大学物理 第二章 应力理论.ppt
22-1 2-1 内力和应力内力和应力2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式2-3 2-3 应力分量转换公式应力分量转换公式2-4 2-4 主应力主应力 应力不变量应力不变量2-5 2-5 最大剪应力最大剪应力 2-6 2-6 应力偏量应力偏量2-7 2-7 平衡微分方程平衡微分方程第二章第二章 应力理论应力理论 3研究方法研究方法用静力学观点研究物体在外力作用下的平衡状态用静力学观点研究物体在外力作用下的平衡状态主要内容主要内容应力的概念及其性质应力的概念及其性质平衡微分方程平衡微分方程适用范围适用范围任何连续介质任何连续介质第二章第二章 应力理论应力理论 4物体内部抵抗外力而产生的相互作用力。物体内部抵抗外力而产生的相互作用力。物体承受外力作用时会发生变形，物体内部会产生随物体承受外力作用时会发生变形，物体内部会产生随变形而增大的附加内力场。当内外力达到平衡时，变变形而增大的附加内力场。当内外力达到平衡时，变形不再继续，达到稳定的平衡状态。按小变形假定，形不再继续，达到稳定的平衡状态。按小变形假定，变形前、后物体的形状变化不大，故变形前、后物体的形状变化不大，故而可而可近似用初始近似用初始构型来建立平衡关系。构型来建立平衡关系。2-1 2-1 内力和应力内力和应力（1 1）内力）内力 5柯西（柯西（AugustinAugustin-Louis-Louis CauchyCauchy）17891789年生于法国，年生于法国，18571857年逝世。数学家和力学家。他奠年逝世。数学家和力学家。他奠定了弹性力学中应力和应变的理定了弹性力学中应力和应变的理论，首先指出了矩形截面杆的扭论，首先指出了矩形截面杆的扭转与圆截面杆的扭转有重大区别，转与圆截面杆的扭转有重大区别，最早研究了板的振动问题，在数最早研究了板的振动问题，在数学和力学的其他方面也有很多突学和力学的其他方面也有很多突出的贡献。出的贡献。柯西柯西（CauchyCauchy）2-1 2-1 内力和应力内力和应力 6定义极限：定义极限：为作用在为作用在P P点处法线为点处法线为 的面元上的应力矢量。的面元上的应力矢量。小变形小变形时，时，S为初始面积，则上式为为初始面积，则上式为工程应力工程应力（名义应力）（名义应力）;大变形大变形时，时，S为变形后实际面积，得为变形后实际面积，得真实应力真实应力。2-1 2-1 内力和应力内力和应力（2 2）应力）应力(Cauchy)(Cauchy)71）数学定义和物理量纲相同，均为数学定义和物理量纲相同，均为力力/长度长度2 2）应力是作用在物体内截面上未知内力，而面力是作应力是作用在物体内截面上未知内力，而面力是作用在物体外表面上的已知外力。当内截面无限趋近于用在物体外表面上的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力就趋近于面力的值。外表面时，应力就趋近于面力的值。注意注意：刚体力学中，力可以看作自由矢量沿作用线任：刚体力学中，力可以看作自由矢量沿作用线任意滑移；而变形体力学中力和应力矢量都有固定的作意滑移；而变形体力学中力和应力矢量都有固定的作用点，不能任意移动。用点，不能任意移动。应力矢量和面力矢量的异同点：应力矢量和面力矢量的异同点：2-1 2-1 内力和应力内力和应力 8（3 3）应力张量应力张量2-1 2-1 内力和应力内力和应力作用在正面 上的应力分量 沿坐标轴正向分解为外法线与坐标轴同向的三个面元称为正面()，反之为负面(-)。9第一指标第一指标 i 称为面元指标；第二指标称为面元指标；第二指标 j 称方向指标。当称方向指标。当 i=j 时，时，应力分量垂直于面元，应力分量垂直于面元，称之为正应力。当称之为正应力。当 ij 时，时，应力分量作用在面元平面内，应力分量作用在面元平面内，称之为剪应力。称之为剪应力。2-1 2-1 内力和应力内力和应力 10规规定定：正正面面上上与与坐坐标标轴轴同同向向为为正正；负负面面上上与坐标轴反向为正。与坐标轴反向为正。正面正向正面正向 负面负向为正负面负向为正（4）应力分量的正向规定）应力分量的正向规定2-1 2-1 内力和应力内力和应力此规定正确地反映了作用与反作用原理和此规定正确地反映了作用与反作用原理和“受拉受拉为正、受压为负为正、受压为负”的传统观念，数学处理也比较的传统观念，数学处理也比较统一。统一。11弹性力学弹性力学材料力学材料力学2-1 2-1 内力和应力内力和应力注：注：剪应力正向与材料力学规定不同剪应力正向与材料力学规定不同注意：在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。注意：在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。12(1)(2)2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式这一节讨论物体内任一点的应力状态，即假设任一点这一节讨论物体内任一点的应力状态，即假设任一点P的的6个直角坐标面上的应力分量已知，求经过个直角坐标面上的应力分量已知，求经过P点的任一斜面点的任一斜面上的应力。为此，在上的应力。为此，在P点附近取一个平面点附近取一个平面ABC平行于这一平行于这一斜面，并与经过斜面，并与经过P点而平点而平行于坐标面的三个平面形成行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体一个微小的四面体PABC。当四面体无限减小而趋于当四面体无限减小而趋于P点时，平面点时，平面ABC上的应力成上的应力成为该斜面上的应力。为该斜面上的应力。13图中四面体图中四面体PABC，由由三个负面和一个法向三个负面和一个法向矢量为矢量为的斜截面组成，其中的斜截面组成，其中为为 的方向余弦。的方向余弦。(1)(2)2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式(1)(2)14四面体的体积为四面体的体积为(3)(4)设斜面设斜面ABC的面积为的面积为dS，则三个负面的面积分别为则三个负面的面积分别为2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式dh为顶点为顶点P到斜面的垂直距离。到斜面的垂直距离。15四面体上作用力的平衡条件为：四面体上作用力的平衡条件为：(5)将将(3)、（、（4）式代入式代入(5)式，除以式，除以dS，得：，得：(6)2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式 16定义应力张量定义应力张量此即柯西公式此即柯西公式，又称，又称斜面应力公式斜面应力公式。斜面应力沿坐标轴方向分解有：斜面应力沿坐标轴方向分解有：(7)(8)(9)2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式(6)17则柯西公式的分量表达式为：则柯西公式的分量表达式为：(10)注注：是沿坐标轴方向的分量，一般是沿坐标轴方向的分量，一般不是斜面上的正应力或剪应力。不是斜面上的正应力或剪应力。2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式 18（1）求斜截面上各种应力）求斜截面上各种应力从从（10）式可算出斜面应力式可算出斜面应力 （又称（又称全应力全应力）的大小的大小(11)方向为方向为柯西公式的应用柯西公式的应用2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式(10)19斜面正应力斜面正应力 是是 在斜面法线方向上的分量：在斜面法线方向上的分量：斜面剪应力斜面剪应力 是是 在斜面内的分量：在斜面内的分量：(12)(13)2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式其中其中 为方向余弦。为方向余弦。20（2 2）给定力边界条件）给定力边界条件 若斜面是物体的边界面，且给定面力若斜面是物体的边界面，且给定面力 ，则柯西，则柯西公式可用作未知应力场的力边界条件：公式可用作未知应力场的力边界条件：(14)(15)2-2 2-2 斜面应力公式斜面应力公式其中，其中，Pj是面力沿坐标轴方向的分量，通常记为是面力沿坐标轴方向的分量，通常记为 ，则力边界条件的常用形式为（注意剪应力互等），则力边界条件的常用形式为（注意剪应力互等）21 物体在一定外力作用下，其内力和变形也物体在一定外力作用下，其内力和变形也是一定的，但这些物理量随着选取的直角坐是一定的，但这些物理量随着选取的直角坐标系不同它们的分量是不一样的，但不同坐标系不同它们的分量是不一样的，但不同坐标系下它们（分量）之间的转换应遵循一定标系下它们（分量）之间的转换应遵循一定的规律。的规律。2-32-3 应力分量转换公式应力分量转换公式 22（1 1）两个不同直角坐标系下基向量的转换：）两个不同直角坐标系下基向量的转换：第一个直角坐标系（旧）第一个直角坐标系（旧）：第二个直角坐标系（新）第二个直角坐标系（新）：其中，单位基矢量有：其中，单位基矢量有：2-32-3 应力分量转换公式应力分量转换公式 23新坐标基矢量由旧坐标基矢新坐标基矢量由旧坐标基矢量表示为：量表示为：两边点积两边点积 2-32-3 应力分量转换公式应力分量转换公式 24或或 则新坐标基矢量用旧基矢量表示为：则新坐标基矢量用旧基矢量表示为：2-32-3 应力分量转换公式应力分量转换公式 与与 的方向余弦共有的方向余弦共有9 9个元素，可用矩阵表示为：个元素，可用矩阵表示为：25同理，旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示同理，旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示为：为：九个元素用矩阵表示九个元素用矩阵表示为：为：注意注意 旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示为：旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示为：2-32-3 应力分量转换公式应力分量转换公式 26（2 2）矢量（向量）的坐标转换：）矢量（向量）的坐标转换：x3x2x1o如图坐标系中的矢量如图坐标系中的矢量2-32-3 应力分量转换公式应力分量转换公式 27用矩阵表示用矩阵表示 2-32-3 应力分量转换公式应力分量转换公式 28（3 3）应力（二阶）张量的坐标变换：应力（二阶）张量的坐标变换：转轴公式转轴公式2-32-3 应力分量转换公式应力分量转换公式 29（4）转轴公式的应用：转轴公式的应用：由老坐标系（直角坐标系）中的应力分量由老坐标系（直角坐标系）中的应力分量求新坐标系（曲线坐标系）中的应力分量；求新坐标系（曲线坐标系）中的应力分量；求斜截面应力。把斜面法线和斜面内某两求斜截面应力。把斜面法线和斜面内某两个相互垂直的方向选作新坐标轴，用转轴公个相互垂直的方向选作新坐标轴，用转轴公式能求得斜截面上的正应力和剪应力。式能求得斜截面上的正应力和剪应力。2-32-3 应力分量转换公式应力分量转换公式 30是否存在只有正应力而无剪应力的平面，即是否存在只有正应力而无剪应力的平面，即()与截与截面法线面法线 同向的截面？同向的截面？主应力和应力主方向主应力和应力主方向分量形式为：分量形式为：2-4 2-4 主应力，主应力，应力不变量应力不变量数学描述为：求某个法线方向数学描述为：求某个法线方向 ，使其满足：，使其满足：思考思考(16)31(17)线性方程组存在非零解的必要条件是系数行列式为零，线性方程组存在非零解的必要条件是系数行列式为零，即：即：(18)2-4 2-4 主应力，主应力，应力不变量应力不变量特征方程特征方程 32是应力矩阵的主对角分量之和，称为应力张量的迹，是应力矩阵的主对角分量之和，称为应力张量的迹，记作记作 ，也称，也称为为应力张量的第一不变量应力张量的第一不变量。是应力矩阵的二阶主子式之和，称为是应力矩阵的二阶主子式之和，称为应力张量的第二应力张量的第二不变量不变量。2-4 2-4 主应力，主应力，应力不变量应力不变量 33是应力矩阵的行列式，称为是应力矩阵的行列式，称为应力张量的第三应力张量的第三不变量不变量，记为，记为 。2-4 2-4 主应力，主应力，应力不变量应力不变量 34设特征根（主应力）分别为设特征根（主应力）分别为 ，得：，得：2-4 2-4 主应力，主应力，应力不变量应力不变量 35以主方向为法线的三个斜截面称以主方向为法线的三个斜截面称为为主平面主平面。在在主平面上只有正应力而无剪应力主平面上只有正应力而无剪应力。求出主应力求出主应力 后代回方程组（后代回方程组（16），并注），并注意意 的三个方向余弦的三个方向余弦 （即（即 ）可决定每个主应力可决定每个主应力 的主方向的主方向主方向与主平面主方向与主平面2-4 2-4 主应力，主应力，应力不变量应力不变量(16)36当当 ，任意方向均为主方向，称为，任意方向均为主方向，称为球形应球形应力或静水应力状态力或静水应力状态。主应力的性质主应力的性质当有一个重根时，如当有一个重根时，如 ，则与，则与 垂直平面内任垂直平面内任何方向为主方向何方向为主方向,主应力为主应力为 不变性不变性 特征根的主应力及其主方向都是不变量；特征根的主应力及其主方向都是不变量；实数性实数性 三个主应力均为实根，不可能为虚根（反证三个主应力均为实根，不可能为虚根（反证法）；法）；正交性正交性 三个主平面是相互正交的；三个主平面是相互正交的；2-4 2-4 主应力，主应力，应力不变量应力不变量 37极值性极值性(1)(1)最大（或最小）主应力是相应点处任意截面上正应最大（或最小）主应力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）者。力的最大（或最小）者。(2)(2)绝绝对对值值最最大大（或或最最小小）的的主主应应力力是是相相应应点点处处任任意意截截面上全应力的最大（或最小）者。面上全应力的最大（或最小）者。(3)(3)最大剪应力等于最大与最小主应力之差的一半。方最大剪应力等于最大与最小主应力之差的一半。方向与之相交为向与之相交为45。2-4 2-4 主应力，主应力，应力不变量应力不变量 38选主轴为参考轴，设主应力选主轴为参考轴，设主应力i(i=1,2,3)已知，则：已知，则：最大剪应力是最大剪应力是(19.c)式在约束条件式在约束条件(19.c)(20)下的条件极值。下的条件极值。（1 1）最大剪应力最大剪应力(19.b)(19.a)2-5 2-5 最大剪应力最大剪应力 39引入拉氏乘子引入拉氏乘子，求泛函求泛函 的极值。的极值。极值条件为：极值条件为：(21)2-5 2-5 最大剪应力最大剪应力 40将将(19.c)、(20)两式代入，可得：两式代入，可得：(22.a)(22.b)(22.c)(22.d)2-5 2-5 最大剪应力最大剪应力从中可求出三个法线方向，分别代回（从中可求出三个法线方向，分别代回（19.c19.c）式，）式，开方就得到三个剪应力极值，最大者即为最大剪开方就得到三个剪应力极值，最大者即为最大剪应力。应力。41 如如v2=0；v1，v30,则则 。以下分情况来讨论：以下分情况来讨论：（1）v1，v2，v3 中有一个为零中有一个为零将将(22.a)(22.c)式分别消去左端非零系数式分别消去左端非零系数v1和和v3后相减得：后相减得：设三个主应力不相等，设三个主应力不相等，则上式中，则上式中必要求必要求2-5 2-5 最大剪应力最大剪应力 42(23)2-5 2-5 最大剪应力最大剪应力这是平行于主轴这是平行于主轴x2且且与主轴与主轴x1，x3成成45角的斜面。角的斜面。上式中上式中v1和和v3的四种的四种组合分别对应于图组合分别对应于图中的中的1，2，3，4四四个单元。个单元。43将将(23)式代入式代入(19.c)式，式，得剪应力极值：得剪应力极值：和该截面上的正应力、全应力为：和该截面上的正应力、全应力为：(25)(24)(26)2-5 2-5 最大剪应力最大剪应力 44同理，若设同理，若设v v1 1=0=0或或v v3 3=0=0，可导出另两个剪应力极值，可导出另两个剪应力极值：它们的作用面方向分别为它们的作用面方向分别为(27)(28.a)(28.b)2-5 2-5 最大剪应力最大剪应力 45其他情况略，见参考书。其他情况略，见参考书。根据根据 的规定，则的规定，则最大剪应力最大剪应力为：为：(29)2-5 2-5 最大剪应力最大剪应力 462-6 2-6 应力偏量应力偏量应力张量应力张量 可分解成球形张量和偏斜张量可分解成球形张量和偏斜张量 47应力球量应力球量（又称（又称平均正应力张量平均正应力张量）2-6 2-6 应力偏量应力偏量 48应力偏量应力偏量2-6 2-6 应力偏量应力偏量 49在物体内任意一在物体内任意一点点 P P，取图示微取图示微小平行六面体小平行六面体（简称微元（简称微元）。）。体力体力fx fy fz,作用在微元体作用在微元体中中心心处处。正面形心。正面形心处的应力分量相处的应力分量相对负面有一个增对负面有一个增量。量。2-7 2-7 平衡微分方程平衡微分方程 50 同理可得同理可得 这这就是就是剪应力互等定理剪应力互等定理，或称，或称应力张量的对称性应力张量的对称性。化简并略去高阶微量，得化简并略去高阶微量，得 若若以以连接六面体两个连接六面体两个 面中心的直线为面中心的直线为 ，则，则 ，即，即2-7 2-7 平衡微分方程平衡微分方程 51以以 x x 轴为投影轴，列出投影的平衡方程轴为投影轴，列出投影的平衡方程 得得2-7 2-7 平衡微分方程平衡微分方程 52上式称为上式称为平衡微分方程平衡微分方程，简称，简称平衡方程平衡方程，表达了应表达了应力分量一阶导数和体力分量之间的关系力分量一阶导数和体力分量之间的关系。2-7 2-7 平衡微分方程平衡微分方程 53对于弹性动力学问题，根据对于弹性动力学问题，根据达朗贝尔原理达朗贝尔原理，把惯性力，把惯性力当作体力，可由平衡方程直接导出当作体力，可由平衡方程直接导出运动微分方程为：运动微分方程为：2-7 2-7 平衡微分方程平衡微分方程 54例例 题题 例例1 1.已知应力分量为：已知应力分量为：试试利用平衡方程求系数利用平衡方程求系数（体力体力为为零零）。）。解：代入平衡方程得解：代入平衡方程得 55例例2.悬臂梁上部受线性分布载荷，如悬臂梁上部受线性分布载荷，如图所示。试根据材料力学中图所示。试根据材料力学中 的表的表达式，再用平衡微分方程导出达式，再用平衡微分方程导出 和和 的表达式。的表达式。解：由材料力学知，过解：由材料力学知，过 点横截面点横截面 上的弯矩为：上的弯矩为：例例 题题 56（1 1）代入平衡微分方程，得：代入平衡微分方程，得：（2 2）例例 题题 57利用上、下面边界条件确定利用上、下面边界条件确定将式（将式（3 3）代入平衡微分方程中的第二式，得：）代入平衡微分方程中的第二式，得：（3 3）例例 题题 58（4 4）注意注意：式（：式（1 1）、（）、（3 3）、（）、（4 4）表达的仅是）表达的仅是静力可能静力可能的应力分量，若为正确解答，则还需满足以应力表示的应力分量，若为正确解答，则还需满足以应力表示的相容方程。的相容方程。例例 题题 59例例3 图示悬臂薄板，已知板内应力分量为：图示悬臂薄板，已知板内应力分量为：其中其中a为常数。其余应力分为常数。其余应力分量为零。求此薄板所受量为零。求此薄板所受的边界载荷及体力。的边界载荷及体力。例例 题题 60解：解：边界载荷：边界载荷：体力：体力：例例 题题 61例例4 4 已知物体表面 由确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致的分布载荷，其数值为 。试写出物体的应力边界条件。解：由物体的表面方程 可得物体表面的外法线的方向向量为：例例 题题则分别得对x，y，z方向余弦为 62又由于边界分布力在x，y，z方向上的分量分别为：例例 题题由柯西公式可得物体的应力边界条件：63把上面得到的 代入整理得到物体的应力边界条件，即 例例 题题 642-1 在物体中一点在物体中一点P的应力张量为：的应力张量为：(1)求过求过P点且外法线为点且外法线为 的面上的的面上的(2)应力矢量应力矢量(2)求应力矢量求应力矢量 的大小。的大小。(3)求求 与与 之间的夹角。之间的夹角。(4)求求 的法向分量的法向分量 。(5)求求 的切向分量的切向分量 。作业作业 652-2 通过同一点通过同一点P的两平面的两平面1、2，其单位法向矢量分别为，其单位法向矢量分别为 ，这两平面上的应力矢量分别为，这两平面上的应力矢量分别为 。证明：。证明：(1)(2)在平面在平面1上上如果如果 在平面在平面2上，则上，则作业作业 662-3 图示变宽度薄板，轴向拉伸载荷图示变宽度薄板，轴向拉伸载荷P。根据柯西公式确定薄板两侧外表面根据柯西公式确定薄板两侧外表面(法线为法线为 )处横截面处横截面正应力正应力z和材料力学中常被忽略的应力和材料力学中常被忽略的应力xzx之间的之间的关系。关系。作业作业 672-4 图示三角形截面水坝，材料密度为图示三角形截面水坝，材料密度为，承受密度为，承受密度为1 的液体压力。已求得应力解为的液体压力。已求得应力解为根据直边和斜边上的边界条件确定常数根据直边和斜边上的边界条件确定常数a,b,c,d。作业作业 682-5 已知受力物体内某点的应力分量为试求作用在过此点的平面上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和剪应力。作业作业 69
