固体电子学导论5.6.ppt

第六章第六章金属自由电子论金属自由电子论重庆邮电大学光电工程学院杨虹金属为什么易导电、导热？金属为什么易导电、导热？显然是自由电子！古人怎么知道！？显然是自由电子！古人怎么知道！？金属导电的本质为金属中传导电子运动金属导电的本质为金属中传导电子运动,这有别于固体中的离子导电或缺陷导电这有别于固体中的离子导电或缺陷导电,电子可以从一种金属流到另一种金属，电子可以从一种金属流到另一种金属，而金属材料的物理、化学性质不被改变。而金属材料的物理、化学性质不被改变。但离子或缺陷导电则办不到。但离子或缺陷导电则办不到。金属一般有高的电导率、热导率、高强金属一般有高的电导率、热导率、高强度和有光泽度和有光泽,其共性是有非局域电子（在其共性是有非局域电子（在1023/cm3）,与原子密度相当。与原子密度相当。引言引言1780年年,伽伐尼发明伏打电池伽伐尼发明伏打电池,1820年年,奥斯特奥斯特:对对Cu和和BaO的电导率的电导率分别为分别为:=106和和10-12(cm)-1.发现：发现：对金属对金属,0;对半导体对半导体0。1831年年,电磁感应现象。电磁感应现象。1833年年,法拉第观察到法拉第观察到 EF0EEF001f(E)T0图图6.1,费米分布函数费米分布函数f（E，0）电子密度函数电子密度函数N（E，0）N（E）显然，显然，0K时，时，EF0是最高能级，大于是最高能级，大于EF0的能态无电子占据，空态的能态无电子占据，空态由（由（6.2）得系统电子总数：）得系统电子总数：N=0 dN=0EF0f(E,0)*N(E)dE=0EF0N(E)dE再再由（由（5.105）得：）得：自由电子密度自由电子密度金属：金属：n：1028 cm3EF0 几个几个eV（6.3）P193自由电子系统中每个电子的平均能量自由电子系统中每个电子的平均能量（p194公式公式6.5）物理含义：物理含义：p194(6.5)下段描述下段描述.（二）（二）.T0时费密分布特点：时费密分布特点：在在大于大于EF一个一个KBT的能级尚有少许电子占据的能级尚有少许电子占据费米函数费米函数图图6.1电子密度电子密度N（E，T）由于泡利不相容原理，只有那些在费米能级附近由于泡利不相容原理，只有那些在费米能级附近kBT范围内的电子才受到激发，而它们所获得的范围内的电子才受到激发，而它们所获得的能量也在能量也在kBT量级。量级。（三）费米面（三）费米面定义：波矢空间中，能量为费定义：波矢空间中，能量为费米能的等能面，称为费米面。米能的等能面，称为费米面。费米能费米能 费米半径费米半径 费米速度费米速度 费米动量费米动量KxKyKyKzKzkF费米面费米面金属自由电子金属自由电子的等能面的等能面TF=EF0/KB费米温度，费米温度，EF为为TF时的热能时的热能EF全作为电子动能全作为电子动能费米面的物理意义：费米面的物理意义：0K时：费米面内的全部电子态都被电子占时：费米面内的全部电子态都被电子占据，最低基态，球外电子态全空。据，最低基态，球外电子态全空。温度升高时（温度升高时（T0K），），声子的能量转移到声子的能量转移到电子，费米面内电子，费米面内kBT范围内的电子被激发到范围内的电子被激发到费米球面外，费米球面外，少量。少量。被激发的电子数目占总电子数目的被激发的电子数目占总电子数目的kBT/EF0，常温下金属中为常温下金属中为1/100.只有费米面附近少数电子才是自由电子只有费米面附近少数电子才是自由电子,才才对比热、电导、热导有贡献，能量对比热、电导、热导有贡献，能量 0时，只有在费米面时，只有在费米面附近几个附近几个kBT的电子受热激发，对电子热容的电子受热激发，对电子热容量的贡献主要来自费米面附近厚度量的贡献主要来自费米面附近厚度kBT的的一层电子。一层电子。电子比热的计算电子比热的计算自由电子的平均能量自由电子的平均能量自由电子的摩尔比热自由电子的摩尔比热(6.5)(6.12)问题:一个电子的比热?除以阿数!即(6.13,P197)电子比热与经典结果比较：电子比热与经典结果比较：（1）数值大小低两个数量级）数值大小低两个数量级（2）预见了电子比热与温度成正比）预见了电子比热与温度成正比,符合实验结果符合实验结果不同温度时的金属比热：不同温度时的金属比热：（1）高温）高温/室温室温(T德拜温度德拜温度)时，电子比热与晶格时，电子比热与晶格比热之比比热之比kBT/EF0，约为约为10-2量级，金属比热用量级，金属比热用晶格比热代替晶格比热代替,电子比热忽略电子比热忽略.（2）低温时，温度下降，电子比热与晶格比热之）低温时，温度下降，电子比热与晶格比热之比增加，电子比热不容忽略。比增加，电子比热不容忽略。*参见参见P197之描述之描述低温时金属比热：低温时金属比热：为电子的比热系数为电子的比热系数（p198图图6.3）,上式为线性关系上式为线性关系(y=kx+b)(6.14)(6.14)二二金属的电导金属的电导简介简介P211当外电场当外电场 0时，系统的总电流为时，系统的总电流为0,j=当当 0时，电子的定向运动可看成两个过程：时，电子的定向运动可看成两个过程：v 电子在电场电子在电场 的的 作用下作加速运动；作用下作加速运动；v 电子由于碰撞而失去定向运动。电子由于碰撞而失去定向运动。电子由于碰撞电子由于碰撞(散射散射)而失去其定向运动而失去其定向运动,产生电阻产生电阻,使电流恒使电流恒定。定。电子只在两次散射之间才被加速电子只在两次散射之间才被加速!问题问题:电子在外场力作用下电子在外场力作用下,不断加速不断加速v,电流电流j=|nev|,P137(4.48),j无限增大无限增大!矛盾矛盾!实际情况实际情况j基本恒定基本恒定,为什么为什么?三三金属的热导，简介金属的热导，简介P220主要是费米面附近的电子的贡献主要是费米面附近的电子的贡献.金属的热导：声子和电子贡献之和，其中声金属的热导：声子和电子贡献之和，其中声子贡献小可忽略子贡献小可忽略,主要是电子贡献主要是电子贡献.条件条件:温度梯度存在温度梯度存在电子热导率电子热导率(.138)同声子同声子5.4功函数和接触电势差功函数和接触电势差P198一、功函数和热电子发射一、功函数和热电子发射：功函数（或脱出功）功函数（或脱出功）EF附近电子克服势垒逸出金属的能量附近电子克服势垒逸出金属的能量热电子发射：热电子发射：在一定温度下，在一定温度下，电子逸出金属的现象。电子逸出金属的现象。热电子发射电流：热电子发射电流：（6.33）P202里查孙里查孙Richardson定律定律二二接触电势差接触电势差定义（定义（p198）：）：任意两种不同金属任意两种不同金属A和和B接触，会带有电荷并接触，会带有电荷并分别产生电势分别产生电势VA和和VB，这种电势称为接触电势。为什么？这种电势称为接触电势。为什么？形成过程：形成过程：本质：材料不同费米能级不同，本质：材料不同费米能级不同，功函数不同。电子功函数不同。电子总是从总是从EF高处向高处向EF低处流动低处流动(或高浓度向低浓度处流动或高浓度向低浓度处流动)，使，使A、B的的EF拉平相等，使化学势相等，使系统能量降低，维持平衡，则使拉平相等，使化学势相等，使系统能量降低，维持平衡，则使A、B分别带正负电荷，产生电势差。分别带正负电荷，产生电势差。大小（大小（p199公式公式6.23,6.25）：）：VA-VB=(B-A)/e,功函数可以用费米能功函数可以用费米能替换替换金属和半导体的接触。金属和半导体的接触。例.求一维单原子链金属的能态密度g(E)和EF0.解：见P193，P176 能态密度定义/色散关系：g(E)=dZ/dE (能量间隔E到E+dE中的量子态数)。由自由电子能量E=h2k2/2m,得k=(2mE/h2)1/2 得：dK=(2m/h2)1/2 (E)-1/2 dE,由第三章E到E+dE间状态数为：dZ=L/dK=L (2m)1/2/(h)(E)-1/2 dE.g(E)=dZ/dE=L (2m)1/2/(h)(E)-1/2 (所求)。E区间的电子数目：dN=f(E)g(E)dE.又0K时，EF0是最高能量，费米函数f(E)=1.N=0 EF0 g(E)dE=0 EF0 L (2m)1/2/(h)(E)-1/2 dE =2L (2m EF0)1/2/(h2)得：EF0=（N h）2/8mL2=(n h)2/8m.其中n=N/L(电子浓度)。第五章结束第五章结束预习第六章预习第六章第五章第五章能带理论能带理论能带论的基本出发点能带论的基本出发点:晶体电子结构的内涵是电子的能级以及它们在空间和动量空晶体电子结构的内涵是电子的能级以及它们在空间和动量空间的分布。表征、计算和实验观测电子结构是固体物理学间的分布。表征、计算和实验观测电子结构是固体物理学的核心问题。的核心问题。原则上讲，通过研究电子结构可以进一步解释或预言许多其原则上讲，通过研究电子结构可以进一步解释或预言许多其它物理的性质。它物理的性质。晶体电子结构的晶体电子结构的ab-initio理论研究开始于理论研究开始于20世纪世纪50年代后年代后期，至今已在固体理论的研究中占有重要地位。期，至今已在固体理论的研究中占有重要地位。ab-initio是拉丁文从头开始的意思，寓意在理论处理过程中，是拉丁文从头开始的意思，寓意在理论处理过程中，原则上不用实验数据，不用或尽可能少用近似方法，直接原则上不用实验数据，不用或尽可能少用近似方法，直接从第一（性）原理（从第一（性）原理（Schrodinger方程或方程或Poisson方程）方程）出发，定量计算固体的微观或宏观物理性质的一种理论方出发，定量计算固体的微观或宏观物理性质的一种理论方法。法。固体由大量的原子（固体由大量的原子（1023个个/cm3）组成，每个原组成，每个原子又有原子核和电子，从原则上讲，如果能写出子又有原子核和电子，从原则上讲，如果能写出这种多体系的薛定谔方程式，并求出其解，则可这种多体系的薛定谔方程式，并求出其解，则可以了解和解释固体的许多物理性质，其中也包括以了解和解释固体的许多物理性质，其中也包括晶体中的电子运动及状态。晶体中的电子运动及状态。实际上这是个多体问题，要写出薛定谔方程式就实际上这是个多体问题，要写出薛定谔方程式就非常困难，求解根本谈不上。非常困难，求解根本谈不上。目前可能的办法是经过多次简化，将它转变为单目前可能的办法是经过多次简化，将它转变为单电子问题，这就是能带论。电子问题，这就是能带论。本章将介绍计算晶体电子结构的主要方法和简单本章将介绍计算晶体电子结构的主要方法和简单应用。应用。处理晶体中电子运动的方法处理晶体中电子运动的方法1.绝热近似绝热近似考考虑虑到到原原子子核核（或或离离子子芯芯）的的质质量量比比电电子子大大得得多多，运运动动速速度度比比较较慢慢。晶晶体体中中的的电电子子是是处处于于一一种种多多原原子子与与多多电电子子的的多多体体系系统统之之中中。在在讨讨论论固固体体电电子子结结构构时时，可可将将固固体体中中电电子子运运动动与与原原子子核核的的运运动动分分开开处处理理。这这种种分分离离的的近近似似的的依依据据是是，与与原原子子核核质质量量M相相比比较较，电电子子质质量量m是是很很微微小小（对对于于典典型型的的固固体体来来说说，m/M在在10-410-5的的范范围围），与与核核相相比比，电子运动非常迅速。电子运动非常迅速。在讨论电子运动时，可以将原子核或离子芯固定在讨论电子运动时，可以将原子核或离子芯固定在某一瞬间位置（往往考虑成它们的平衡位置）。在某一瞬间位置（往往考虑成它们的平衡位置）。这样原先的多粒子问题变成了多电子问题。这种这样原先的多粒子问题变成了多电子问题。这种近似称绝热近似。近似称绝热近似。2.自洽方程自洽方程哈哈特特里里福福克克认认为为，每每个个电电子子是是在在固固定定的的离离子子势势场场与与其其他他电电子子的的平平均均势势场场下下运运动动，并并提提出出了了电电子子的的运运动动方方程程，即即哈哈特特里里福福克克方方程程，又又称称自自洽洽方方程程。电电子子间间的的相相互互作作用用被被归归结结在在势势场场中中，这这样样，多电子问题就简化为单电子问题了。多电子问题就简化为单电子问题了。3.周期性势场和能带论周期性势场和能带论根根据据晶晶体体中中原原子子的的周周期期性性排排列列，在在以以上上单单电电子子近近似似的的基基础础上上，认认为为所所有有的的离离子子势势场场与与电电子子势势场场的的平平均均场场是是一一个个周周期期性性势势场场。在在处处理理周周期期性性势势场场中中运动的单电子问题时，就得到了能带论。运动的单电子问题时，就得到了能带论。只只要要知知道道电电子子质质量量和和它它所所处处的的势势场场函函数数V(r),就就可可直直接接写写出出单单电电子子薛薛定定谔谔方方程程P147,求求解解薛薛方方程程就就可得到能带可得到能带E(r)和波函数和波函数(r).v固体中的电子不再是完全被束缚在某个固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，而是可以在整个固体中运动原子周围，而是可以在整个固体中运动的，称为共有化电子。的，称为共有化电子。电子在运动过程中并不像自由电子那样，电子在运动过程中并不像自由电子那样，完全不受任完全不受任 何力的作用，电子在运动过何力的作用，电子在运动过程中要受晶格原子周期势场程中要受晶格原子周期势场V(r)的作用。的作用。6.1布洛赫布洛赫/Bloch定理定理P143一、周期性势场一、周期性势场 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实所组在除其自身外其他电子的平均势场和原子实所组成的周期场中运动，这样的模型称为周期场模型。成的周期场中运动，这样的模型称为周期场模型。V(r)=V(r+Rl)如如P168,图图5.10(a)周期性势场周期性势场二、二、Bloch定理（定理（1928年）年）在在周期场周期场V(r)中，描述电子运动的中，描述电子运动的Schrdinger方程为方程为:方程的解为：方程的解为：Bloch函数函数(5.1)这里，这里，uk(r)=uk(r+Rl)(5.2)是以格矢是以格矢Rl为为周期的周期函数。周期的周期函数。(5.1)、（、（5.2）称布洛赫定理。）称布洛赫定理。P147v 行进波因子行进波因子 表明电子可以在整个晶体中运动表明电子可以在整个晶体中运动 的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面 波的形式。波的形式。v 周期函数周期函数 的作用则是对这个波的振幅进行的作用则是对这个波的振幅进行 调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振 荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。晶体中电子：晶体中电子：金属自由电金属自由电子：子：孤立原子：孤立原子：参见大学物理：波动方程参见大学物理：波动方程周期势场周期势场平均势场平均势场V=0点电荷势场点电荷势场在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。间，是两者的组合。l 如果晶体中电子的运动完全自由，如果晶体中电子的运动完全自由，l 若电子完全被束缚在某个原子周围，若电子完全被束缚在某个原子周围，由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有 的形式。周期函数的形式。周期函数 反映了电子与晶格相互作用的反映了电子与晶格相互作用的强弱。强弱。Bloch函数中，行进波因子函数中，行进波因子 描述晶体中电子描述晶体中电子的共有化运动的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子函数因子 则则描述电子的原子内运动描述电子的原子内运动，取决于原，取决于原子内电子的势场。子内电子的势场。v 如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子 的能量取分立的能级；的能量取分立的能级；v 若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的能若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的能 量连续取值。量连续取值。v 晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因 此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带 相间组成的能带结构。相间组成的能带结构。需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带，在非晶固体中，电子同样有能带结构。结构。电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。对称性并不是形成能带的必要条件。三三.克龙尼克克龙尼克潘纳模型潘纳模型(1931(1931年年)从理论研究角度出发，用一个已知的简从理论研究角度出发，用一个已知的简单的周期性势场代入单电子薛定锷方程，单的周期性势场代入单电子薛定锷方程，看看会得到什么样的波函数和能级，对看看会得到什么样的波函数和能级，对于预测晶体中的能级分布情况有很重要于预测晶体中的能级分布情况有很重要的意义。的意义。克龙尼克克龙尼克潘纳模型：一维方势阱的特例，势场周期潘纳模型：一维方势阱的特例，势场周期a+b，势垒高势垒高度度V0，势垒宽度势垒宽度b（如下图）（如下图）这是一个能严格求解的问题，可以证实在周期场中运动的粒子的这是一个能严格求解的问题，可以证实在周期场中运动的粒子的许可的能级形成能带，能带之间不许可的能量范围是禁带。（求许可的能级形成能带，能带之间不许可的能量范围是禁带。（求解过程略）解过程略）能带图示：能带图示：P152图图5.2,P153图图5.3克龙尼克模型求解思路克龙尼克模型求解思路:周期性势场中能带结构特点周期性势场中能带结构特点P151153：（1 1）电子能量的允许值由若干不连续区电子能量的允许值由若干不连续区域（能带）组成，相邻能带之间的区域域（能带）组成，相邻能带之间的区域称为禁带。能带的分界点出现在称为禁带。能带的分界点出现在 ka ka=n n=1,2,=n n=1,2,处处(布区边界处布区边界处)。（2 2）E E是是K K的的偶函数偶函数,弯曲的抛物线弯曲的抛物线.（3 3）能量较高的能带较宽，能量较低的）能量较高的能带较宽，能量较低的能带较窄。远离边界处能量相近能带较窄。远离边界处能量相近.五五周期性边界条件与波矢周期性边界条件与波矢k的取值的取值P144146,了解内容了解内容由周期性边界条件：由周期性边界条件：h 整数，整数，1,2,3引入矢量引入矢量p145(5.12):五五周期性边界条件与波矢周期性边界条件与波矢k的取值的取值在在第一布区内：第一布区内：nK的取值数目：的取值数目：NnK的的密度（一维、二维、三维）：密度（一维、二维、三维）：n对应对应N个能量状态个能量状态六六.电子能量状态密度电子能量状态密度D(E)/g（E）P176:定义：对于给定体积的晶体，在单位能量定义：对于给定体积的晶体，在单位能量间隔内所包含的电子状态数间隔内所包含的电子状态数(5.102).P177公式推导公式推导:（5.103）（）（5.104）（5.105）参见参见P178,2,3段之描述段之描述.注意与第三章格波态密度函数注意与第三章格波态密度函数g()之区别之区别.参见第五章例题参见第五章例题（求一维单原子链金属的能态密度g(E)和EF0.）。）。能态密度测定：能态密度测定：软软X射线发射谱射线发射谱了解内容了解内容电子在价电子能带中的填充情况可以用电子在价电子能带中的填充情况可以用X射线发射射线发射谱实验来验证。谱实验来验证。K：外层电子落入空外层电子落入空 的的1s态而发射的态而发射的X 射线；射线；L1：外层电子落入外层电子落入2s态所态所 发射的发射的X射线；射线；L2：外层电子落入外层电子落入2p态所态所 发射的发射的X射线。射线。1s2s2p价电子价电子能能 带带KL1L2发射谱的强度：发射谱的强度：X射线发射谱的强度可较直接地反映价电子能带的射线发射谱的强度可较直接地反映价电子能带的能态密度状况。能态密度状况。EEFN(E)态密度态密度*跃迁几率跃迁几率金属自由电子:能量连续,平均势场=0独立原子电子:分离能级,点电荷势场晶体电子 :带状能带,周期势场,有允带、禁带。问题：禁带的形成？可用近自由电子近似和紧束缚电子近似解释能带的形成。6.2近自由电子近似近自由电子近似P147近自由电子：假设晶体中有一个很弱的周期势，近自由电子：假设晶体中有一个很弱的周期势，则电子的运动情况比较接近自由电子，但同时则电子的运动情况比较接近自由电子，但同时也能体现出周期势场中电子状态的新的特点，也能体现出周期势场中电子状态的新的特点，这样的电子叫近自由电子这样的电子叫近自由电子近自由电子近似：近自由电子近似：在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多，比较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多，这样，电子的运动几乎是自由的。因此，我们可以把自这样，电子的运动几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰。的微扰。参见参见 P147153之推导之推导 零级近似零级近似 微扰项微扰项分别对电子能量分别对电子能量E(k)和波函数和波函数(k)展开展开将将以上各展开式代入以上各展开式代入Schrdinger方程中，得方程中，得零级近似方程零级近似方程p148：能量本征值：能量本征值：一一.定态微扰法（非简并微扰）：定态微扰法（非简并微扰）：一个本征值一个本征值E对应一个本征函数对应一个本征函数 或或k 一级微扰方程：一级微扰方程：电子的能量：电子的能量：电子波函数：电子波函数：(5.28)p149（p149）其中其中波函数由两部分组成：波函数由两部分组成：v 波数为波数为k的行进平面波：的行进平面波：v 该平面波受周期场的影响而产生的散射波：该平面波受周期场的影响而产生的散射波：因子因子是波数为是波数为kk+2 n/a的散射波的振幅。的散射波的振幅。（5.29）（p149）（5.29）仍然是布洛赫波。）仍然是布洛赫波。二二.简并微扰：简并微扰：一个本征值一个本征值E对应一个以上本征对应一个以上本征函数函数 或或k，实际情况多如此。实际情况多如此。当当时，非简并微扰已不适用。时，非简并微扰已不适用。在布里渊区边界上在布里渊区边界上:k态和态和k态为简并态。必须用简并微扰来处理。态为简并态。必须用简并微扰来处理。和和零级近似的波函数是这两个波的线性组合，传播方向相反，零级近似的波函数是这两个波的线性组合，传播方向相反，在布区边界发生反射，形成两个驻波，二者在边界处发生在布区边界发生反射，形成两个驻波，二者在边界处发生能量跳变，形成禁带。能量跳变，形成禁带。零级近似的波函数写成零级近似的波函数写成代入代入Schrdinger方程方程（6-64）解得解得这里这里（6-75）（6-74）三三.近自由电子能量和波函数的近自由电子能量和波函数的讨论（讨论（p152图图5.2,5.3）（一）波矢在远离布里渊区边（一）波矢在远离布里渊区边界的情况下，近自由电子的界的情况下，近自由电子的能量和波函数与自由电子的能量和波函数与自由电子的能量和波函数相近能量和波函数相近（二）波矢在布里渊区边界附（二）波矢在布里渊区边界附近，能量近，能量E-(K)和和E+(K)以抛以抛物线形式趋向物线形式趋向Th+|Vh|和和Th-|Vh|（三）波矢在布里渊区边界处，三）波矢在布里渊区边界处，能量发生跳变，形成禁带，能量发生跳变，形成禁带，其禁带宽度其禁带宽度E+(K)-E-(K)=2|Vh|禁带的产生：用自由电子平面波在晶体禁带的产生：用自由电子平面波在晶体中产生布拉格反射进行解释中产生布拉格反射进行解释P149K=n/a与与K=-n/a对应的自由电对应的自由电子平面波子平面波和和 驻波的形成驻波的形成(前进波与后退波前进波与后退波)P149151：n布区边界布区边界,K=n/a即满足布拉格反射公式（即满足布拉格反射公式（K=2/,2a=n）,出现禁带出现禁带.n反射波得到加强反射波得到加强n入射波与反射波叠加，形成能量不同的驻波态入射波与反射波叠加，形成能量不同的驻波态nK远离远离n/a，不形成反射波，不满足布拉格反射不形成反射波，不满足布拉格反射条件，不出现禁带，为连续能带。条件，不出现禁带，为连续能带。P151 四四.能带关系的三种图示：能带关系的三种图示：（一）扩展区图示（一）扩展区图示（p152图图5.2）（二）简约区图示（二）简约区图示（p153图图5.2a,一区一区）（三）重复区图示（三）重复区图示（p153图图5.2a,全区）全区）五五近自由电子的状态密度近自由电子的状态密度自由电子状态密度函数为自由电子状态密度函数为P176（5.102），而近自），而近自由电子写不出能态密度函数由电子写不出能态密度函数D（E）/g（E），），故故只能定性分析。只能定性分析。近自由电子的状态密度大于自由电子的状态密度。近自由电子的状态密度大于自由电子的状态密度。P178图图5.14六六三维情况下的近自由电子近似三维情况下的近自由电子近似将一维推广到三维将一维推广到三维了解内容了解内容方程：方程：周期场：周期场：为为格矢格矢Fourier展开：展开：势能函数的平均值势能函数的平均值 微小量微小量零级近似：零级近似：微扰项：微扰项：由零级近似求出自由电子的能量本征值和归一化波函数由零级近似求出自由电子的能量本征值和归一化波函数简并分裂后的能量：简并分裂后的能量：禁带宽度：禁带宽度：Eg=2|U n|由由于于近近自自由由电电子子近近似似方方法法（平平面面波波方方法法）波波函函数数收收敛敛得得非非常常慢慢，计计算算过过程程复复杂杂。从从实实用用的的角角度度来来看看，平平面面波波法法不不是是计计算算能能带带结结构构的的好好方方法法。但但是是它它的的概概念念单单纯纯，便便于于了了解解能能带带计计算算的的架架构构，对对禁禁带带的的出出现现也也有有明明确确的的物物理理概念，所以还是值得介绍。概念，所以还是值得介绍。6.3紧束缚近似（紧束缚近似（TBA）P162一一.紧束缚近似紧束缚近似v近自由电子近似认为原子实对电子的作用很弱，电近自由电子近似认为原子实对电子的作用很弱，电子的运动基本上是自由的。子的运动基本上是自由的。其结果主要适用于金属其结果主要适用于金属的价电子的价电子。v 当晶体中原子的间距较大，原子实对电子有相当强的当晶体中原子的间距较大，原子实对电子有相当强的 束缚作用。当电子距某个原子实较近时，电子的运动束缚作用。当电子距某个原子实较近时，电子的运动 主要受该原子势场的影响，这时电子的行为与孤立原主要受该原子势场的影响，这时电子的行为与孤立原 子中电子的行为相似。这时，可子中电子的行为相似。这时，可将孤立原子看成零级将孤立原子看成零级 近似，将其他原子势场的影响看成小的微扰。此方法近似，将其他原子势场的影响看成小的微扰。此方法 称为紧束缚近似称为紧束缚近似(Tight Binding Approximation)。二二.紧束缚近似下电子能量的计算紧束缚近似下电子能量的计算P162P165，图，图5.8即P165，（5.60）为紧束缚近似下，只考虑最紧邻原子作用所得到的S电子能带的EK关系。上述推导过程可不必细追究，但应该能够应用该式进行计算。能带的形成能带的形成P165公式公式(5.60)公式物理意义：公式物理意义：n孤立原子形成晶体后，电子的能级降低孤立原子形成晶体后，电子的能级降低Js，并形成能带并形成能带.n带宽与微扰势有关，与交叠积分带宽与微扰势有关，与交叠积分Js的大小成的大小成正比正比.参见参见P165末段描述。末段描述。由孤立原子能级到晶体能带的实质：量由孤立原子能级到晶体能带的实质：量子力学测不准关系制约的结果（子力学测不准关系制约的结果（tE）能隙能隙孤立原子的每一个状态的能量在形成晶孤立原子的每一个状态的能量在形成晶体后都要分裂成一个能带，成为子能带体后都要分裂成一个能带，成为子能带子能带的交叠形成混合能带子能带的交叠形成混合能带子能带不交叠形成能隙子能带不交叠形成能隙例1 用紧束缚近似求面心立方晶体的S电子能带E（K），并求能带宽度？解.任选一个原子为原点,则其最紧邻有12个原子,其坐标分别如下:a/2(1,1,0),a/2(0,1,1),a/2(1,1,0),a/2(1,0,1)EminEmax例2.P165,习题习题(求体心结构？求体心结构？)，找体心，找体心8个原子个原子问题问题:1.准准(半半)经典运动经典运动?经典理论经典理论?量子理论量子理论?2.“电子遵守测不准关系电子遵守测不准关系/不确定度不确定度”,为什么为什么?不确定度关系的根源不确定度关系的根源?3.电子坐标电子坐标x与其动量与其动量p不可能同时精确不可能同时精确确定确定,即在原子周围运动的电子不可能精确定即在原子周围运动的电子不可能精确定位位,这就是不确定度这就是不确定度,但在显示器电路中但在显示器电路中,扫描扫描电路却可以让电子精确地隔行、逐行扫描，电路却可以让电子精确地隔行、逐行扫描，以显示清晰的图象，为什么？以显示清晰的图象，为什么？4.在处理电子的运动时究竟用经典理在处理电子的运动时究竟用经典理论还是量子理论论还是量子理论?6.5电子的准经典运动电子的准经典运动p169不确定度关系的根源不确定度关系的根源:微粒微粒的波的波-粒二象形粒二象形,电子的电子的不确定度主要反映其量子性不确定度主要反映其量子性.当电子在原子尺寸或晶格常数当电子在原子尺寸或晶格常数a范围运动时范围运动时,不确不确定度明显定度明显,当在宏观样品大范围中运动则不确定度当在宏观样品大范围中运动则不确定度不明显不明显.(宏观物体也不明显宏观物体也不明显).对实际晶体中的电子的处理怎么办对实际晶体中的电子的处理怎么办?Si半导体器件半导体器件外外电场电场E外场外场E在器件空间几乎无变化在器件空间几乎无变化,在晶格在晶格常数常数a范围无变化范围无变化,则将电子作为宏观则将电子作为宏观经典粒子处理。经典粒子处理。而晶体周期性势场V（r）的变化周期则是在元胞大小的数量级，故其中的电子运动只能用微观的量子理论。这种用部分的经典理论处理晶体电子运动的方法称准经典近似。这种用部分的经典理论处理晶体电子运动的方法称准经典近似。二二.电子的平均速度电子的平均速度 P169-170三维情况：三维情况：电子速度为电子速度为5.81v 电子速度的方向为电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿等空间中能量梯度的方向，即沿等 能面的法线方向。能面的法线方向。电子的运动方向决定于等能面的形状。电子的运动方向决定于等能面的形状。l 在一般情况下，在在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因空间中，等能面并不是球面，因 此，此，v的方向一般并不是的方向一般并不是k的方向；的方向；l 只有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，只有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v才与才与k的的 方向相同。方向相同。kxky三、外力作用下电子状态的变化三、外力作用下电子状态的变化加加速度和有效质量速度和有效质量P170 在外场中，电子所受的力为在外场中，电子所受的力为F，在，在dt时间内，外场时间内，外场对电子所做的功为对电子所做的功为F vdt功能原理：功能原理：l 在平行于在平行于v的方向上，的方向上，和和F的分量相等；的分量相等；l 当当F与与速度速度v垂直时，由冲量定理仍可以证明在垂直于垂直时，由冲量定理仍可以证明在垂直于v 的方向上，的方向上，和外力和外力F的分量也相等。的分量也相等。(5.82-5.83)这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。有与经典力学中牛顿定律相似的形式。电子的准动量电子的准动量晶体中电子准经典运动的基本关系式：晶体中电子准经典运动的基本关系式：(5.84)由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。1.一维情况一维情况(5.85):引入电子的有效质量引入电子的有效质量(5.87)：在周期场中电子的有效质量在周期场中电子的有效质量m*与与k有关。有关。v 在能带底：在能带底：E(k)取极小值，取极小值，m*0；v 在能带顶：在能带顶：E(k)取极大值，取极大值，m*0；在能带顶：在能带顶：电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而表现为具有负的有效质量表现为具有负的有效质量m*F晶晶时，时，m*0；而当而当F外外F晶晶时，时，m*0。由于由于F外外只是外场对电子的作用力，它并不是电子所只是外场对电子的作用力，它并不是电子所受的合外力，因此受的合外力，因此,K并不是电子的真实动量，而是电并不是电子的真实动量，而是电子的准动量就不难理解了。子的准动量就不难理解了。在讨论晶体中电子的准经典运动时在讨论晶体中电子的准经典运动时,K 是一个很有用是一个很有用的量，它往往比电子的真实动量的量，它往往比电子的真实动量mv更有用。这是因为在更有用。这是因为在k空间中去理解电子的运动往往比在真实空间中更容易。空间中去理解电子的运动往往比在真实空间中更容易。电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的物电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的物理量，至少我们可以在形式上不必考虑晶格力，而只考虑理量，至少我们可以在形式上不必考虑晶格力，而只考虑外场力对电子运动的影响。外场力对电子运动的影响。例 利用例题2（利用紧缩缚求简立方晶体S电子能带）的结果，求简立方能带宽度以及带底和能带顶附近的电子的有效质量和电子速度。注意：有的情况注意：有的情况极极值不一定在布不一定在布区中心和区中心和边界界！思考题：用紧束缚近似及最紧邻近似求单原子链的S电子能带E（K），并求能带宽度，电子速度V（K），带顶、带底有效质量。5.11导体、绝缘体和半导体导体、绝缘体和半导体P183问题：何为导体、半导体、绝缘体？问题：何为导体、半导体、绝缘体？导体：电阻率导体：电阻率108m（塑料、陶瓷等）塑料、陶瓷等）半导体：介于二者之间（半导体：介于二者之间（Si、Ge等）等）一一.满带对电导无贡献满带对电导无贡献P184 对于同一能带，处于对于同一能带，处于k态和处于态和处于k态的电子具有态的电子具有大小相等方向相反的速度。大小相等方向相反的速度。在在k空间中，对于同一能带有空间中，对于同一能带有 当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据k态态和和k态的概率相同，这两态的电子对电流的贡献相互态的概率相同，这两态的电子对电流的贡献相互抵消。所以，无宏观电流抵消。所以，无宏观电流I0。在在有有电场存在时，由于不同材料中电子在能带中的电场存在时，由于不同材料中电子在能带中的填充情况不同，对电场的响应也不同，导电能力也各不填充情况不同，对电场的响应也不同，导电能力也各不相同。相同。v 满满 带：能带中所有的能态均已