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高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y 元素的无序性:如：a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示：,如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或 N+整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 列举法：a,b,c,描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR|x-32,x|x-32 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn 图:4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：BA有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 AB 或 BA 2“相等”关系：A=B(55，且 55，则 5=5)实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1“元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。A A 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作AB(或 BA)如果A B,BC,那么AC 如果 AB 同时BA 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1 个真子集%Z二、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成立问题的求解策略4、反函数的几种题型及方法5、二次函数根的问题一题多解&指数函数y=ax aa*ab=aa+b(a0,a、b 属于 Q)(aa)b=aab(a0,a、b 属于 Q)(ab)a=aa*ba(a0,a、b 属于 Q)指数函数对称规律：1、函数 y=ax 与 y=a-x 关于 y 轴对称2、函数 y=ax 与 y=-ax 关于 x 轴对称3、函数 y=ax 与 y=-a-x 关于坐标原点对称&对数函数y=logax 如果0a，且1a，0M，0N，那么：1Ma(log2)NMalogNalog；2NMalogMalogNalog；3naMlognMalog)(Rn注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）幂函数 y=xa(a 属于 R)1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增函数 特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点3、函数零点的求法：1（代数法）求方程0)(xf的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点三、平面向量向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量相等向量：长度相等且方向相同的向量&向量的运算加法运算AB BC AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点O 出发的两个向量OA、OB，以 OA、OB 为邻边作平行四边形OACB，则以 O 为起点的对角线OC 就是向量OA、OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0aa0a。|ab|a|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，(a)a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a(a)(a)a0（2）aba(b)。数乘运算实数 与向量 a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，|a|a|，当 0 时，a 的方向和 a 的方向相同，当 0 时，a 的方向和 a 的方向相反，当=0 时，a=0。设、是实数，那么：（1）()a=(a)（2）()a=a a（3）(a b)=a b（4）()a=(a)=(a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a|b|cos 叫做 a与 b 的数量积或内积，记作 a?b，是 a 与 b的夹角，|a|cos（|b|cos）叫做向量a在 b 方向上（b 在 a 方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a?b的几何意义：数量积a?b等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。四、三角函数1、善于用“1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数向量综合题例析5、三角函数中的数学思想方法15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R函数性质yoX丰31+最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，m in1y当2xkk时，m ax1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴必修四角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk=-Z)n:31+eZ31+31=(e Z)31n=:=(Z)31nn71n31+nJ(5Z)n3i31n%-71+(e z)31+3131(e z).TJ T3131+(Z)(e z)(eZ)n3TJ(e z)=n(Z)I3131j(e Z)(Z)31+_aot0(|T+z)aO十ccZfa*%ooo*zaot*。+Ooezcot终边在x轴上的角的集合为180,kk终边在y轴上的角的集合为18090,kk终边在坐标轴上的角的集合为90,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、已知是第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度口诀：奇变偶不变，符号看象限公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：设 为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角 与-的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tan仏I-z仏I十-ZaZ)P|PZi-()acot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2 及 3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上 kZ)其他三角函数知识：同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tan?cot1 sin?csc1 cos?sec1 商的关系：sin/costan sec/csccos/sincot csc/sec平方关系：sin2()cos2()1 1tan2()sec2()1cot2()csc2()两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsintantantan（）1tan?tantantantan（）1tan?tan倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin22sin coscos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()2tantan21tan2()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1cossin2(/2)2 1coscos2(/2)2 1costan2(/2)1cos万能公式万能公式2tan(/2)sin1tan2(/2)1tan2(/2)cos1tan2(/2)2tan(/2)tan1tan2(/2)和差化积公式三角函数的和差化积公式 sinsin 2sin-?cos-2 2 sinsin 2cos-?sin-2 2 coscos2cos-?cos-2 2 coscos 2sin-?sin-2 2 积化和差公式三角函数的积化和差公式sin?cos0.5sin（）sin（）cos?sin0.5sin（）sin（）cos?cos0.5cos（）cos（）sin?sin0.5cos（）cos（）5 平面解析几何初步两点距离公式：根号(x1-x2)2+(y1-y2)2 中点公式：X=(X1+X2)/2 Y=(Y1+Y2)/2 直线的斜率倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率.通常用 k 来表示，记作：k=tga(0 a180且 a90)倾斜角是90的直线斜率不存在，倾斜角不是90的直线都有斜率并且是确定的点斜式:y-y1=k(x-x1)；斜截式：y=kx+b；截距式：x/a+y/b=1 直线的标准方程：Ax+Bx+C=0 圆的一般方程：x2 y2DxEyF 0 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 2 表示平方圆与圆的位置关系：1 点在圆上(点到半径的距离等于半径)点在圆外(点到半径的距离大于半径)点在圆内(点到半径的距离小于半径)2(1)相切:圆心到直线的距离等于半径(2)相交:圆心到直线的距离小于半径(3)相离:圆心到直线的距离大于半径3 圆的切线是指垂直于半径,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点4 圆心距为 Q 大圆半径为R 小圆半径为r 两圆外切Q=R+r 两圆内切Q=R-r(用大减小)两圆相交QR+r 两圆内含Qr,反之 dr 则相离,相切则 d=r,反之 d=r 则相切,相交则 dr,反之 d=2 时 有 Sn=3an+2,1 式S(n-1)=3a(n-1)+2（括号代表下标下同）,2 式1 式-2 式 得 an=3an-3a(n-1)【an=Sn-S(n-1)】所以3a(n-1)=2an an=3/2a(n-1)所以 an 是以-1 为首项以 3/2 为公比的等比数列2 已知等差数列AN 的前N 项和为SN，且A3=5，S15=225.数列 BN 是等比数列，B3=A2+A3，B2B5=128.（1）求数列 AN 的通项 AN 及数列 BN 的前 9 项的和 T9 解1.设等差数列an 的首项为 a1,公差为 d；等比数列首项b1,公比为 q a3=a1+2d=5 s15=(a1+a15)*15/2=(a1+a1+14d)*15/2=225 解出 a1=1 d=2 所以数列an 通项公式an=a1+(n-1)d=2n-1 可以求出a2=3,a3=5,所以 b3=8 b3=b1q2=8 b2b5=(b1q)*(b1q4)=b12*q5=128 解出 b1=1 q=2 所以 bn=b1*q(n-1)=2(n-1)tn=a1(1-qn)/(1-q)=2n-1 所以 t9=29-1=511 11 不等式不等式(inequality)用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如2x2y2xy，sinx 1，ex 0，2x3等。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如 lg(1x)x 是超越不等式。通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，,，z)G(x，y，,，z)（其中不等号也可以为，中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。不等式的最基本性质有：如果xy，那么 yx；如果 yx，那么 xy；如果xy，yz；那么 xz；如果x y，而 z 为任意实数，那么xzyz；如果 xy，z0，那么 xzyz；如果xy，z0，那么 xzyz。由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有：柯西不等式：对于2n 个任意实数x1，x2，,，xn 和 y1，y2，,，yn，恒有（x1y1x2y2,xnyn）2（x12x22,xn2）（y12y22,yn2）。排序不等式：对于两组有序的实数x1x2,xn，y1 y2,yn，设yi1，yi2，,，yin 是后一组的任意一个排列，记Sx1ynx2yn-1,xny1，Mx1yi1x2yi2,xnyin，Lx1y1x2y2,xnyn，那么恒有SML。根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：不等式F（x）G（x）与不等式G（x）F（x）同解。如果不等式F（x）G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，那么不等式F（x）G（x）与不等式F（x）H（x）G（x）H（x）同解。如果不等式F（x）G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）0，那么不等式F(x)G（x）与不等式H（x）F（x）H（x）G（x）同解；如果H（x）0，那么不等式F（x）G（x）与不等式H(x)F（x）H（x）G（x）同解。不等式F（x）G（x）0 与不等式同解；不等式F（x）G（x）0 与不等式同解。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“”“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“”“”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.如:甲大于乙(甲 乙),就是一个不等式.不 等式不一定只有 ,0,即AB.又同理可证:AC,AD.所以,A 最大.不等式是不包括等号在内的式子比如：（不等号大于等于号，小于等于号）只要用这些号放在式子里就是不等式咯1.符号：不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。2.确定解集：比两个值都大，就比大的还大；比两个值都小，就比小的还小；比大的大，比小的小，无解；比小的大，比大的小，有解在中间。三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。3.另外，也可以在数轴上确定解集：把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。1.不等式的基本性质:性质 1:如果 ab,bc,那么 ac(不等式的传递性).性质 2:如果 ab,那么 a+cb+c(不等式的可加性).性质 3:如果 ab,c0,那么 acbc;如果 ab,cd,那么 a+cb+d.性质 5:如果 ab0,cd0,那么 acbd.性质 6:如果 ab0,nN,n1,那么 anbn,且.性质 7:如果 a等于 b cb 那么 c 大于等于a 均值不等式A+B/2=根号下 ab a+b=2 倍根号下ab(a0,b0)当且仅当a=b 时，式中等号成立一元二次不等式含有一个未知数且未知数的最高次数为2 次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c=0 时，二次三项式，ax2+bx+c 有两个实根，那么ax2+bx+c 总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。还是举个例子吧。2x2-7x+60 利用十字相乘法2x 3 1x 2 得（2x-3)(x-2)0 然后，分两种情况讨论：一、2x-30 得 x2。不成立二、2x-30，x-21.5 且 x2。得最后不等式的解集为：1.5x2。另外，你也可以用配方法解二次不等式：2x2-7x+6=2(x2-3.5x)+6=2(x2-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x2-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)2-0.1250 2(x-1.75)20.125(x-1.75)20.0625 两边开平方，得x-1.75-0.25 x1.5 得不等式的解集为1.5x2 一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解通过看图象可知，二次函数图象与轴的两个交点，然后根据题目所需求的或例题为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2003 年 1 月起进行居民峰谷用电试点，每天 8：00 至 22：00 用电千瓦时0.56 元(“峰电”价),22：00 至次日 8：00 每千瓦时0.28 元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53 元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?分析：本题的一个不等量关系是由句子“当峰电用量不超过每月总电量的百分之几时,使用峰谷电合算”得来的，文中带加点的字“不超过”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题.解:设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x 时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y.依题意得0.56xy+0.28y(1 x)0.53y.解得 x89答：当“峰电”用量占每月总用电量的89时，使用“峰谷”电合算例：生产安排模型：某工厂要安排生产、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗，如表所示，表中右边一列是每日设备能力及原材料供应的限量，该工厂生产一单位产品可获利2 元，生产一单位产品可获利3 元，问应如何安排生产，使其获得最多？解：1、确定决策变量：设x1、x2 为产品、的生产数量；2、明确目标函数：获利最大，即求2x1+3x2 最大值；3、所满足的约束条件：设备限制：x1+2x28 原材料 A 限制：4x116 原材料 B 限制：4x212 基本要求：x1,x20 用 max 代替最大值，s.t.（subject to 的简写）代替约束条件，则该模型可记为：max z=2x1+3x2 s.t.x1+2x2 8 4x116 4x212 x1,x20