概率论第四章3.ppt

一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解三、例题讲解二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差四、小结四、小结第二节方差第二节方差引例引例 甲、乙两射手各打了甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹，每发子弹发子弹 击中的环数分别为：击中的环数分别为：甲甲 10,6,7,10,8,9,9,10,5,10乙乙 8,7,9,10,9,8,7,9,8,9问哪一个射手的技术较好？问哪一个射手的技术较好？解解 首先比较平均环首先比较平均环数数甲甲=8.4,乙乙=8.4再比较稳定程度再比较稳定程度甲：甲：乙：乙：乙比甲技术稳定乙比甲技术稳定进一步比较平均偏离平均值的程度进一步比较平均偏离平均值的程度甲甲乙乙(X-EX)2 随机变量随机变量X 的取值偏离平均值的情况的取值偏离平均值的情况,是是X的函数的函数,也是随机变量也是随机变量 E(X-EX)2 随机变量随机变量X的取值偏离平均值的平均的取值偏离平均值的平均偏离程度偏离程度 数数注注:4.3.1 4.3.1 方差的定义方差的定义离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差4.随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1)利用定义计算利用定义计算 证明证明(2)利用公式计算利用公式计算证明证明5.方差的性质方差的性质(1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则则有有证明证明(3)设设 X,Y 相互独立相互独立,D(X),D(Y)存在存在,则则证明证明推广推广1.两点分布两点分布 已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差2.二项分布二项分布 则有则有 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n,p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为设设 X B(n,p)，求方差，求方差DX 引入随机变量引入随机变量相互独立，相互独立，故故解法解法1:解法解法2:3.泊松分布泊松分布 则有则有所以所以4.均匀分布均匀分布则有则有结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.5.指数分布指数分布 则有则有6.正态分布正态分布则有则有分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布(1)已知 _ D(3X-2)=_(2)_(3)EX=_,DE=_ (4)设一次实验成功的概率为P,进行1000次独立的重复实验,当P=_时,成功的次数的标准差的值最大,其最大值为 _ 例例4.3.64.3.6 证证:已知已知X,Y 相互独立，且都服从相互独立，且都服从 N(0,0.5),故故例例4.3.74.3.7 解解:求求 E(|X Y|),D(|X Y|)标准化随机变量标准化随机变量设随机变量设随机变量 X 的期望的期望E(X)、方差方差D(X)都存在都存在,且且D(X)0,则称则称为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量.显然，显然，仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：例如：P-1 0 1 0.1 0.8 0.1P-2 0 20.025 0.95 0.025与它们有相同的期它们有相同的期望、方差望、方差.但是但是分布却不同分布却不同四、小结四、小结1.方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散取值分散程度的量程度的量.如果如果 D(X)值大值大,表示表示 X 取值分散取值分散程度大程度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果 D(X)值小值小,则表示则表示 X 的取值比较集中的取值比较集中,以以 E(X)作为随机作为随机变量的代表性好变量的代表性好.2.方差的计算公式方差的计算公式3.方差的性质方差的性质4.契比雪夫不等式契比雪夫不等式课堂练习课堂练习(3)(3)设随机变量设随机变量 X、Y 相互独立相互独立,且都服且都服.求求从从解解当当 时，由独立性时，由独立性当当 时，时，所以所以()由于由于X、Y 的随机性的随机性,故不能保证恒有故不能保证恒有或或解解由于相互独立的正态变量的线性组合由于相互独立的正态变量的线性组合仍是正态变量，故仍是正态变量，故本题设本题设 是关键是关键.若不然若不然虽能算出 但很难算