函数的插值与拟合法.ppt
第四章 函数的插值与拟合法4.1 引言 4.2 插值多项式的构造 4.3 分段低次插值 4.4 最小二乘法一、插值问题的提出：在许多实际问题中，f(x)往往有两种情况，一是f(x)是表格函数；二是f(x)是解析函数，但表达式复杂，不易计算，而我们往往要研究函数的性质。为此，我们想构造一个新的函数来逼近原来的函数。插值就是求函数的近似表达式的一种方法。4.1 引言引言 具体地说，给出f(x)在n+1个点上的函数值。问题是根据该表格构造一个新的函数一、插值多项式：所谓插值多项式就是构造一个代数多项式来近似f(x)。即已知f(x)在n+1个点上的函数值，求一个n次多项式 ,使 该处：插值条件：插值区间：几何意义：记 即有 所以，解存在且惟一，这说明由式(4-2)表示的 存在且惟一，证毕。证证问题：由 确定一个次数不超过n次的代数插值多项式 满足 存在且惟一。二、插值多项式的唯一性二、插值多项式的唯一性注：注：唯一，但表达形式可以不唯一。唯一，但表达形式可以不唯一。4.2 插值多项式的构造插值多项式的构造 一、一、基本插值多项式基本插值多项式 适合下列表函数适合下列表函数 1.定义定义 的插值多项式的插值多项式 叫做以叫做以 为节点的基本插为节点的基本插值多项式。值多项式。因为我们想一下子构造一个插值多项式比较困难，因为我们想一下子构造一个插值多项式比较困难，所以先构造最简单的。所以先构造最简单的。由定义可知由定义可知2.构造构造由上，由上，有有n个个互不相同的零点，互不相同的零点，Lagrange基本插值多项式基本插值多项式注：注：1.n+1个节点个节点n+1个基本插值多项式。个基本插值多项式。2.仅与节点有关，与仅与节点有关，与f(x)无关。无关。二二、Lagrange插值多项式插值多项式抛物插值 (n=2)线性插值 (n=1)注：注：1.是是 的线性组合。的线性组合。2.与节点的排列顺序无关。与节点的排列顺序无关。3.与节点及其值有关，而与与节点及其值有关，而与f(x)无关。无关。例：已知列表函数例：已知列表函数X -1 0 1 2Y 1 1 1 -5,并并计算计算f(0.5)的计算值。的计算值。解：解：若是线性插值，取若是线性插值，取若是线性插值，取若是线性插值，取三、三、Lagrange插值多项式的余项插值多项式的余项 证证:(作辅助函数）注注（1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式 （2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 尽可能小，以减小误差。推论推论 例例 4.1 给定函数表试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46的近似值并估计误差。x1.21.31.41.51.61.7lnx0.1823220.2623640.3364720.4054650.4700040.530628作线性插值 得 作抛物插值 得解解 4.2.2 牛顿均差插值多项式牛顿均差插值多项式 一、均差，均差表一、均差，均差表 节点节点 函数值 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 五阶均差一、均差，均差表一、均差，均差表 其中：其中：注：注：推论推论：若f(x)是一个次数不超过n次多项式，则它的插值多项式就是它自己。例1：已知x0.400.550.650.800.901.05y0.410750.578150.696150.888111.026521.25386(2)与0.596最接近的三个0 0.40 0.410751 0.55 0.57815 1.11602 0.65 0.69615 1.1860 0.28003 0.80 0.88811 1.2757 0.3583 0.1974 0.90 1.02652 1.3848 0.4336 0.214 0.0345 1.05 1.25386 1.5156 0.5260 0.231 0.034 0 i 一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 四阶四阶 五阶五阶 解解:(1)例例 2 给定表格函数试求均差 首先由定义得x012345678f(x)107-3-19-39-59-71-599解解均差的性质：这性质又称为均差关于自变量对称例例 4.3 试用列表法对例4.2的表格函数求 f1,3,5,7列表计算得 xif(xi)一阶均差 二阶均差三阶均差13577-19-59-59-13-200-1.7551.125所以 f 1,3,5,7=1.125解解Nn(x)称为牛顿均差插值多项式牛顿均差插值多项式。证证此外，我们可利用插值多项式进行“反插”计算。例例 4 给定表格函数 x12345f(x)0.50.1751.31-1.49510.36（1）试用二次牛顿均差插值法求 f(2.8)的近似值；（2）设 f(x)=-1.166 已知，试用（1）中构造的插值多项 式求 x 的近似值。解解 4.3 分段低次插值（略）分段低次插值（略）4.4 最小二乘法最小二乘法 4.4.1 最小二乘法的提出最小二乘法的提出 xy已知已知 二、用最小二乘法求数据的曲线拟合xy解解它称为法方程组法方程组（或正规方程组正规方程组）。解解（1）描图二次曲线(2)建立关于 的正规方程组。例1：数据 x 1 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2 7 8 9 10 11 11 9 0试求一曲线，最好地拟合这组数据。解得例例 5 试对以下数据进行多项式拟合 xi12345678yi1.13.88.715.624.6 37.4 49.664.2解解x-2012y1.905.113.8例例 4.6 用最小二乘法求形如 y=ax+bx2 的多项式，使与下列数据拟合（得数保留三位小数）解解例例 4.7 给定数据试求形如 y=a+bx2 的拟合多项式（得数保留三位小数）。解解x-5012y52.63.45.510.5 4.4.3 最小二乘法的应用例最小二乘法的应用例 4.4.3.1 数据的指数拟合 例例 4.8 试对下表数据进行指数拟合 xi123456yi15.420.426.837.248.863.3解解xi123456Zi=ln yi2.73443.01553.28843.61633.88774.1479 4.4.3.2 超定方程组的最小二乘解 例例 4.9 试求以下超定方程组的最小二乘解。解解
