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随机过程与排队论随机过程与排队论计算机科学与工程学院计算机科学与工程学院顾小丰顾小丰Email：12/22/2022上一讲内容回顾上一讲内容回顾随机过程的基本概念随机过程的基本概念随机过程的定义随机过程的定义随机过程的分布随机过程的分布随机过程的数字特征随机过程的数字特征重要随机过程重要随机过程独立过程独立过程独立增量过程独立增量过程12/22/20222计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰本讲主要内容本讲主要内容独立增量过程独立增量过程正态过程正态过程维纳过程维纳过程12/22/20223计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰2.独立增量过程独立增量过程 设随机过程设随机过程X(t),t T，T0,+)，如果对任意正整数如果对任意正整数n 2，t1,t2,tn T且且t1t20,s+h,t+h TX(t+h)-X(s+h)与与X(t)-X(s)有相同的概率分布，则称有相同的概率分布，则称X(t),t T为为平稳独平稳独立增量过程立增量过程。平稳独立增量过程平稳独立增量过程X(t),t T的增量的增量X(t+)-X(t)，t T,t+T的概率分布仅依赖于的概率分布仅依赖于 而与而与t无关，即仅与时间区无关，即仅与时间区间的长度有关，而与起点无关，具有间的长度有关，而与起点无关，具有平稳性平稳性，即，即增量具有平稳性增量具有平稳性。12/22/20225计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰例例 设设X(n),n=1,2,3,是是独立独立随机序列，随机序列，则则Y(n),n=0,1,2,是独立增量过程是独立增量过程。若若X(n),n=1,2,3,是相互是相互独立且同分布的独立且同分布的随机变量，且随机变量，且则则Y(n),n=0,1,2,是平稳独立增量过程是平稳独立增量过程。12/22/20226计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰例例 设设X(n),n=1,2,3,是相互是相互独立独立同分布的同分布的伯努利伯努利随随机机变量序列变量序列X(n)010p s，否则变形为，否则变形为EX(s)-X(t)+X(t)X(t)-m(s)m(t)EX(t)-X(s)EX(s)+EX2(s)-m(s)m(t)m(t-s)m(s)+D(s)-m2(s)-m(s)m(t)a(t-s)as+2s-a2s2-a2st 2sts12/22/202212计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰证明证明(续续3)2.任任取取t1t2-，PX(a)=01。因因为为增增量量X(t2)-X(t1)的的分分布布与与X(t2-t1+a)-X(a)与与X(t2-t1)的的分分布布相相同同，所所以以实实际际上上只只要要知知道道X(t)的的一一维维分分布布就就可可以以推推出它的有限维分布。出它的有限维分布。12/22/202216计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰3.正态过程正态过程(高斯过程高斯过程)正正态态过过程程在在电电子子技技术术中中经经常常遇遇到到，例例如如温温度度限限制制二二极极管管的的噪噪声声、电电子子元元器器件件的的噪噪声声等等。正正态态过过程程在在随随机机过过程程中中起起着着重重要要的的作作用用。一一方方面面，很很多多重重要要随随机机过过程程都都是是正正态态过过程程，或或者者可可以以用用正正态态过过程程来来近近似似表表示示；另另一一方方面面，正正态态过过程程具具有有很很多多良良好好的的性性质质，对对正正态态过过程程来来说说，许许多多问问题题的的回回答比其它过程较为容易。答比其它过程较为容易。12/22/202217计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰正态过程的定义正态过程的定义给定随机过程给定随机过程X(t),t T，如果对任意正整，如果对任意正整数数n及及t1,t2,tn T，n维随机变量维随机变量(t1),X(t2),X(tn)的联合概率分布为的联合概率分布为n维正态分布，则称随机过程维正态分布，则称随机过程X(t),t T为为正态过程正态过程(或或高斯过程高斯过程)。设设X(t),t T为正态过程，则其有限维概率为正态过程，则其有限维概率分分布都是正态分布。布都是正态分布。12/22/202218计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰正态过程的一维概率分布正态过程的一维概率分布均值函数均值函数方差函数方差函数一维概率分布一维概率分布一维概率密度函数一维概率密度函数一维特征函数一维特征函数12/22/202219计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰正态过程的二维概率分布正态过程的二维概率分布均值函数向量均值函数向量二阶协方差矩阵二阶协方差矩阵二维概率分布二维概率分布二维概率密度函数二维概率密度函数二维特征函数二维特征函数12/22/202220计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰正态过程的正态过程的n维概率分布维概率分布均值函数向量均值函数向量n阶协方差矩阵阶协方差矩阵n维概率分布维概率分布12/22/202221计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰正态过程的正态过程的n维概率分布维概率分布n维概率密度函数维概率密度函数n维特征函数维特征函数12/22/202222计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰例例 给定随机过程给定随机过程X(t),t T，X(t)X0+Vt,0t+其中其中X0和和V是相互独立的标准正态是相互独立的标准正态N(0,1)随机变量。随机变量。证明证明X(t),t T为正态过程，并写出一、二、为正态过程，并写出一、二、n维维概率密度和特征函数。概率密度和特征函数。解解 设设12/22/202223计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰例例(续续1)因因从而从而故故X(t),t T为正态过程。为正态过程。均值函数均值函数m(t)EX(t)0；协方差函数协方差函数C(s,t)1+st；方差函数方差函数D(t)1+t2；一维概率分布一维概率分布X(t)N(0,1+t2)；12/22/202224计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰例例(续续2)一维概率密度函数一维概率密度函数一维特征函数一维特征函数12/22/202225计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰例例(续续3)二维概率密度函数二维概率密度函数二维特征函数二维特征函数其中其中 均值均值O(0,0)T二维概率分布二维概率分布(X(s),X(t)TN(O,C)协方差阵协方差阵12/22/202226计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰例例(续续4)n维维概概率率分分布布12/22/202227计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰例例(续续5)n维概率密度函数维概率密度函数n维特征函数维特征函数12/22/202228计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4.维纳过程维纳过程(Brown运动运动)英英国国植植物物学学家家Brown于于1827年年观观察察到到悬悬浮浮于于液液体体中中的的花花粉粉微微粒粒的的运运动动是是非非常常不不规规则则的的，后后人人把把这这种种运运动动称称为为Brown运运动动。1918年年，Wiener提提出出了了Brown运运动动的的精精确确数数学学公公式式，所所以以Brown运运动又称为动又称为Wiener过程。过程。12/22/202229计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰维纳过程的定义维纳过程的定义如果随机过程如果随机过程W(t),t0满足下列条件：满足下列条件：(1)W(0)0；(2)EW(t)0；(3)具有平稳独立增量；具有平稳独立增量；(4)t0，W(t)N(0,2t)，(0)则则称称随随机机过过程程W(t),t0是是参参数数为为2的的维维纳纳过过程程(或或布朗运动布朗运动)。布朗运动是应用概率论中最有用的随机过程之布朗运动是应用概率论中最有用的随机过程之一，已大量地在概率统计分析股票价格水平、通一，已大量地在概率统计分析股票价格水平、通信理论、生物学、管理科学等领域得到广泛应用信理论、生物学、管理科学等领域得到广泛应用.12/22/202230计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰维纳过程的概率分布及数字特征维纳过程的概率分布及数字特征一维概率密度函数一维概率密度函数一维特征函数一维特征函数增量分布增量分布协方差函数协方差函数12/22/202231计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰维纳过程的二维概率分布维纳过程的二维概率分布均值函数向量均值函数向量二阶协方差矩阵二阶协方差矩阵二维概率分布二维概率分布二维概率密度函数二维概率密度函数二维特征函数二维特征函数12/22/202232计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰维纳过程的维纳过程的n维概率分布维概率分布均值函数向量均值函数向量n阶协方差矩阵阶协方差矩阵n维概率分布维概率分布12/22/202233计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰维纳过程的维纳过程的n维概率分布维概率分布n维概率密度函数维概率密度函数n维特征函数维特征函数12/22/202234计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰维纳过程的性质维纳过程的性质1.维纳过程是平稳独立增量过程。维纳过程是平稳独立增量过程。2.维纳过程是正态过程。维纳过程是正态过程。3.维纳过程是马尔可夫过程。维纳过程是马尔可夫过程。证明证明 2.设设 W(t),t0是参数为是参数为2的的维纳过程，维纳过程，0t1t2tn。XkW(tk)W(tk-1)N(0,2(tk-tk-1)，t00，k=1,2,n相互独立。相互独立。W(tk)X1+X2+Xk，k=1,2,k12/22/202235计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰维纳过程的性质维纳过程的性质从而从而12/22/202236计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰维纳过程的性质维纳过程的性质因此因此XN(O,CX)故故12/22/202237计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰维纳过程的性质维纳过程的性质得证得证W(t),t0是正态过程。是正态过程。12/22/202238计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰本讲主要内容本讲主要内容独立增量过程独立增量过程正态过程正态过程维纳过程维纳过程12/22/202239计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰下一讲内容预告下一讲内容预告泊松过程泊松过程泊松过程的两个定义及其等价性泊松过程的两个定义及其等价性泊松过程的概率分布泊松过程的概率分布泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征泊松过程的性质泊松过程的性质非齐次泊松过程非齐次泊松过程复合泊松过程复合泊松过程更新计数过程更新计数过程12/22/202240计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰
