸 这就是说，在直角三角形中，当锐角这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数的度数一定时，不管三角形的大小如何，一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与的对边与斜边的比都是一个固定值斜边的比都是一个固定值探索探索驶向胜利的彼岸 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角A的的对边与斜边的比叫做对边与斜边的比叫做A的正弦的正弦（sine），记作），记作sinA，即即例如，当例如，当A30时，我们有时，我们有当当A45时，我们有时，我们有ABCcab对边对边斜边斜边在图中在图中A的对边记作的对边记作aB的对边记作的对边记作bC的对边记作的对边记作c正弦正弦注意注意sinA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A的正的正弦，记号里习惯省去角的符号弦，记号里习惯省去角的符号“”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中三角形中A的对边与斜边的比；的对边与斜边的比；sinA不表示不表示“sin”乘以乘以“A”.驶向胜利的彼岸例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，求，求sinA和和sinB的值的值ABC34ABC135(1)(2)试着完成图（试着完成图（2）驶向胜利的彼岸1.再再Rt，Rt中，中，300，450，900，900，若，若，（）求（）求的对边与斜边的比值；的对边与斜边的比值；（）求（）求的对边与斜边的比值；的对边与斜边的比值；（）求（）求的对边与斜边的比值的对边与斜边的比值.在在Rt中，中，求求sinA和和sinB得值得值.13ABC34(1)（2）3.已知已知RtABC中，中，900.（1）若）若AC=4,AB=5,求求sinA与与sinB;（2）若）若AC=5,AB=12,求求sinA与与sinB;（3）若）若BC=m,AC=n,求求sinB.4.如图，在如图，在ABC中，中，AB=CB=5，sinA=，求，求ABC 的面积的面积.BAC55 小明在打网球时，击出一个直线球恰好擦网小明在打网球时，击出一个直线球恰好擦网而过，且刚好落在底线上，已知网球场的底线到而过，且刚好落在底线上，已知网球场的底线到网的距离（网的距离（OA）是）是12米，网高（米，网高（AC）是）是1米，击米，击球高度（球高度（BD）是）是2米，你能求出球飞行的距离吗米，你能求出球飞行的距离吗？（精确到？（精确到0.01米）米）若小明第二次击的若小明第二次击的直线球仍擦网而过直线球仍擦网而过且刚好落在底线上，且刚好落在底线上，击球高度（击球高度（B1 D1）是是3米这时球飞行的米这时球飞行的距离是多少米？距离是多少米？球的飞行直线与球的飞行直线与地面的夹角有变地面的夹角有变化吗？化吗？击球高度与球飞击球高度与球飞行的距离比值有行的距离比值有变化吗？变化吗？oABCD12m1m2mB1D13m新知探索新知探索:1.你能将你能将“其他边之比其他边之比”用比例的式用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？子表示出来吗？这样的比有多少？2.当锐角当锐角A确定时，确定时，A的邻边与斜边的比，的邻边与斜边的比，A的的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由出理由.方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相似三角形的性质来说明方法二：根据相似三角形的性质来说明.如图，在如图，在RtABC中，中，C90，ABC斜边斜边c对边对边a邻边邻边b我们把锐角我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的的 余弦余弦（cosine），记作），记作cosA，即即我们把锐角我们把锐角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的的 正切正切（tangent），记作），记作tanA，即即驶向胜利的彼岸余切的定义余切的定义:正切的倒数叫做正切的倒数叫做A的的余切,即即w在RtABC中,锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作cotA,即cotA=驶向胜利的彼岸注意注意cosA，tanA,cotA是一个完整的符号，它是一个完整的符号，它表示表示A的余弦、正切，记号里习惯省去角的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号的符号“”；cosA，tanA,cotA没有单位，它表示一个没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中比值，即直角三角形中A的邻边与斜边的的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；比、对边与邻边的比；cosA不表示不表示“cos”乘以乘以“A”，tanA不不表示表示“tan”乘以乘以“A”，“cot”不表示不表示“cot”乘以乘以“A“驶向胜利的彼岸 对于锐角对于锐角A的每一的每一个确定的值，个确定的值，sinA有有唯一确定的值与它对唯一确定的值与它对应，所以应，所以sinA是是A的函的函数数.同样地，同样地，cosA，tanA,cotA也是也是A的函的函数数.锐角锐角A的正弦、余弦、的正弦、余弦、正切、余切都叫做正切、余切都叫做A的的锐角三角函数锐角三角函数.cotA=ab=1.你能利用直角三角形的三边关系得到你能利用直角三角形的三边关系得到sinA与与 cosA的取值范围和关系吗？的取值范围和关系吗？0sin A1，0cos A1 3.tan A与与cot A之间有什么关系？之间有什么关系？tanA=cotA=sinA=cosA=tan Acot A=1 探探 索索 平方关系平方关系：sin2A+cos2A=12.如右图所示的Rt ABC中C=90，a=8，b=15，那么c=_sinA=cosA=tanA=cotA=思思思思 考考考考17互为倒数相 等同角的同角的同角的同角的正切与余正切与余正切与余正切与余切有何关系？切有何关系？切有何关系？切有何关系？互余两角的正弦互余两角的正弦互余两角的正弦互余两角的正弦与余弦有何关系与余弦有何关系与余弦有何关系与余弦有何关系？sinB=cosB=tanB=cotB=ABC815ABC6例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BC=6，求，求cosA和和tanB的值的值例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BC=2，AB=3，求，求A，B的正弦、余弦、正切值的正弦、余弦、正切值ABC23延伸：延伸：由上面的计算，你能猜想由上面的计算，你能猜想A，B的正弦、余弦值的正弦、余弦值有什么规律吗？有什么规律吗？结论结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦余弦等于它余角的正弦.练一练练一练1.判断对错判断对错:A10m6mBC1)如图如图(1)sinA=（）(2)cosB=（）(3)sinA=0.6m （）(4)SinB=4/5 （）sinAsinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，如图，cosB=（）2.2.在在RtABCRtABC中，锐角中，锐角A A的对边和斜边同时扩大的对边和斜边同时扩大 100100倍，倍，sinAsinA的值（的值（）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定C练一练练一练3.如图如图ACB37300则则 sinA=_cosA=_ .12补充练习补充练习 1.在等腰在等腰ABC中，中，AB=AC=5，BC=6，求，求sinB，cosB，tanB.ABCD补充练习补充练习2.如图所示，在如图所示，在ABC中，中，ACB90，AC=12，AB=13，BCM=BAC，求，求sin BAC和点和点B到直线到直线MC的距离的距离3.如图所示，如图所示，CD是是RtABC的斜边的斜边AB上的高，上的高，求证：求证：课堂小结1.三角函数：sinA sinA、cosAcosA、tanAtanA、cotAcotA都是锐角都是锐角A A的的三角三角函数函数.2.三角函数的性质0sin A1，0cos A1 tan Acot A=1 sin2A+cos2A=1作业作业
