同济版 高数课件 1-1.ppt

“高等数学”课程所要学习的内容及内容间的相互关系第一章函数与极限一、集合一、集合集合的概念集合的概念 对于集合，我们并不陌生，通常把具有某种特定性质的对于集合，我们并不陌生，通常把具有某种特定性质的事物的全体称为一个事物的全体称为一个集合集合.而把组成这个集合的每一个事物而把组成这个集合的每一个事物个体称为该集合的个体称为该集合的元素元素 以下都可以作为集合的例子：以下都可以作为集合的例子：全体实数全体实数全体有理数全体有理数全体全体正整数正整数我们经常用到得都是数集我们经常用到得都是数集所有元素都是数的集合所有元素都是数的集合.以下的一些数集是我们经常用到的：以下的一些数集是我们经常用到的：全体非负整数的集合：全体非负整数的集合：全体正整数的集合：全体正整数的集合：全体整数的全体整数的集合：集合：全体有理数的全体有理数的集合：集合：全体实数全体实数的的集合：集合：数集间的关系数集间的关系:2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为称为开区间开区间,称为称为闭区间闭区间,区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.半开半闭区间半开半闭区间：无穷区间无穷区间：用图表示用图表示更清楚更清楚3 邻域：邻域：去心邻域：去心邻域：的左的左 邻域邻域 的右的右 邻域邻域试着在图试着在图中表示出中表示出来来.二、函数的概念二、函数的概念定义定义1 设设D是一个非空实数集，若存在对应关系是一个非空实数集，若存在对应关系f，对，对 D中任意实数中任意实数 x，依照对应关系，依照对应关系f，都有唯一的实数，都有唯一的实数 y与之与之对应，则称对应，则称 f 是定义在是定义在 D上的上的函数函数，记作，记作与实数与实数 x0 对应的实数对应的实数 y0称为函数在点称为函数在点x0处的值，简称处的值，简称函函数值数值，记作，记作 或或 .数集数集D称为函数称为函数 f 的的定义域定义域，函数值的集合，函数值的集合 称为函数称为函数 f 的的值域值域 x称作称作自变量自变量,y称作称作因变量因变量 讨论：讨论：定义中有哪些关键词？决定一个函数有哪些主定义中有哪些关键词？决定一个函数有哪些主要因素？要因素？答：答：1.定义域、对应关系是确定函数的两大要素。定义域、对应关系是确定函数的两大要素。如果自变量在定义域内任取一个数值时，如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数单值函数，否则叫做多值函数函数定义域的确定：函数定义域的确定：（1）由算式表示的函数，由算式表示的函数，定义域是自变量所定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合能取的使算式有意义的一切实数组成的集合.（2 2）有实际意义的函数有实际意义的函数，根据实际意义确定根据实际意义确定.例例1 Gauss函数，不超过自变量函数，不超过自变量的最大整数的最大整数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例阶梯曲线阶梯曲线 答答如如?例例2 符号函数符号函数例例3 分段函数分段函数例例4 Dirichlet函数函数 自变量在不同范围内取值时，自变量在不同范围内取值时，函数表达式可能不同，这样的函数函数表达式可能不同，这样的函数称为称为分段函数分段函数。曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程“三毛在你东偏北三毛在你东偏北60度度”你是否你是否能够准确地确定对方的位置？能够准确地确定对方的位置？从该例可以看出，我们不仅可以利用平面直角坐标系的坐标确从该例可以看出，我们不仅可以利用平面直角坐标系的坐标确定一个点还可以利用定一个点还可以利用距离距离和和角度角度这样一组数来确定一个点这样一组数来确定一个点你你从平面中的一个点从平面中的一个点 出发作一条射线出发作一条射线 ，再选定一个长度单位和角的正方向（通再选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），常取逆时针方向），点点 称为称为极点极点射线射线 称为称为极轴极轴.再知道再知道“他距离你他距离你50公里公里”，能，能确定他的位置了吗？确定他的位置了吗？这就是这就是极坐标系极坐标系，点点P 到极点的距离到极点的距离r，称为点，称为点P的的极径极径；因此在极坐标系下，平面上任一点因此在极坐标系下，平面上任一点P（除极点外）都可以与（除极点外）都可以与一个二元有序数组一个二元有序数组 建立一一对应关系称二元有序数组建立一一对应关系称二元有序数组 为点为点P的的极坐标极坐标.给定平面中的一个点（非原点）都可以确定一对数与它对应：给定平面中的一个点（非原点）都可以确定一对数与它对应：例如：例如：图中的图中的M也可以记作也可以记作 （当（当 时）时）.可以记为可以记为 （当（当 时）；时）；极轴到射线极轴到射线 的转角的转角 ，称为点称为点P的的极角极角，规定规定 （或（或 ）注：注：极点极点 是唯一极坐标不确定的点，其极径是唯一极坐标不确定的点，其极径 ，极角可以，极角可以任意取值任意取值讨论：讨论：在极坐标系下分在极坐标系下分别是什么图形？别是什么图形？答：答：射线：射线：半径为：半径为a的圆的圆 将直角坐标系与极坐标系的原点重合，极轴与将直角坐标系与极坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴正半轴重合，轴重合，你能给出极坐你能给出极坐标与直角坐标标与直角坐标之间的转化关之间的转化关系吗？系吗？那么那么则极坐标与直角坐标之间的转化关系为：则极坐标与直角坐标之间的转化关系为：利用极坐标可以建立平面中的图形与方程间的一一对应利用极坐标可以建立平面中的图形与方程间的一一对应例：例：方程方程表示以极点表示以极点 为中心、半径为为中心、半径为2的圆；的圆；一般极坐标系下的曲线方程可以表示为一般极坐标系下的曲线方程可以表示为 或或 ，由后者可以看出，由后者可以看出 是是 的函数的函数.答：答：将将 带入到极坐标方程带入到极坐标方程 中，得中，得方程方程 用极坐标表示就是用极坐标表示就是将将 带入到直角坐标方程带入到直角坐标方程 中，得中，得你能用直角坐标系和极你能用直角坐标系和极坐标系之间的关系验证坐标系之间的关系验证这两个结论吗？这两个结论吗？极坐标常用函数举例：极坐标常用函数举例：圆圆圆圆阿基米德螺线阿基米德螺线三叶玫瑰线三叶玫瑰线心形线心形线 这就得到一个这就得到一个D 到到D的函数，称其为函数的函数，称其为函数 f 的反函数，的反函数，函数函数 y=3x+1，对任意的，对任意的 ，都有，都有y 的唯一取值与的唯一取值与其对应；其对应；称为函数称为函数y=3x+1,的反函数的反函数.三、反函数三、反函数 反过来，由这个对应关系，对每个反过来，由这个对应关系，对每个都有唯一的都有唯一的 与其对应。与其对应。反函数：反函数：设函数设函数 的值域为的值域为D，如果对任意的，如果对任意的 都有唯一的都有唯一的 满足满足 f(x)=y，通常记作通常记作一般的，有反函数的概念：一般的，有反函数的概念：例如例如 由于由于 是是 到到 的一一对应，因此，它的一一对应，因此，它存在存在 的反函数，记作的反函数，记作 同一条曲线从两个不同的同一条曲线从两个不同的角度描述了变量角度描述了变量x和和y的同样的的同样的对应关系对应关系.因此，函数因此，函数 的图形的图形与它的反函数与它的反函数 的图形的图形是同一个是同一个 根据习惯，反函数通常也用根据习惯，反函数通常也用x表示自变量，用表示自变量，用y表示表示相应的函数值，相应的函数值，于是通常将函数于是通常将函数 的反函数记为的反函数记为改改写写改改写写由由(x,y)与与(y,x)关关于于直线直线 对称对称.因此，函数因此，函数 的的图形与它的反函数图形与它的反函数 的图形关于直线的图形关于直线 对称对称.而将而将 变成了变成了 符号的改变造成了符号的改变造成了 上的点上的点(x,y)变成了变成了 上的点上的点(y,x)，我们知道函数我们知道函数 与与 的图形是同一个的图形是同一个.我们知道钟摆的振动周期我们知道钟摆的振动周期四、复合函数四、复合函数摆长摆长重力加速度重力加速度(其中其中l0 为温度为为温度为0 0C时的摆长时的摆长,为伸缩系数为伸缩系数.).)而摆长会随温度的改变而伸缩，则当温度为而摆长会随温度的改变而伸缩，则当温度为t 0C 时的摆长为时的摆长为下面研究温度的变化对钟表快慢的影响下面研究温度的变化对钟表快慢的影响建立钟摆的周期建立钟摆的周期T T 和温度和温度t t 之间的函数关系：之间的函数关系：代入代入称为称为 的复合函数。的复合函数。复合函数：复合函数：设设D 为一非空实数集合，称由函数为一非空实数集合，称由函数 和和 所确定的所确定的 的函数的函数h 为函数为函数 的的复合函数，记作复合函数，记作 即即一般的，有复合函数的概念：一般的，有复合函数的概念：例如：例如：复合为函数复合为函数复合为函数复合为函数复合为函数复合为函数注意注意:2.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;1.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.思考：思考：在复合函数的定义中，若记在复合函数的定义中，若记 y=f(u)的定义域为的定义域为D1，必，必有有 如果如果 非空可以吗？如果可以，复合非空可以吗？如果可以，复合后的函数的定义域将是怎样的集合？后的函数的定义域将是怎样的集合？因此可以限制因此可以限制 x，如，如思考：思考：在复合函数的定义中，若记在复合函数的定义中，若记 y=f(u)的定义域为的定义域为D1，必，必有有 如果如果 非空可以吗？如果可以，复合非空可以吗？如果可以，复合后的函数的定义域将是怎样的集合？后的函数的定义域将是怎样的集合？例如：例如：可以看到，由可以看到，由 得得考虑函数考虑函数但是，对函数但是，对函数 要求要求得到复合函数得到复合函数五、函数的四则运算五、函数的四则运算 函数函数 的定义域分别为的定义域分别为 定义这两个函数的四则运算为定义这两个函数的四则运算为和和(差差)积积商商六、基本初等函数与初等函数六、基本初等函数与初等函数 在中学里我们学习了下面这些函数在中学里我们学习了下面这些函数.1常值函数常值函数 2 幂函数幂函数 3 指数函数指数函数 4 对数函数对数函数 5 三角函数三角函数 6 反三角函数反三角函数 基本初等函数经过基本初等函数经过有限次的复合、有限次有限次的复合、有限次的四则运算得到的且能的四则运算得到的且能用一个算式表示的函数用一个算式表示的函数称为称为初等函数初等函数.基基本本初初等等函函数数有限次的复合有限次的复合有限次的四则运算有限次的四则运算双曲函数双曲函数七、几种具有特殊性质的函数七、几种具有特殊性质的函数1.1.有界函数有界函数从字面意思上理解什么是有从字面意思上理解什么是有界界?什么是无界什么是无界?我们能找到数我们能找到数K1,K2得得使函数值在使函数值在 K2 和和K1之间之间.对于给定的正数对于给定的正数K1 K2 K3，总有函数值能够，总有函数值能够“超过超过”它它.有界与无界：有界与无界：如果存在正数如果存在正数M，使得，使得 则称函则称函数数 在在X上上有界有界，而，而M称为称为 在在X上的一个界；否则称函上的一个界；否则称函数数 在在X上为无界函数，也简称上为无界函数，也简称 在在X上上无界无界一个在某数集上有界一个在某数集上有界的函数，它的界唯一的函数，它的界唯一吗？吗？显然函数的界不唯一，显然函数的界不唯一，若若M为函数的一个界，为函数的一个界，则大于则大于M的数（如的数（如M1）都可以作为它的界）都可以作为它的界.从函数有界的定义来从函数有界的定义来看，所谓函数有界一看，所谓函数有界一定是在整个定义域有定是在整个定义域有界吗？界吗？上界：上界：函数函数 的定义域为数集的定义域为数集D，数集，数集 ，如果存在数，如果存在数 ，使得，使得 则称函数则称函数 在在X上有上界，而上有上界，而 称为函数称为函数 在在X上的一个上界上的一个上界.下界：下界：如果存在数如果存在数 ，使得，使得 则称函数则称函数 在在X上有下界，而上有下界，而 称为函数称为函数 在在X上的一个下界上的一个下界.您能否根据上面您能否根据上面上界的定义，给上界的定义，给出下界的定义？出下界的定义？例如：例如：既有上界，又有下界既有上界，又有下界.在在 上只有下界，上只有下界，没有没有上界上界.讨论：讨论：1.如果正数如果正数M是有界函数是有界函数 f(x)的一个界的一个界那么它有上界、那么它有上界、下界吗？如果有，下界吗？如果有，请指出它的一个上界、一个下界请指出它的一个上界、一个下界 2.若在若在X上上f(x)有上界有上界K1 和和下界下界K2，它有界吗？如果有界它有界吗？如果有界请找出它的一个界请找出它的一个界结论：结论：f(x)在在X上有界上有界 f(x)在在X上既有上界又有下界上既有上界又有下界答：答：1.M为为 f(x)的一个的一个上上界界，-M为为它的一个下界它的一个下界这是因为这是因为2.取取M=max|K1|,|K2|则有下式成立则有下式成立再给出再给出最大值最大值与与最小值最小值的概念的概念 设函数设函数 在区间上在区间上I 有定义，若存在点有定义，若存在点 使得对于任意的使得对于任意的 ，都有，都有成立，则称成立，则称 与与 分别是函数分别是函数 在区间在区间I上的上的最大值最大值与与最小值最小值，而称，而称 分别为该函数的分别为该函数的最大值点最大值点与与最最小值点小值点最大值最大值最小值最小值最大值点最大值点最小值点最小值点例如：例如：函数函数 有最大值有最大值1，最小值，最小值-1.与与 分别是其最大值分别是其最大值点与最小值点点与最小值点讨论：讨论：一个函数在某指定的范围内一定有最大值、最小值吗？一个函数在某指定的范围内一定有最大值、最小值吗？在定义域内既没在定义域内既没有最大值也没有有最大值也没有最小值；最小值；在定义域内只有在定义域内只有最小值零而无最最小值零而无最大值；大值；y=x在区间在区间(-(-1,1)1,1)内既无最大内既无最大值也无最小值值也无最小值可见，并不是每一可见，并不是每一个函数在指定的范个函数在指定的范围内都有最大值、围内都有最大值、最小值最小值 显然，如果函数在区显然，如果函数在区间上有最大值与最小值，间上有最大值与最小值，那么在区间上有界但是那么在区间上有界但是反过来未必成立反过来未必成立 请分别举请分别举出这样的出这样的例子例子.2.2.单调函数单调函数如何描述函数的如何描述函数的单调递增（减）单调递增（减）性质呢？性质呢？单调递增函数单调递增函数单调递减函数单调递减函数 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间 ，若对于任意的两，若对于任意的两点点 ，当，当 时，恒有时，恒有 则称则称 f(x)为区间为区间I上的上的单调递增（递减）函数单调递增（递减）函数单调递增与单调递减函数统称为单调递增与单调递减函数统称为单调函数单调函数.定义中有哪定义中有哪些关键词？些关键词？单单调调递递增增函函数数单单调调递递减减函函数数 事实上，有些函数在整个定义域不一定是单调的，但事实上，有些函数在整个定义域不一定是单调的，但例如：例如：在区间在区间 内单调递增；内单调递增；在区间在区间 内单调递减内单调递减.若若 f(x)在其定义域的一个子区间在其定义域的一个子区间I上单调，称上单调，称I为为 f(x)的的单调增区间单调增区间单调减区间单调减区间在定义域在定义域R内不单调；内不单调；值得注意的是，值得注意的是，定义中并没有要求讨论函数在整个定定义中并没有要求讨论函数在整个定义域内的单调性义域内的单调性 它却在定义域内的一个子区间上单调它却在定义域内的一个子区间上单调单调区间单调区间3.3.奇偶函数奇偶函数 函数函数 f(x)的图像关于的图像关于y 轴对称，轴对称，我们称函数我们称函数f(x)为偶函数；为偶函数；函数函数 f(x)的图像关于原点对称，的图像关于原点对称，我们称函数我们称函数f(x)为奇函数为奇函数.奇奇函函数数偶偶函函数数 若函数若函数 y=f(x)的定义域为关于原点对称的区间的定义域为关于原点对称的区间D，并且对，并且对于任意的于任意的 ，恒有，恒有 成立，则称成立，则称f(x)为为D上的上的偶偶函数函数；如果对于任意的；如果对于任意的 ，恒有，恒有 成立，则称成立，则称f(x)为为D上的上的奇函数奇函数奇偶函数定义的前提是什么奇偶函数定义的前提是什么？有哪些关键词？有哪些关键词？如何用分析的如何用分析的语言描述函数语言描述函数的奇偶性呢？的奇偶性呢？4.4.周期函数周期函数 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在正数，如果存在正数 l，使得对于任，使得对于任意的意的 ，有，有 ，并且，并且 恒成立，则称恒成立，则称 f(x)为为周期函数周期函数.称称l 为函数为函数 f(x)的的周期周期.周期函数的周周期函数的周期期唯一吗？唯一吗？注：注：周期函数的周期并不唯周期函数的周期并不唯一，通常提到的周期是指最一，通常提到的周期是指最小的正周期小的正周期.