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小学数学疑难问题辨析贵阳市教科所贵阳市教科所 宋雪梅宋雪梅上图中有（）个，有（）个，一共有（）个图形。第1题 2005年我国公布了新的个人收入所得税征收标准。年我国公布了新的个人收入所得税征收标准。个人个人1600元以下不征税。月收入超过元以下不征税。月收入超过1600元，超过部元，超过部分按下面的标准征税。分按下面的标准征税。不超过不超过500元的元的5%超过超过500元元2000元的部分元的部分10%超过超过2000元元5000元的部分元的部分15%李明的妈妈月收入李明的妈妈月收入1800元，爸爸月收入元，爸爸月收入2500元，他们元，他们各应缴纳个人所得税多少元？各应缴纳个人所得税多少元？第2题妈妈妈缴纳的个人所得税情况较为简单，只有一种妈缴纳的个人所得税情况较为简单，只有一种情况出现，即超出部分为情况出现，即超出部分为500元以内，元以内，18001600=200（元（元);2005%=10（元）。元）。爸爸缴纳个人所得税的情况稍微复杂，按照税法爸爸缴纳个人所得税的情况稍微复杂，按照税法规定，应采用分段计税的方法，即超过部分分为规定，应采用分段计税的方法，即超过部分分为500元内（含元内（含500元）及超过元）及超过500元元2000元的部元的部分，则计算时应为：分，则计算时应为：先计算一共超出的部分：先计算一共超出的部分：25001600=900(元元)；再计算超出再计算超出500元的税收：元的税收：5005%=25（元）；（元）；再计算余下部分的税收：（再计算余下部分的税收：（900500）10%=40（元）（元）最后计算税收的总和：最后计算税收的总和：2540=65（元）。（元）。1600元500元5002000元20005000元5%计税10%计税15%计税01600 210036006600 袋袋中装有中装有5个球、个球、4个红球和个红球和1个白球。只个白球。只告诉学生袋中球的颜色为红色和白色，不告告诉学生袋中球的颜色为红色和白色，不告诉他们红球数目与白球数目，让学生通过多诉他们红球数目与白球数目，让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的数次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的数量及各自所占比例，由此估计袋中红球和白量及各自所占比例，由此估计袋中红球和白球数目的情况。在这个过程中球数目的情况。在这个过程中，涉及到哪些，涉及到哪些数学概念，渗数学概念，渗透了哪些数学的思想方法？透了哪些数学的思想方法？第3题判断下图中的涂色部分能否用判断下图中的涂色部分能否用1/3表表示，当学生说出判断理由示，当学生说出判断理由“因为没因为没有平均分，所以不能用分数表示有平均分，所以不能用分数表示”时，你如何处理？时，你如何处理？第4题第6题在本环节中，该名学生只关注了概念中的在本环节中，该名学生只关注了概念中的“平均分平均分”而没有关而没有关注概念的本质。分数的概念为：把单位注概念的本质。分数的概念为：把单位“1”平均分成若干份，平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。不光要关注平均分，还应关注平表示这样的一份或几份的数。不光要关注平均分，还应关注平均分的份数。首先教师要认识到：不是因为平均分就能得到分均分的份数。首先教师要认识到：不是因为平均分就能得到分数，没有平均分就得不到分数了。因此当学生回答数，没有平均分就得不到分数了。因此当学生回答“因为没有因为没有平均分，所以不能用分数表示平均分，所以不能用分数表示”时，教师要引导学生观察图形，时，教师要引导学生观察图形，引导学生理解引导学生理解“因为没有平均分成因为没有平均分成3份，这样的份，这样的1份，所以份，所以不能用不能用来表示来表示”，实际上该图形的中间部分是可以用，实际上该图形的中间部分是可以用来表示的。来表示的。1313一、小学数学概念及其表现形式 （一）小学数学概念（一）小学数学概念（一）小学数学概念（一）小学数学概念 小学数学概念是小学数学基础知识的重要小学数学概念是小学数学基础知识的重要组成部分组成部分。小学数学概念是学习其他数学知识的基础小学数学概念是学习其他数学知识的基础。小学数学概念小学数学概念教学教学对培养学生的思维能力对培养学生的思维能力能起重要作用能起重要作用。数学概念是客观现实中的数量关系和空间数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映形式的本质属性在人脑中的反映。（二）小学数学概念的表现形式（二）小学数学概念的表现形式（二）小学数学概念的表现形式（二）小学数学概念的表现形式1.1.定义式：定义式：用确切而简要的语言揭示概念的内涵或外延用确切而简要的语言揭示概念的内涵或外延的方法。的方法。如：如：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。有一个角是直角的有一个角是直角的平行四边形平行四边形叫做长方形。叫做长方形。一组邻边相等的长方形叫做正方形一组邻边相等的长方形叫做正方形。只有一只有一组对边平行的四边形叫做组对边平行的四边形叫做梯梯形形。有理数和无理数统称为实数有理数和无理数统称为实数2.2.描述式：描述式：用一些生动、具体的语言对概念进行描述。用一些生动、具体的语言对概念进行描述。如：如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1 1、2 2、3 3、4 4、5 5叫自然数叫自然数”；“象象1.251.25、0.7260.726、0.0050.005等都是小数等都是小数”等。等。在小学数学教材中一般用于以下两种情况在小学数学教材中一般用于以下两种情况：（1 1）对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。描述法加以说明。（2 2）对于一些较难理解的概念对于一些较难理解的概念，如，如对直圆柱和直圆对直圆柱和直圆锥的认识，小学生还缺乏运动的观点锥的认识，小学生还缺乏运动的观点，不便用，不便用旋转旋转体来定义体来定义。二、小学数学中部分易混概念思考与讨论思考与讨论小学数学中数与代数领域有哪些概念？小学数学中数与代数领域有哪些概念？(一一)数与代数领域数与代数领域举例说明下列各组概念的含义及其区别与联系举例说明下列各组概念的含义及其区别与联系1.数与数字数与数字2.数位、位数与计数单位数位、位数与计数单位3.整除与除尽整除与除尽4.因数与倍数因数与倍数5.奇数与偶数奇数与偶数6.质数与合数质数与合数7.质数与互质数质数与互质数8.质因数与分解质因数质因数与分解质因数9.最大公因数和最小公倍数最大公因数和最小公倍数10.分数与小数分数与小数11.分数、除法与比分数、除法与比12.约分与通分约分与通分13.化简比与求比值化简比与求比值14.比和比例比和比例15.正比例和反比例正比例和反比例16.方程、方程的解与解方程方程、方程的解与解方程1.数与数字数与数字数数字字：是是用用来来记记数数的的符符号号。如如：中中国国数数字字、阿阿拉伯数字拉伯数字、罗马数字罗马数字、英文数字英文数字等等。等等。数数：是是表表示示事事物物的的量量的的基基本本数数学学概概念念。如如:自自然然数数、整数整数、有理数等有理数等等。等。数和数字是两个不同的概念，数和数字是两个不同的概念，它们它们有区有区别，又有别，又有联系联系。1.写数时，离不开数字写数时，离不开数字；2.用数字记数时，有一定的记数方法和组用数字记数时，有一定的记数方法和组数规则；数规则；3.不同的记数系统可以使用相同的数字；不同的记数系统可以使用相同的数字；4.同一个数在不同的记数系统中有不同的同一个数在不同的记数系统中有不同的表示；表示；5.在相应的记数系统中，数字在相应的记数系统中，数字位置位置决定了决定了它所表示的值。它所表示的值。思考与讨论小学数学中包括小学数学中包括哪些数？说说这些数的概念及其分类。哪些数？说说这些数的概念及其分类。整数整数正整数正整数负整数负整数自然数自然数0分数分数(百分数百分数)真分数真分数假分数（带分数）假分数（带分数）小数小数有限小数有限小数纯小数纯小数带小数带小数无限小数无限小数循环小数循环小数纯循环小数纯循环小数混循环小数混循环小数无限不循环小数无限不循环小数数数思 考：一一个数的最高位是千万位，这个数是（个数的最高位是千万位，这个数是（）位数。）位数。亿位上的亿位上的5表示（表示（）。）。与千万位相邻的数位是（与千万位相邻的数位是（）。）。以上问题涉及哪些概念？以上问题涉及哪些概念？2.数位、位数与计数单位数位、位数与计数单位数数位位：计计数数单单位位按按照照一一定定的的顺顺序序排排列列起起来来，它它们们所所占占的的位位置置叫叫做做数数位位。与与十十进进制制的的计计数数单单位位相相对对应应的的数数位位是个位、十位是个位、十位位数：位数：是指一个自然数中含有数位的个数。是指一个自然数中含有数位的个数。计计数数单单位位：一一（个个）、十十、百百、千千、万万、十十万万、百百万、千万、亿万、千万、亿都是计数单位。都是计数单位。整整 数数 部部 分分小小数数点点小小 数数 部部 分分 级级 级级 级级数数位位位位位位位位位位位位位位位位位位位位位位十十位位个个位位十十分分位位位位位位位位计计数数单单位位十十一一(个)十十分分之之一一思考：以上问题又涉及哪些概念？以上问题又涉及哪些概念？其其中，哪些概念易混淆？如何区别？判断：判断：如果甲数是乙数的如果甲数是乙数的5倍，那么乙数一定是甲数的因数。倍，那么乙数一定是甲数的因数。（）一个自然数，不是质数就是合数。（一个自然数，不是质数就是合数。（）所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。（所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。（）一个数的倍数一定大于它的因数。（一个数的倍数一定大于它的因数。（）两个数的最小公倍数是这两个数的最大公因数的倍数。两个数的最小公倍数是这两个数的最大公因数的倍数。（）有公因数有公因数1的两个数是互质数。（的两个数是互质数。（）两个合数一定不是互质数。（两个合数一定不是互质数。（）一个数的质因数都是质数。（一个数的质因数都是质数。（）3.整除与除尽 4.因数与倍数 （1）观察并分类：）观察并分类：127=1565=1.2153=5242=12定义：设定义：设a、b是任意两个整数，其中是任意两个整数，其中b0，如，如果存在一个整数果存在一个整数q，使得等式，使得等式a=bq成立，我成立，我们就说们就说b整除整除a或或a被被b整除，此时我们把整除，此时我们把b叫叫作作a的因数，把的因数，把a叫作叫作b的倍数的倍数。（初等数论初等数论）（苏教四下（苏教四下注注：为了方便，我们在研究倍数和因数时，所说：为了方便，我们在研究倍数和因数时，所说的数一般指不是的数一般指不是0的自然数。）的自然数。）5.奇数和偶数奇数和偶数能被能被2整除的数叫做偶数。整除的数叫做偶数。不能被不能被2整除整除的数叫做奇数。的数叫做奇数。（苏教四下：是（苏教四下：是2的倍数的数叫做偶数，不是的倍数的数叫做偶数，不是2的倍的倍数的数叫做奇数。）数的数叫做奇数。）0也是偶数。也是偶数。6.质数与合数一个大于一个大于1的整数，如果它的正因数只的整数，如果它的正因数只有有1及它本身，就叫作质数（或素数）；及它本身，就叫作质数（或素数）；否则就叫作合数。否则就叫作合数。（初等数论初等数论）7 7.最大公因数 定义：设定义：设a a1 1，a a2 2，a an n （n2n2）是）是n n个整数，若整数个整数，若整数d d是是它们之中每一个的因数，那么，它们之中每一个的因数，那么，d d就叫做就叫做a a1 1，a a2 2，a an n的的一个一个公因数。公因数。整数整数a a1 1，a a2 2，a an n的公因数中最大的一个，叫做的公因数中最大的一个，叫做最大最大公公因数因数，记作（，记作（a a1 1，a a2 2，a an n），若（），若（a a1 1，a a2 2,，a an n）=1=1，我们说我们说 a a1 1，a a2 2，a an n互质，若互质，若 a a1 1，a a2 2，a an n中每两个整数中每两个整数互质，我们就说它们两两互质互质，我们就说它们两两互质 。定理：若定理：若b b是任一正整数，则（是任一正整数，则（0 0，b b）=b=b推论：若推论：若b b是任一非是任一非0 0整数，则（整数，则（0 0，b b）=b=b（苏教五下（苏教五下附附：几个几个自然自然数数（指非（指非0自然自然数数）公有的因公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大数的最大公公因数因数。）。）8 8、最小公倍数 定义：设定义：设a a1 1，a a2 2，a an n （n2n2）是）是n n个整数，若个整数，若d d是这是这n n个数倍数，则个数倍数，则d d就叫做这就叫做这n n个数的一个个数的一个公公倍倍数。数。在在a a1 1，a a2 2，a an n的的的一切公倍数中的最小正数叫的一切公倍数中的最小正数叫作作最小公倍数最小公倍数，记作，记作【a a1 1，a a2 2，a an n】。（苏教五下（苏教五下附附：几个几个自然自然数数（指非（指非0 0自然自然数数）公有的公有的倍数倍数，叫做这几个数的公叫做这几个数的公倍数倍数。其中最。其中最小小的一个，叫做这几个数的最的一个，叫做这几个数的最小公倍数小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数小公倍数，较小数就是这两个数的最大公因数。较小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。倍数。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。数是无限的。9 9.质因数与分解质因数 每个合数都可以写成几个质数相乘的每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的叫做这个合数的质因数质因数。例如例如15=35，3和和5叫做叫做15的质因数。的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做出来，叫做分解质因数分解质因数。例如例如：把把28分解质因数分解质因数28=227 10.10.2 2、5 5、3 3、9 9、4 4、2525、8 8、125125的倍数的特征非非0自然数是自然数是2或或5的倍数的特征：这个数的个位上的倍数的特征：这个数的个位上的数是的数是0、2、4、6、8或或0、5。3或或9的倍数的特征：这个数的各个数位上的数的的倍数的特征：这个数的各个数位上的数的和是和是3或或9的倍数。（如：的倍数。（如：12、204、207、1926）（能被（能被3整除的数不一定能被整除的数不一定能被9整除，但是能被整除，但是能被9整除的数一定能被整除的数一定能被3整除。）整除。）4或或25的倍数的特征：这个数的末两位数是的倍数的特征：这个数的末两位数是4（或（或25）的倍数。）的倍数。8（或（或125）的倍数的特征：这个数的末三位数是的倍数的特征：这个数的末三位数是8（或（或125）的倍数。）的倍数。11.分数与小数（1）小数的意义）小数的意义（2）小数的分类）小数的分类（3）分数的意义）分数的意义（4）分数单位）分数单位（5）分数的分类）分数的分类（6）小数与分数的关系）小数与分数的关系小数的意义小数的意义小数：小数：把十进分数仿照整数的写法写成不带把十进分数仿照整数的写法写成不带分分母母的形式，这样的数叫做小数的形式，这样的数叫做小数。一位小数表示十分之几，两位小数表示百一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几分之几，三位小数表示千分之几一个小数由一个小数由整数部分、小数部分和小数点整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是率都是10。小数的分类：小数的分类：（1）纯小数：）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯整数部分是零的小数，叫做纯小数。如：小数。如：0.25、0.368都是纯小数。都是纯小数。（2）带小数：）带小数：整数部分不是零的小数，叫做整数部分不是零的小数，叫做带小数。带小数。如：如：3.25、5.26都是带小数。都是带小数。（3）有限小数：）有限小数：小数部分的位数是有限的小小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。数，叫做有限小数。例如：例如：41.7、25.3、0.23都是有限小数。都是有限小数。（4）无限小数：）无限小数：小数部分的位数是无限的小小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。数，叫做无限小数。例如：例如：4.333.1415926（5）无限不循环小数：）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：循环小数。例如：（6）循环小数：）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。环小数。例如：例如：3.5550.033312.109109循环节：循环节：一个循环小数的小数部分，依次不一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：例如：3.99的循环节是的循环节是“9”，0.5454的循环节是的循环节是“54”。（7）纯循环小数：）纯循环小数：循环节从小数部分第一位循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。开始的，叫做纯循环小数。例如：例如：3.1110.5656（8）混循环小数：）混循环小数：循环节不是从小数部分第循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。一位开始的，叫做混循环小数。3.12220.03333注意：写循环小数的时候，为了简便，注意：写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。个点。分数的意义：分数的意义：分数：分数：把单位把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。分子，表示有这样的多少份。分数单位：把单位分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份平均分成若干份，表示其中的一份的数，的数，叫做分数单位叫做分数单位。分数的分类：分数的分类：（1）真分数：）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。（2）假分数：）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于假分数。假分数大于或等于1。（3）带分数：）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。做带分数。1、纯循环小数化分数，如：、纯循环小数化分数，如：最后化简。最后化简。例如：例如：纯循环小数和混循环小数化分数的方法：纯循环小数和混循环小数化分数的方法：0.ab=0.3=0.81=1+=1+=1.2060.20699920619992069331998111999ab小数与分数的关系1.4189=1+=2、混循环小数化分数，如：、混循环小数化分数，如：最后化简。最后化简。例：例：纯循环小数和混循环小数化分数的方法：纯循环小数和混循环小数化分数的方法：0.abc=0.51=0.2954=19990418517431=abca990515904690234541894999029542999001344小数与分数的关系12.约分与通分约分约分：把一个分数化成同它相等但是分子、把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数。分母都比较小的分数。分子分母是互质数的分数，叫做分子分母是互质数的分数，叫做最简分数最简分数。通分通分：把异分母分数分别化成和原来分数相把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。等的同分母分数。相同点相同点：都是依据分数的基本性质将其化成：都是依据分数的基本性质将其化成等值分数。等值分数。不同点不同点：约分是：约分是用用相同的数（相同的数（0除外）同时除外）同时整除分数的分子整除分数的分子和和分母分母；通分是把分数的分子通分是把分数的分子和和分母同时乘相同的数（分母同时乘相同的数（0除外）；除外）；约分是就个体而言，通分约分是就个体而言，通分是是对群体而言。对群体而言。13.化简比与求比值化简比与求比值的区别的区别 化简比的结果化简比的结果必须必须是一个比，是一个比，只是化只是化简后的比的前项和后项是互质的整数。可简后的比的前项和后项是互质的整数。可用（真、假）分数或比的形式来表示用（真、假）分数或比的形式来表示。求比值的结果是一个数求比值的结果是一个数，可以是，可以是小数、小数、整数、（真、带）分数。整数、（真、带）分数。方法上也有所不同：化简比可根据比方法上也有所不同：化简比可根据比的基本性质，也可用求比值的方法（前项的基本性质，也可用求比值的方法（前项除以后项），但结果除以后项），但结果必须必须是比的形式。是比的形式。14.比和比例的意义与性质？比和比例的意义与性质？比比比比 例例意意义义 两个数相除又叫做两个数的比。两个数相除又叫做两个数的比。表示两个比相等的式子叫做表示两个比相等的式子叫做比例。比例。各各部部分分名名称称 基基本本性性质质 比的前比的前项项和后和后项项都乘上或除以都乘上或除以相同的数（相同的数（0 0除外），比除外），比值值不不变变。在比例里，两个内在比例里，两个内项项的的积积等等于两个外于两个外项项的的积积。5 5：6 =20 6 =20：2424 内内项项 外外项项0.90.9：0.6=1.50.6=1.5前项前项后项后项比值比值15.正比例和反比例的相同点和不同点？正比例和反比例的相同点和不同点？正正比比例例反反比比例例相同点相同点1、都有两种相关的量。、都有两种相关的量。2、一种量随着另一种量变化。、一种量随着另一种量变化。不同点不同点1、变化方向相同，一种量扩、变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或大或缩小，另一种量也扩大或缩小。缩小。2、相对应的每个数的比值、相对应的每个数的比值（商）是一定的。（商）是一定的。(是一个不等于是一个不等于0的常量的常量)1、变化方向相反，、变化方向相反，一种量扩大（缩小），一种量扩大（缩小），另一种量反而缩小另一种量反而缩小（扩大）。（扩大）。2、相对应的每两个、相对应的每两个数的积是一定的。数的积是一定的。(是一个不等于是一个不等于0的常的常量量)基本性质基本性质分数的基本性质：分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（以相同的数（0除外），分数的大小不变；除外），分数的大小不变；小数的基本性质小数的基本性质：小数的小数的末尾末尾添上添上“0”或者去或者去掉掉“0”，小数的大小不变；，小数的大小不变；商不变的性质：商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时乘在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（或除以相同的数（0除外），商不变；除外），商不变；比的基本性质：比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相比的前项和后项同时乘或除以相同的数（同的数（0除外），比值不变；除外），比值不变；比例的基本性质：比例的基本性质：在比例里，两内项之积等于两在比例里，两内项之积等于两外项之积。外项之积。16.16.方程、方程的解与解方程方程：方程：含有未知数的等式叫做方程。含有未知数的等式叫做方程。方程的解：方程的解：使方程左右两边相等的未知数使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。的值，叫做方程的解。解方程：解方程：求方程的解的过程叫做解方程。求方程的解的过程叫做解方程。（二）图形与几何领域思考：思考：小学阶段学习了哪些线、面、体？小学阶段学习了哪些线、面、体？它们有什么联系和区别？它们有什么联系和区别？17.线段、射线、直线；垂线、平行线线段、射线、直线；垂线、平行线直线：直线：空间中一点沿着一定方向和它的相空间中一点沿着一定方向和它的相反方向运动，所成的图形是直线。反方向运动，所成的图形是直线。射线：射线：空间中一点沿着一定方向运动，所空间中一点沿着一定方向运动，所成的图形是射线。成的图形是射线。平行线平行线：在同一平面内，不相交的两条直线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。两条平行线之间的垂线长度都相等。垂线：垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线两条直线相交成直角时，这两条直线叫做叫做互相垂直互相垂直，其中一条直线叫做另一条，其中一条直线叫做另一条直线的垂线直线的垂线,相交的点叫做相交的点叫做垂足垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的做这点到直线的距离距离。18.18.角及其分类具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角角。锐角：锐角：大于大于0并小于并小于90的角叫做锐角。的角叫做锐角。直角：直角：等于等于90的角叫做直角。的角叫做直角。钝角：钝角：大于大于90而小于而小于180的角叫做钝角。的角叫做钝角。平角：平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角做平角平角平角180。周角：周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是是360。锐角、直角、钝角都是锐角、直角、钝角都是劣角劣角；大于平角并小于周大于平角并小于周角的角叫做角的角叫做优角优角。19.周长与面积周长与面积判断：判断：边边长长为为4 4厘厘米米的的正正方方形形，周周长长与与面面积积相相等等。（）举例说明周长与面积的区别与联系。举例说明周长与面积的区别与联系。20.平面图形及其平面图形及其关系关系 小小学学阶阶段段学学习习了了哪哪些些平平面面图图形形？它它们们有有什什么么区区别别与与联联系系？四边形四边形平行四边形平行四边形长方形长方形正方形正方形梯梯形形等腰梯形等腰梯形直角梯形直角梯形三角形三角形按角分类按角分类锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形任意三角形任意三角形等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形根根据据边边的的特特点点圆圆平平面面图图形形在平面内，到一个定点的距离等在平面内，到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做于定长的点的集合叫做圆圆。2121.对称图形、轴对称图形、轴对称、对称轴、中心对称图形、中心对称、平面对称图形。（1）把一个图形沿着某一条直线对折，）把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么就如果它能够与另一个图形重合，那么就说明这两个图形关于这条直线对称，说明这两个图形关于这条直线对称，两两个图形个图形中的对应点叫做中的对应点叫做关于这条直线的关于这条直线的对称点对称点，这条直线叫做，这条直线叫做对称轴对称轴。两个图。两个图形关于直线对称也叫形关于直线对称也叫轴对称轴对称。（2）在平面内在平面内，如果一，如果一个图形个图形沿一条直线折叠，直线两沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线叫做对这条直线叫做对称轴称轴，并且，对称轴用点画线表示。，并且，对称轴用点画线表示。轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，如果把一轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形就是就是关于这条轴对称的关于这条轴对称的。（3）如果一个图形绕某一点旋转）如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形中心对称图形。而这个中心点，叫做而这个中心点，叫做中心对称点中心对称点。中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称称中心平分中心平分。（4）在平面内，如果把一个图形绕某一点旋在平面内，如果把一个图形绕某一点旋转转1800，旋转后的图形能和另一个图形完全，旋转后的图形能和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成中心对称。这重合，那么就说这两个图形成中心对称。这个点个点叫做对称中心。叫做对称中心。（5）旋转对称图形：旋转对称图形：把一个图形绕着一把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做合，这种图形叫做旋转对称图形旋转对称图形，这个，这个定点叫做定点叫做旋转对称中心旋转对称中心，旋转的角度叫，旋转的角度叫做做旋转角旋转角.（00旋转角旋转角3600）判断：判断：边长为边长为6 6厘米的正方体，体积与表面积相等厘米的正方体，体积与表面积相等 ()()24.长方体、正方体、圆柱、圆锥、球长方体、正方体、圆柱、圆锥、球长方体、正方体、圆柱、圆锥有什么区别与联系？长方体、正方体、圆柱、圆锥有什么区别与联系？25.地积、表面积与侧面积地积、表面积与侧面积26.体积与容积体积与容积 它们的计算方法都是用体积公式计算。但体积与容积它们的计算方法都是用体积公式计算。但体积与容积是两个不同的概念是两个不同的概念：（1）意义不同。）意义不同。（2）度量方法不同。）度量方法不同。（3）计量单位）计量单位不完全相不完全相同。同。22.频数频数、频率与概率、频率与概率频数：频数：落在不同小组中的数据个数为该组落在不同小组中的数据个数为该组的频数的频数频率：频率：频数与数据总数的比为频率。频数与数据总数的比为频率。概率：概率：表征随机事件发生可能性大小的量表征随机事件发生可能性大小的量。是事件本身所固有的不随人的主观意愿而是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性。改变的一种属性。（三（三)统计与概率领域统计与概率领域