《自动控制原理》3-6+线性系统的稳态误差分析.ppt

第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法项目内容教学目的理解稳态及稳态误差的概念，掌握其计算方法和计算结果，进而熟悉减小或消除稳态误差的措施。教学重点稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态误差，即表35；减小或消除稳态误差的措施。教学难点广义（动态）误差的概念和广义（动态）误差系数的计算方法，各种补偿措施。讲授技巧及注意事项表达式推导、图形显示和表格总结相辅相成。3-6 线性系统的稳态误差分析线性系统的稳态误差分析12/19/2022 稳定性、过渡过稳定性、过渡过程性能程性能(动态性能动态性能)和和稳态性能是我们分析稳态性能是我们分析系统、评价系统、改系统、评价系统、改善系统时所用的三类善系统时所用的三类重要衡量标准。重要衡量标准。12/19/20223-6控制系统的稳态误差系系统统响响应应的的稳态分量(例如tts的输出分量）反反映映了了系系统统跟踪给给定定控控制制信信号号或或希希望望输输出出信信号号的的准准确确度度或或抑抑制制扰扰动动信信号号的的恢复能能力力。通通常常用用稳稳态态误误差差来来衡衡量量。它它与与系系统统本本身身的的结结构构、参参数数及及外外作作用用的的形形式式有有关关，也也与与元元件件的的不不灵灵敏敏、零零点点漂漂移移、老老化化及及各各种种传传动动机机械械的的间间隙隙、摩摩擦擦等等因因素素有有关关。本本书书只只讨讨论论由由于于系系统统结结构构、参参数数及及外外作作用用等等因因素素所所引引起起的的稳态误差，即原理性误差。稳态误差，即原理性误差。给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差由给定输入引起的稳态误差）扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差由扰动输入引起的稳态误差）给给定定输输入入量量变变化化时时，要要求求系系统统输输出出量量以以一一定定的的精精度度跟随输输入入量量的的变变化化，因因而而用用给定稳态误差来来衡衡量量系系统统的的稳稳态态性性能能。给给定定输输入入量量不不变变时时，需需要要分分析析输输出出量量在在扰扰动动作作用用下下所所受受到到的的影影响响，因因而而用用扰动稳态误差来来衡衡量量系系统统的的稳稳态态性性能。能。原理性误差、给定稳态误差、扰动稳态误差。原理性误差、给定稳态误差、扰动稳态误差。12/19/2022R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35)step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35)step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35)从从图形中体会误差和稳态误差图形中体会误差和稳态误差理想值12/19/2022输入（理想值）K=5K=1K=0.3阶跃响应阶跃响应：稳态误差为零斜坡响应：稳态误差为常数t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)误差从图形中体会误差和稳态误差12/19/2022一、稳态误差的定义和基本概念系统的误差 e(t)的基本定义为输出量的希望值与实际值之差。典型系统结构如图所示，其误差定义有两种形式：（1）输出端定义法：式中：为系统输出量的希望值；C(t)为输出量的实际值。（2）输入端定义法：式中：r(t)为给定输入；b(t)为系统主反馈信号。H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)图典型反馈系统结构图1/H(s)-e(t)C(t)r(t)b(t)e(t)误差的定义12/19/2022希望情况下偏差信号希望情况下偏差信号E(S)0，则系统在输入信号作用下的希望输出为：则系统在输入信号作用下的希望输出为：对于扰动信号对于扰动信号N(s)而言而言,希望的情况就是扰动希望的情况就是扰动信号引起的输出为信号引起的输出为0（R=0，E=0）,即系统的即系统的希望输出希望输出Cn(t)一点都不受扰动的影响。一点都不受扰动的影响。“希望值希望值”的基本概念：的基本概念：希望的状态总之：一12/19/2022从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中 无法测量，因而，一般只有数学意义。而从系统输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规律一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望值 ，即 。此时，上述两种定义统一为 e(t)=r(t)-c(t)说明一12/19/2022对于非单位反馈系统，若设定义1的误差为 E(s),定义2的误差为E(s)，则E(s)与E(s)的关系如下：可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确确定定的的关系，即误差E(s)可以直接或间接地由 E(s)来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。在本书以后的讨论中，将采用第二种误差定义。E(t)通常也称为系统的误误差差响响应应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬瞬态态分分量量和稳稳态态分分量量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。说明一12/19/2022稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以 表示。基本公式注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、稳态误差等概念稳态误差等概念注意：注意：两种误差定义的统一性其关键在于反馈两种误差定义的统一性其关键在于反馈传递函数传递函数H(s)H(s)的确定性、可靠性、准确性。的确定性、可靠性、准确性。稳态误差的定义一12/19/2022R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35)C(t)=b(t)H(s)=1注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念单位反馈情况：单位反馈情况：从图形和公式中体会误差和稳态误差一12/19/2022R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),2),0:.01:35)C(t)r(t)=1(t)H(s)=2非单位反馈情况：非单位反馈情况：注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念从图形和公式中体会误差和稳态误差一12/19/2022注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念1.1.误差：误差：或或 一般意义；一般意义；2.2.误差响应：包括输入误差和干扰误差，也有具体误差响误差响应：包括输入误差和干扰误差，也有具体误差响应曲线的意思；应曲线的意思；3.3.稳态分量：稳态分量：tts tts 的的 全称：误差响应的全称：误差响应的稳态分量；稳态分量；4.4.瞬态分量：瞬态分量：tts tttsts后误后误差响应的变化关系；差响应的变化关系；6.6.稳态误差：稳态误差：7.7.心中一定要有开始给出的语言定义。心中一定要有开始给出的语言定义。一12/19/2022C(t)=b(t)R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)H(s)=1step(feedback(tf(8*0.0,1,conv(1,1,conv(1.67,1,3,1),1),0:.01:135)从图形和公式中体会误差和稳态误差一12/19/2022输入K=5K=1K=0.3阶跃响应阶跃响应：零稳态误差斜坡响应：稳态误差为常数指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)从图形和公式中体会误差和稳态误差一12/19/2022-1N(s)E(s)图e扰动单独作用的误差结构图+C(s)B(s)E(s)R(s)-图d输入单独作用的误差结构图C(s)B(s)R(s)-B(s)C(s)图b输入单独作用的系统结构图E(s)R(s)-B(s)+N(s)图a具有扰动输入作用的系统结构图C(s)E(s)N(s)C(s)图c扰动单独作用的系统结构图+B(s)-1E(s)研究稳态误差的不同问题所使用的不同结构图。一般形式特殊形式1特殊形式2特殊形式3特殊形式4注意：这种形式好用梅孙公式。注意：这种形式好用梅孙公式。一12/19/2022二、输入作用下的稳态误差 如果不计扰动输入的影响，只求系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图简化为。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)给定输入作用下系统结构图-注意分析的方法和思路准备12/19/2022由图可知由误差的定义可知式中称为给定输入作用下系统的误差传递函数。应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出计算系统的稳态误差的基本公式。想着梅逊公式基本公式E(s)R(s)-C(s)B(s)特殊形式3注意这里采用的是输注意这里采用的是输入侧定义的方法。入侧定义的方法。准备12/19/2022 在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于开环传递函数描述的系统结构。分析稳态误差与系统结构的关系，关键是根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节个数所规定的控制系统类型。设系统的开环传递函数一般形式为准备12/19/2022式中称为系统的开环放大倍数或开环增益（第二章中已经给出该公式）。开环传递函数的分类：以分母中串联的积分环节 个数 来定义开环传递函数的型。当 时，分别称系统为0型、1型、2型系统。而G(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。开环传递函数开环传递函数的一般形式：的一般形式：准备12/19/2022基本公式小结：紧紧围绕公式来研究。（1）（2）（3）（4）（5）准备12/19/2022令称 为稳态位置误差系数。稳态误差可表示为 因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置稳态误差。对于0型系统，1、单位阶跃输入时的稳态误差对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,由式（5）求得系统的稳态误差为讨论：注意方法和思路再用讨论法定义式基本公式 基本公式 开始12/19/2022对于1型系统（或高于1型的系统），可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标（如5）。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。说明：12/19/2022R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35)step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35)step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35)从图形中体会误差和稳态误差12/19/20222、单位斜坡输入时的稳态误差对于单位斜坡输入 ，此时系统的稳态误差为 令 称为稳态速度误差系数。于是稳态误差可表示为 因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。定义式基本公式 基本公式 12/19/2022对于0型系统，对于1型系统，再用讨论法12/19/2022对于2型系统（或高于2型的系统），上面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为 ，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需 ，也即系统必须有足够积分环节。说明：12/19/2022输入K=5K=1K=0.3阶跃响应阶跃响应：零稳态误差斜坡响应：稳态误差为常数指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)12/19/20223、单位抛物线输入时的稳态误差 对于单位抛物线输入 ，此时系统的稳态误差为 令 称 为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为 对于0型系统，于是稳态误差可表示为定义式基本公式 基本公式 12/19/2022对于1型系统，对于2型系统，12/19/2022对于3型系统（或高于3型的系统），以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为 ，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。说明：12/19/2022 t=0:.01:300;u=1/2*t.2;lsim(feedback(tf(0.001*conv(10,1,25,1),conv(1,0,conv(1,0,15,1),1),u,t)K=0.001,0.0005,0.0002误差12/19/2022 t=0:.01:100;u=1/2*t.2;lsim(feedback(tf(0.14*conv(8,1,4,1),conv(1,0,conv(1,0,6,1),1),u,t)K=0.14,0.04,0.0094误差12/19/2022 在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如表3-1所示。III系统类别静态误差系数阶跃输入斜坡输入r(t)=Rt加速度输入III表3-1输入信号作用下的稳态误差小结：12/19/20221.注意使用线性叠加原理。即给定输入信号增加多少倍，则稳态误差也增加相同的倍数；若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为则系统的总稳态误差为 2.稳态误差系数 、和 描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法，可以理解为稳态性能指标。提高开环放大系数 K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。说明：可以作为基可以作为基本公式。本公式。12/19/20223.由以上讨论可知，当 时，系统相对 的稳态误差为零，当 时，系统相对的稳态误差为零；当 时，系统相对的稳态误差为零。因此，当开环系统含有 个串联积分环节时，称系统对给定输入 r(t)是 阶无差系统，而 称为系统的无差度。例1 设图示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。解 由图求得系统的特征方程为R(s)-C(s)例1图系统结构图1.先判稳12/19/2022由特征方程列劳斯表 2 1+0.5K 3 K要使系统稳定，必须 K 0 ,1+0.5K 0 ,3(1+0.5K)2K 0解得 K 0，K-2，K 6所以，当0 K6时，系统将不稳定。（2）求稳态误差系数（3）求稳态误差3.说明：12/19/2022rt,info=routhtf(tf(6*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1)rt=24366060info=Allelementsinrow3arezeros;symstr=10+t;kpva,es=ess(tf(6*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1),r)kpva=inf,6,0es=5/6解法2：MATLAB辅助法12/19/2022t=0:.01:50;r=10+t;lsim(feedback(tf(2*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1),1),r,t);k=6,2,0.5,0.2,0.1,0.051;可视化误差12/19/2022三、扰动稳态误差 控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。N(s)C(s)图c扰动单独作用的系统结构图+B(s)-1E(s)-1N(s)E(s)图e扰动单独作用的误差结构图+C(s)B(s)R(s)-B(s)+N(s)图a扰动输入作用下系统结构图C(s)化成便于观察的形式R(s)=012/19/2022 扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。下面根据线性系统的叠加原理，以图3-25所示系统来讨论由扰动输入所产生的稳态误差。按照前面给出的误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为而此时系统的输出为想着梅孙公式N(s)C(s)图c扰动单独作用的系统结构图+B(s)-1E(s)12/19/2022式中称为扰动输入作用下系统的误差传递函数。此时，系统的稳态误差为所以可以比照着给定输入情况的讨论对扰动输入进行同样的讨论。-1N(s)E(s)+C(s)B(s)12/19/2022例2 设控制系统如图3-26所示，其中给定输入 ，扰动输入（和 均为常数），试求系统的稳态误差。12/19/2022解 当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用 时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为所以给定稳态误差为R(s)-+N(s)图3-26例2系统结构图C(s)12/19/2022令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递 函数为 所以扰动稳态误差为 由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节G1(s)的放大系数（即 ），可以减小系统的扰动稳态误差。该系统总的稳态误差为12/19/2022为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图3-26中 给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即 12/19/2022 系统总的稳态误差为 比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前G1(s)的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前(即G1(s)中）。12/19/2022误差分析误差分析1 误差定义误差定义G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)输输入入端定义：端定义：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)输输出出端定义：端定义：E(s)=C希希-C实实=-C(s)R(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)=R(s)-C(s)G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希希-C实实=Cn(s)总误差怎么求？总误差怎么求？12/19/20222 例题例题求图示系统的稳态误差求图示系统的稳态误差ess。2R(s)C(s)N(s)0.2s+11s(s+1)2其中其中 r(t)=t,n(t)=-1(t)解：解：令令n(t)=0,Er(s)=-C(s)R(s)H(s)=s(s+1)(0.2s+1)+40.5s(s+1)(0.2s+1)s2.1因为系统稳定，所以因为系统稳定，所以essr=limsEr(s)=s0令令r(t)=0,En(s)=-Cn(s)=s(s+1)(0.2s+1)+4 2(0.2s+1)s.1essn=limsEn(s)=21s0总误差总误差ess=essr+essness=8121+85=8112/19/2022设开环传递函数设开环传递函数G(s)H(s)=k (is+1)i=1 ms (Tjs+1)j=1n-G0H03 系统型别系统型别注意：注意：s 0时，时，G0H0一定一定1此时的此时的k为开环增益为开环增益s表示开环有表示开环有个个极点在坐标原点极点在坐标原点=0称为称为0型系统型系统称为称为型系统型系统称为称为型系统型系统称为称为型系统型系统=1=2=312/19/2022 对于非单位反馈系统，当H（s）为常数时，以上分析的有关结论同样适用。前面定义了相对于给定输入的无差度，同样也可以定义相对于扰动输入的无差度。当系统的 中含有 个串联的积分环节时称系统相对于扰动输入是 阶无差系统，而 称为系统相对于扰动输入的无差度。对本例中的前一种情况，系统对扰动输入的无差度为0，而后一种情况，系统对扰动的无差度是1。显然，当谈及一个系统的无差度时应指明系统对哪一种输入作用而言，否则，可能会得出错误的结论。12/19/2022四、减小或消除稳态误差的方法 前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定。为了进一步减小系统稳态误差，还可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量（扰动必须是可以测量的），加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。12/19/2022在下图所示系统中，为了消除由r(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置 加到系统控制量中。此时系统误差信号的拉氏变换式为经整理得 显然，如果选择补偿装置的传递函数为则系统的给定稳态误差为零。R(s)E(s)C(s)-+按给定输入补偿的复合控制注意：用梅逊公式可以直接写出传递函数12/19/2022 在下图所示系统中，为了消除由n(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置 加到系统中，若设r(t)=0，则系统的输出-C(s)就是系统的误差信号。系统输出的拉氏变换式为经整理得 显然，如果选择补偿装置的传递函数为 R(s)N(s)E(s)-+C(s)A图3-28按扰动输入补偿的复合控制提问：E(s)应该放在a还是b处？为什么？ab要用好直接使用梅逊公式得到传递函数和输出表达式的基本功。12/19/2022则可使输出不受扰动n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。从直观上看，当满足 时，扰动信号经两条通道到达A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证明（有条件），前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变（前边的传递函数可直接看出），因此，系统的稳定性将不会发生变化。12/19/2022五、动态误差及动态误差系数方法 前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解输出响应在进入稳态（tts)后变化的规律如何。这些问题用前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。（以给定稳态误差为例）根据定义误差信号的拉氏变换式为：将误差传递函数e（s）在s=0的邻域内展开成泰勒级数，得12/19/2022得误差信号拉氏变换的一般表达式为：在零初始条件下，对上述级数求拉氏反变换，得稳态误差随时间变化得函数关系如下：定义为动态误差系数。12/19/2022 特别称C0为动态位置误差系数；C1为动态速度误差系数；C2为动态加速度误差系数。说明：1.“动态”二字的含意是指这种方法可以完整描述系统稳态误差ess(t)随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量变化的情况。因为上边的误差计算式只是在时间趋于无穷时才成立。2.如果输入信号r(t)中包含有随时间增长而趋于零的分量，则这一输入分量不应包含在误差级数中的输入信号及其各阶导数之内。12/19/2022动态误差系数的计算方法：动态误差系数的计算方法：1.多项式除法：多项式除法：1）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列；）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列；2）用多项式除法逐项求出）用多项式除法逐项求出C0,C1,C2,2.泰勒公式直接求取法：利用定义式逐个计算。泰勒公式直接求取法：利用定义式逐个计算。3.MATLAB辅助计算法：使用函数：辅助计算法：使用函数：taylor,taylortool.cof,fn,E=trerror(tfge,r,n),(动态误差及动态误差系数计动态误差及动态误差系数计算算）kpva,Ess=ess(tf,r)。（。（典型信号及其组合的稳态误差）典型信号及其组合的稳态误差）12/19/2022例：已知单位反馈系统的开环传递函数为：系统一：系统二：求动态误差系数。解：根据公式得：12/19/2022用长除法系统一：系统一动态误差系数：C10=0C11=0.1C12=0.09C13=-0.01912/19/2022用长除法系统二：系统二动态误差系数：C20=0C21=0.1C22=0.19C23=-0.03912/19/2022tfge=tf(1,1,0,1,1,10)r=1cof,fn,E=trerror(tfge,r,5)用MATLAB法:12/19/2022Transfer function:s2+s-s2+s+10 r=1cof=0 0.1000 0.0900 -0.0190 -0.0071fn=1/10*s+9/100*s2-19/1000*s3-71/10000*s4 E=1/10*Dirac(t)+9/100*Dirac(1,t)-19/1000*Dirac(2,t)-71/10000*Dirac(3,t)结果：12/19/2022稳态误差小结：1.公式小结（1）（2）（3）（4）（5）（1）基本公式给定输入单独作用时12/19/2022扰动单独作用时给定输入和扰动共同作用时（6）（7）（8）（9）（10）（11）12/19/2022III系统类别静态误差系数阶跃输入斜坡输入r(t)=Rt加速度输入III表3-1输入信号作用下的稳态误差（2）导出公式12/19/20222.方法小结：根据基本公式和各种典型输入型号进行讨论。3.消除稳态误差的方法小结：（1）重点集中在前向通路最前端的传递函数中（如G1(s)中）。措施：a.增加稳态增益；b.增加积分环节的个数；（2）使用给定前馈补偿和扰动前馈补偿近似消除部分已知和可测信号造成的稳态误差。12/19/20224.稳态误差的计算方法稳态误差的计算方法(1).拉氏变换的终值定理拉氏变换的终值定理 当输入信号为当输入信号为 时时,可用可用终值定理计算静态误差终值定理计算静态误差,谐波谐波(正弦正弦,余弦余弦)输入时不能应用此定理。输入时不能应用此定理。(2).根据误差定义求稳态误差的方法根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数求误差响应传递函数12/19/2022b.误差响应的象函数误差响应的象函数c.误差响应的原函数误差响应的原函数d.求极值求极值 即为稳态误差。即为稳态误差。如系统同时存在输入信号和扰动信号如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系则系统误差的求法如下：统误差的求法如下：R(s)N(s)E(s)+12/19/2022为系统对输入信号的误差传递函数为系统对输入信号的误差传递函数,为系统对扰动信号的误差传递函数为系统对扰动信号的误差传递函数。则则:12/19/2022作业：3-15，3-1612/19/2022例例:已知系统的结构图如下已知系统的结构图如下,试求系统在输试求系统在输入信号入信号r(t)=t和扰动信号和扰动信号n(t)=-1(t)同时同时作用下系统的稳态误差作用下系统的稳态误差ess举例：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)12/19/2022解解:理想情况偏差信号理想情况偏差信号E(S)0，则系统在输入信号作用下的希望输出为：则系统在输入信号作用下的希望输出为：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)注意：这里又是一种有意义的推导方法，即按输出定义的误差进行推导的方法12/19/2022对于扰动信号对于扰动信号N(s)而言而言,理想的情况就是扰动理想的情况就是扰动信号引起的输出为信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。不受扰动的影响。系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为出为:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)12/19/2022则则R(s)和和N(s)引起的系统误差引起的系统误差为为:用梅逊公式理解12/19/2022在本题中在本题中,首先要判断系统的稳定性首先要判断系统的稳定性,如果系如果系统不稳定统不稳定,不可能存在稳态误差。特征方程为不可能存在稳态误差。特征方程为:12/19/2022即即:所以系统稳定。所以系统稳定。根据推导出的公式根据推导出的公式:根据胡尔维茨判据12/19/2022系统的误差与系统的结构有关系统的误差与系统的结构有关,还与外作用还与外作用(输入信号输入信号,扰动扰动)的大小及形式有关。的大小及形式有关。注意：本例题给出了计算稳态误差的定义方法。注意：本例题给出了计算稳态误差的定义方法。12/19/2022例例:控制系统的结构图为控制系统的结构图为 试分别求出试分别求出H(s)=1和和H(s)=0.5时系统的稳态时系统的稳态误差。误差。-注意：本例题直接使用公式法。注意：本例题直接使用公式法。12/19/2022解解:当当H(s)=1时时,系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为则系统稳态误差则系统稳态误差当当H(s)=0.5时时,12/19/2022 若上列在若上列在H(s)=1时时,系统的允许误差为系统的允许误差为0.2,问问开环增益开环增益k应等于多少应等于多少?当当 时时,上例的上例的稳态误差又是多少稳态误差又是多少?因为因为0型系统在速度输入和加速度输入下的型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大稳态误差为无穷大,根据叠加原理根据叠加原理,ess=12/19/2022扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引实质上就是扰动引起的稳态输出的负值起的稳态输出的负值,它与开环传递函数它与开环传递函数 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号及扰动信号N(s)有关有关,还与扰动作用点的位置有关。还与扰动作用点的位置有关。r(t)=0-C(t)(a)12/19/2022r(t)=0-C(t)(b)注意：这里用心算法。12/19/2022 作用点不同作用点不同,稳态误差也不同。稳态误差也不同。在扰动作用点之前的前向通路中增加一个在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用积分环节用 （比例积分调节器）（比例积分调节器）代替代替r(t)=0-C(t)(b)12/19/2022 提高扰动作用点前的积分环节个数和增益提高扰动作用点前的积分环节个数和增益,可可以减小或消除扰动引起的稳态误差以减小或消除扰动引起的稳态误差,但同样会但同样会降低系统的稳定性。降低系统的稳定性。综上所述综上所述,为了减小输入信号引起的稳态误差，为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益。可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益。12/19/2022 为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾。为此我们用下列方法减小和消除稳态兼顾。为此我们用下列方法减小和消除稳态误差误差。12/19/2022例例:系统输出系统输出:-R(s)=0N(s)C(s)补偿装置补偿装置放大器放大器滤波器滤波器注意：这个例子就是一个典型的调速例子。注意用梅孙公式思考。12/19/2022 若选若选 则系统的输出不受扰动的影则系统的输出不受扰动的影响响,但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。如果选如果选 则在稳态情况下则在稳态情况下,这就是稳态全补偿这就是稳态全补偿,实现很方便。实现很方便。12/19/2022同样同样,全补偿也难以实现全补偿也难以实现,通常采用稳态补偿通常采用稳态补偿的方法来减小或消除系统在输入信号作用下的方法来减小或消除系统在输入信号作用下的稳态误差。的稳态误差。12/19/2022不引入补偿装置，则系统开环传递函数不引入补偿装置，则系统开环传递函数 为为型系统型系统,所以在速度输入信号作用下所以在速度输入信号作用下,存存在常值稳态误差在常值稳态误差12/19/2022引入按输入补偿的作用引入按输入补偿的作用Gr(s),则则如果选如果选 则则但但 在物理上难以实现。在物理上难以实现。12/19/2022如果取如果取 ,则则这样即实现稳态补偿。这样即实现稳态补偿。12/19/2022谢谢！结束12/19/2022