第二型曲线积分的定义.ppt

2 第二型曲线积分第二型曲线积分首页首页一、第二型曲线积分的定义一、第二型曲线积分的定义 变力沿曲线作功变力沿曲线作功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用沿曲线沿曲线 L 从点从点 A 移动到点移动到点 B，求力，求力 F(x,y)所所作的功作的功常力沿直线作功：常力沿直线作功：力力 位移位移 1.分割分割:2.近似代替近似代替其中其中分别是曲线段分别是曲线段在在 x 轴与轴与 y 轴上的投影轴上的投影（此投影不一定是非负的）（此投影不一定是非负的）于是于是插入分点插入分点首页首页4.取极限取极限3.求和求和其中其中是第是第 i 个小弧段的弧长个小弧段的弧长.首页首页定义定义1 1设函数设函数 P(x,y)与与 Q(x,y)定义在定义在平面有向可求长度曲线平面有向可求长度曲线 L:对对 L 的任一分割的任一分割 T 它把它把 L 分成分成 n 个小曲线段：个小曲线段：其中其中 M0=A，Mn=B.记各小曲线段记各小曲线段的弧长为的弧长为分割分割 T 的细度的细度分点分点 Mi 的坐标为的坐标为(xi,yi),并记并记在每个小曲线段在每个小曲线段上任取一点上任取一点若极限若极限首页首页存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 P(x,y),Q(x,y),沿有向曲线沿有向曲线 L的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为或或也记为也记为或或简记为简记为首页首页若若 L 为封闭曲线，则记为为封闭曲线，则记为若记若记则记则记于是，力于是，力沿有向曲线沿有向曲线 L对质点所作的功为对质点所作的功为首页首页类似地类似地,沿空间有向可求长度曲线沿空间有向可求长度曲线 L 的第二型曲线积分记为的第二型曲线积分记为其中其中首页首页第二型曲线积分与曲线第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关，对同一曲线，的方向有关，对同一曲线，当方向由当方向由 A 到到 B 改为由改为由 B 到到 A 时，每一小曲线段的时，每一小曲线段的方向都改变，从而小曲线段的投影方向都改变，从而小曲线段的投影也随之也随之改变符号，改变符号，故有故有而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积，它与曲线乘积，它与曲线 L 的方向无关的方向无关.这是两类曲线积分的这是两类曲线积分的一个重要区别一个重要区别.首页首页第二型曲线积分的性质第二型曲线积分的性质1.若第二型曲线积分若第二型曲线积分存在，则存在，则其中其中为常数为常数.首页首页2.若若 L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!首页首页在有向光滑曲线在有向光滑曲线 上连续上连续,t=对应曲线对应曲线 L 的起点的起点 t=对应于曲线对应于曲线 L 的的终点，则终点，则二、第二型曲线积分的计算二、第二型曲线积分的计算首页首页对空间有向光滑曲线对空间有向光滑曲线 L:参数参数 t=对应曲线对应曲线 L 的起点的起点 t=对应于曲线对应于曲线 L 的的终点，则终点，则首页首页例例1 计算计算其中其中 L 分别分别沿如图所示路线沿如图所示路线 直线直线 AB解解 直线直线 AB 的参数方程为的参数方程为所以所以首页首页例例1 计算计算其中其中 L 为为 ACB(抛物线：抛物线：y=2(x 1)2+1)解解 抛物线抛物线 ACB 的方程为的方程为所以所以y=2(x 1)2+1首页首页例例1 计算计算其中其中 L 为为 ADBA(三角形周界三角形周界)解解 直线直线 AD 的参数方程为的参数方程为所以所以直线直线 DB 的参数方程为的参数方程为所以所以首页首页沿直线沿直线 BA 的线积分：的线积分：所以所以首页首页例例2 计算计算这里这里 L：沿抛物线沿抛物线 y=2x2,从从 O 到到 B解解 沿直线段沿直线段 OB:y=2x;沿封闭曲线沿封闭曲线OABO 首页首页例例3 计算第二型曲线积分计算第二型曲线积分 L 是螺旋线：是螺旋线：x=a cos t,y=a sin t,z=b t 从从 t=0 到到 t=上的一段上的一段.首页首页例例.设在力场设在力场 作用下作用下,质点由质点由沿沿L移动到移动到解解 (1)(2)L 的参数方程为的参数方程为试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功.其中其中L为为首页首页例例.求求其中其中从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解 取取 的参数方程的参数方程 首页首页三、两类曲线积分的联系三、两类曲线积分的联系设设L为从为从A到到B的有向光滑曲线，的有向光滑曲线，以弧长以弧长 s 为参数，为参数，的参数方程为的参数方程为其中其中 l 为曲线为曲线L的长度的长度.设曲线设曲线L上每一点的切线方向上每一点的切线方向则则L切向量的方向余弦为切向量的方向余弦为指向弧长增加的一方指向弧长增加的一方.首页首页于是两类曲线积分有如下联系于是两类曲线积分有如下联系即即其中其中是曲线是曲线 L 切向量的方向余弦切向量的方向余弦.首页首页在三维空间上，有在三维空间上，有其中其中是曲线是曲线 L 切向量的方向余弦切向量的方向余弦.首页首页1.定义定义2.性质性质(1)L可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2)L 表示表示 L 的反向弧的反向弧对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结首页首页3.计算计算 对有向光滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧首页首页4.两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :首页首页