材料力学7-1.ppt
大连理工大学大连理工大学基础力学教学研究所基础力学教学研究所基础力学教学研究所基础力学教学研究所材料力学材料力学Mechanics of Materials 6-16-1厚度为厚度为1.5mm1.5mm的钢带，卷为直径为的钢带，卷为直径为3m3m的圆环，试求横截面上的最大的圆环，试求横截面上的最大正应力。正应力。E=210GPa=210GPa。解：解：6-66-6已知已知 s st t=40MPa,=40MPa,s sc c=100MPa,=100MPa,Iz z=6.0110=6.0110-5-5m m4 4，试校核该梁。，试校核该梁。解：解：6-96-9当集中载荷直接作用于跨度为当集中载荷直接作用于跨度为6m6m的简支梁中点时，梁内的最大正应的简支梁中点时，梁内的最大正应力超过许用值力超过许用值30%30%，为了消除此现象，增加一个附梁，求其最小跨，为了消除此现象，增加一个附梁，求其最小跨度度a a。解：解：材力材力7-116内容内容内容内容 Chap.7 Chap.7 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形 7.1 7.1 概念概念概念概念 7.2 7.2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 7.3 7.3 积分法积分法积分法积分法要求要求要求要求 掌握挠曲线近似微分方程及积分法，掌握挠曲线近似微分方程及积分法，掌握挠曲线近似微分方程及积分法，掌握挠曲线近似微分方程及积分法，积分条件积分条件积分条件积分条件上节回顾上节回顾1.中性层曲率中性层曲率2.弯曲正应力公式弯曲正应力公式上节回顾上节回顾3.弯曲切应力公式弯曲切应力公式zzzz 以上图形都是中性轴上有最大切应力，以上图形都是中性轴上有最大切应力，但不是所有图形都是这样。但不是所有图形都是这样。矩形：矩形：上节回顾上节回顾4.弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 和切应力强度条件和切应力强度条件zy正应力强度条件正应力强度条件正应力强度条件正应力强度条件 当当当当 y y=y ymaxmax ,有有有有=maxmax,=0,=0 类似于轴向拉压，所以类似于轴向拉压，所以类似于轴向拉压，所以类似于轴向拉压，所以 当当当当 y y=0=0 ,有有有有=0,=0,=maxmax 为纯剪切，所以为纯剪切，所以为纯剪切，所以为纯剪切，所以切应力强度条件切应力强度条件切应力强度条件切应力强度条件max maxmax第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 7.1 概述概述 一、一、研究变形的目的研究变形的目的 1.建立刚度条件；建立刚度条件；2.利用变形（缓冲，减震）；利用变形（缓冲，减震）；3.解静不定问题。解静不定问题。例例二、挠曲线二、挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线。梁变形后的轴线称为挠曲线。梁变形后的轴线称为挠曲线。梁变形后的轴线称为挠曲线。特点：特点：特点：特点：1.1.p p,光滑连续，光滑连续，光滑连续，光滑连续，f,f,ff,f,f连续；连续；连续；连续；2.2.平面弯曲变形时为一条平面曲线，平面弯曲变形时为一条平面曲线，平面弯曲变形时为一条平面曲线，平面弯曲变形时为一条平面曲线，y=f(x).F轴线轴线挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线yx三、梁的位移三、梁的位移1.1.挠度：挠度：挠度：挠度：截面形心在垂直于原轴线方向的线位移。截面形心在垂直于原轴线方向的线位移。截面形心在垂直于原轴线方向的线位移。截面形心在垂直于原轴线方向的线位移。与与与与 y y 轴正向一致为正。挠度方程轴正向一致为正。挠度方程轴正向一致为正。挠度方程轴正向一致为正。挠度方程 w=w w=w(x x)2.2.转角转角转角转角：横截面的角位移。与自横截面的角位移。与自横截面的角位移。与自横截面的角位移。与自 x x 轴正向转到轴正向转到轴正向转到轴正向转到 y y 轴轴轴轴 正向一致为正。转角方程正向一致为正。转角方程正向一致为正。转角方程正向一致为正。转角方程 =（x x）3.3.水平线位移：水平线位移：水平线位移：水平线位移：平行于轴线方向的线位移忽略。平行于轴线方向的线位移忽略。平行于轴线方向的线位移忽略。平行于轴线方向的线位移忽略。Fxywx四、挠度与转角的关系四、挠度与转角的关系 小变形小变形 tan=wxyxwBAl五、约束处的挠度和转角五、约束处的挠度和转角 x=x=0,0,w=w=0 0 x=x=0 0,w=,w=0 0,=0 0 xBAlxwA=0 x x=l,w=l,w=0 0wB=0wA=0A=0FFaaxdxyx7.2 7.2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲挠曲线曲率挠曲线曲率挠曲线曲率挠曲线曲率一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程d参考：高等数学第三章微分中值定理与导数的应用xyoM M 与与与与 w w 同号同号同号同号正负号的确定正负号的确定挠曲线微分方程挠曲线微分方程挠曲线微分方程挠曲线微分方程M 0w 0 xyoM 0w 0挠曲线微分方程挠曲线微分方程小变形：小变形：小变形：小变形：w w 1,1,或或或或 w w 0 0 ，挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程注意事项注意事项 适用条件适用条件 1.应采用右手坐标系；应采用右手坐标系；2.忽略剪力忽略剪力 FQ 的影响；的影响；3.小变形，小变形，w 1,或或 w 0；4.材料服从胡克定律。材料服从胡克定律。二、画挠曲线大致形状二、画挠曲线大致形状 依据依据 1.载荷情况（画载荷情况（画M图是必须的）；图是必须的）；2.凹凸情况凹凸情况由由w即即M的正负号决定；的正负号决定；3.约束条件；约束条件；4.光滑连续特性。光滑连续特性。FlFlMFlbaABCMF直线直线直线直线lllMeMeABCD画挠曲线大致形状画挠曲线大致形状那一个是正确的？那一个是正确的？DCAB7.3 7.3 积分法计算梁的变形积分法计算梁的变形 每段弯矩方程积分后出现两个积分常数，每段弯矩方程积分后出现两个积分常数，须确定它们。须确定它们。积分常数的确定积分常数的确定 1.边界条件边界条件(B.C)约束条件约束条件 挠曲线必须正确地通过约束点。挠曲线必须正确地通过约束点。2.连续条件连续条件(C.C)相邻挠曲线必须光滑连接。相邻挠曲线必须光滑连接。例：写出确定积分常数的条件例：写出确定积分常数的条件B.C:x=0,w1=0 w1=0 x=a+l,w2=lCDC.C:x=a,w1=w2allxABCDyqFBa2aCA例题例题1已知：已知：已知：已知：EI EI=常数常数常数常数求：求：求：求：1.1.挠度、转角方程；挠度、转角方程；挠度、转角方程；挠度、转角方程；2.2.w wmaxmax ,max max;3.3.画挠曲线大致形状。画挠曲线大致形状。画挠曲线大致形状。画挠曲线大致形状。解：解：解：解：1.1.建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系F FA A=2=2F F/3/3（）,F FB B=F F/3/3（）EIwEIw1 1=F=FA Ax x3 3/6/6C C1 1 x xD D1 1EIwEIw1 1=F=FA Ax x2 2/2/2C C1 1EIwEIw1 1=F FA Ax x4.4.列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分MM1 1=F FA Ax x （0 0 x x a a）3.3.列弯矩方程列弯矩方程列弯矩方程列弯矩方程EIwEIw2 2=F FA Ax x F F(x xa a)EIwEIw2 2=F=FA Ax x2 2/2/2 F F(x xa a)2 2/2/2 C C2 2EIwEIw2 2=F=FA Ax x3 3/6/6 F F(x xa a)3 3/6/6C C2 2x xD D2 2MM2 2=F FA Ax x F F(x xa a)（a a x x 33a a ）2.2.求支反力求支反力求支反力求支反力xyxxFAFB5.确定积分常数确定积分常数x=0,w1=0 D1=0 x=3a,w2=0 C1=C2=5Fa2/96.确定挠曲线方程确定挠曲线方程EI1=Fx2/3 5Fa2/9 EI2=Fx2/3F(xa)2/2 5Fa2/9EIw1=Fx3/9 5Fa2x/9 EIw2=Fx3/9F(xa)3/6 5Fa2x/9 （0 x a）（a x 3a）7.求求wmax,maxx=a,w1=w2C1=C2 （）w1 =w2 D1=D2=0FBa2aCAxyxxFAFB 接近最大挠度，通常可代替最大挠度计算。接近最大挠度，通常可代替最大挠度计算。接近最大挠度，通常可代替最大挠度计算。接近最大挠度，通常可代替最大挠度计算。8.画挠曲线大致形状画挠曲线大致形状画挠曲线大致形状画挠曲线大致形状 可根据约束和荷载画出。可根据约束和荷载画出。可根据约束和荷载画出。可根据约束和荷载画出。对比对比对比对比,梁的中点梁的中点梁的中点梁的中点D DFBa2aCAxyxxFAFB例题例题2求求求求q q q qmaxmax和和和和w wmaxmax(1)建立坐标系；建立坐标系；(2)求支反力；求支反力；(3)列弯矩方程；列弯矩方程；(4)列挠曲线微分方列挠曲线微分方程程;(5)确定积分常数确定积分常数;(6)得到转角方程和得到转角方程和挠曲线方程挠曲线方程;(7)求最大值求最大值.解：解：(4)(4)列挠曲线微分方程列挠曲线微分方程;(5)(5)确定积分常数确定积分常数x=0,w=0;x=l,w=0(6)(6)得到转角方程和挠曲线方程得到转角方程和挠曲线方程;(7)(7)求最大值求最大值在左右支座处取得最大值在左右支座处取得最大值在中点处取得最大值在中点处取得最大值常数常数C C和和D D的物理意义：的物理意义：C C和和D D除以除以EIEI后表示后表示x=0 x=0处的截面转角和挠度。处的截面转角和挠度。(1)建立坐标系；建立坐标系；(2)求支反力；求支反力；(3)列弯矩方程；列弯矩方程；(4)列挠曲线微分方程（积分）列挠曲线微分方程（积分）;(5)确定积分常数确定积分常数;(6)得到转角方程和挠曲线方程得到转角方程和挠曲线方程;(7)求最大值求最大值.求解步骤：求解步骤：小 结作业作业7-5（b）7-5（c）
