平面问题的复变函数解答.ppt

第五章第五章 平面问题的复变函数解答平面问题的复变函数解答要点：要点：（1）应力函数、应力分量、位移分量、）应力函数、应力分量、位移分量、边界条件等的复变函数表示；边界条件等的复变函数表示；（2）多连体中复位势函数的结构；）多连体中复位势函数的结构；应用：应用：复杂边界形状及边界条件的问题。复杂边界形状及边界条件的问题。（3）复变函数解法的应用。）复变函数解法的应用。5-1 5-1 应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示主主主主 要要要要 内内内内 容容容容 5-2 5-2 应力和位移的复变函数表示应力和位移的复变函数表示5-3 5-3 各个复变函数确定的程度各个复变函数确定的程度5-4 5-4 边界条件的复变函数表示边界条件的复变函数表示5-5 5-5 多连体中应力和位移的单值条件多连体中应力和位移的单值条件5-6 5-6 无限大多连体的情形无限大多连体的情形5-7 5-7 保角变换与曲线坐标保角变换与曲线坐标5-8 5-8 孔口问题孔口问题5-9 5-9 椭圆孔口椭圆孔口5-10 5-10 裂隙附近的应力集中裂隙附近的应力集中5-11 5-11 正方形孔口正方形孔口5-1 5-1 应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示1 1、复变函数的基本概念、复变函数的基本概念xyO(x,y)(x,-y)yx(1)复数的表示复数的表示其中：其中：i 为虚数单位；为虚数单位；复数复数 z 的模；的模；复数复数 z 的极角。的极角。(2)共轭共轭复复数数(3)复变函数的表示复变函数的表示分别为分别为 f(z)的实部和虚的实部和虚部部。复变函数的共轭函数的表示复变函数的共轭函数的表示一般一般而应将而应将所有所有 i 换为换为 i.注意：注意：复数复数 z 对应平面上的点，复变函数对应平面上的点，复变函数w=f(z)将平面将平面z上的点变换为平面上的点变换为平面w上的点，将上的点，将平面平面z上的图形变换为平面上的图形变换为平面w上的图形，将平面上的图形，将平面z上的一个区域变换为平面上的一个区域变换为平面w上的一个区域。上的一个区域。因此，用复数和复变函数来描述和求解因此，用复数和复变函数来描述和求解平面问题是十分自然的平面问题是十分自然的。记记为：为：(4)解析函数的概念与性质解析函数的概念与性质 如果函数如果函数 f(z)在在 z0 0 及及z0 0 的邻域内处处可导，则称的邻域内处处可导，则称 f(z)在在z0 0点解析点解析。如果函数如果函数 f(z)(z)在在区域区域 D 内每一点解析，则称内每一点解析，则称f(z)(z)在在 D 内解析，或称内解析，或称f(z)(z)是是 D 内的一个解析函数内的一个解析函数。解析函数的概念：解析函数的概念：（1 1）解析函数的性质：解析函数的性质：两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；解析函数的复合函数两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数仍为解析函数。（2 2）函数：函数：解析的充要条件：解析的充要条件：（a a）在定义域在定义域 D 上处处可微；上处处可微；（b b）满足满足Cauchy-Riemann方程：方程：称为互为称为互为共轭的调和函数共轭的调和函数。且满足。且满足Laplace方程：方程：曲线族曲线族：互相正交。互相正交。（3 3）如果函数如果函数 f(z)(z)在在单连单连域域 D 内处处解析，则内处处解析，则f(z)(z)在在 D 内任何一封闭曲线内任何一封闭曲线 C 的积分为零的积分为零。柯柯西西古萨（古萨（Cauchy-Goursat)定理定理（4 4）如果函数如果函数 f(z)(z)在在单连域单连域 D 内处处解析，则内处处解析，则f(z)(z)的的积分与路径无关积分与路径无关。（4 4）如果函数如果函数 f(z)(z)在在单连域单连域 D 内处处解析，则内处处解析，则F（z）必为解析函数，且有必为解析函数，且有（5 5）（）（Cauchy积分公式积分公式）如果函数如果函数 f(z)(z)在在单连单连域域 D 内处处解析，内处处解析，C 为为D 内任何一条简单内任何一条简单闭曲线，它的内部完全属于闭曲线，它的内部完全属于D，z0为包含在为包含在 C 内内的任一点，则有：的任一点，则有：特别当特别当有：有：（6 6）设设 f(z)在以在以 z=z0为圆心的圆内和圆周上是解为圆心的圆内和圆周上是解析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：（7 7）设设 f(z)在以在以 R1 1|z=z0|R2 2 为圆环域内处处解析的，那么可展为圆环域内处处解析的，那么可展开成罗朗（开成罗朗（Laurent）级数级数：2 2、相容方程的复变函数表示、相容方程的复变函数表示由由，可知，可知（1）复变数与直角坐标的导数关系复变数与直角坐标的导数关系（2）相容方程的复变函数表示相容方程的复变函数表示本章本章中用中用U（x,y）表示应力函数，同表示应力函数，同时将应力函数视为复变数时将应力函数视为复变数 z,的函数。的函数。（5-1）（5-2）对式（对式（5-1）进一步求导：）进一步求导：（5-3）（5-4）由此可得：由此可得：相容方程的复变函数表示相容方程的复变函数表示3.3.应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示将式（将式（a）对复变量对复变量z 各各积分两次积分两次（b）（a）双双调和函数量调和函数量 U 为实函数，所以式为实函数，所以式（b）中应两两共轭，有中应两两共轭，有式（式（b）可改写为可改写为令：令：古萨（古萨（Goursat）公式公式上式也可改写为：上式也可改写为：其中：其中：分别为两解析函数。分别为两解析函数。（5-5）（5-6）由此可见，在常量体力的平面问题中，应力函数U总可以用复变数z的两个解析函数1(z)和1(z)来表示，称为克罗索夫和穆斯赫利什维利(Kolosoff-Mushelishvili)函数。古萨（古萨（Goursat）公式公式其中：其中：分别为两解析函数。分别为两解析函数。（5-5）（5-6）5-2 5-2 应力和位移的复变函数表示应力和位移的复变函数表示1 1、应力分量的复变函数表示、应力分量的复变函数表示假定不计体力，有假定不计体力，有（5-7）由由方程（方程（5-4）得）得（5-4）将将式（式（5-5）代入，有）代入，有（5-8）由由式（式（5-2）：）：可可得：得：将将式（式（5-5）代入，有）代入，有令：令：另一解析函数另一解析函数（a）（5-9）（5-8）由由式（式（5-9）可看出：）可看出：（1）函数）函数 具有相同的量纲具有相同的量纲 力力长度长度1。（2）只要函数）只要函数 求得，则应力分量就可确定。求得，则应力分量就可确定。2 2、位移分量的复变函数表示、位移分量的复变函数表示不妨考虑平面应力问题，有不妨考虑平面应力问题，有（b）（c）（d）（b）（c）（d）（e）由式由式(5-8)、(5-7)、(5-1)，得，得（f）（5-7）（5-1）（5-8）（e）（f）对上两式分别就变量对上两式分别就变量x，y 积分，积分，（g）式式中中 f1、f2 为任意函数。为任意函数。将上式中的第一、二式分别对将上式中的第一、二式分别对 y、x 求导，有求导，有将上式代入式（将上式代入式（d）：）：得：得：（d）解此方程，有解此方程，有 代表刚体位移代表刚体位移当当不计刚体位移，其位移分量为不计刚体位移，其位移分量为计算：计算：（h）利用式（利用式（5-2）中的第一式：）中的第一式：及式（及式（5-5）式：）式：得：得：（i）将式（将式（i）代入式（代入式（h）,有有等式两边同除以等式两边同除以 ，有，有（5-10）位移分量的复变函数表示位移分量的复变函数表示说明：说明：（1）式（式（5-8）（5-9）（5-10）是由柯洛索夫（）是由柯洛索夫（M.C.Kolossoff）首首先得到的。先得到的。（2）式（式（5-10）是就平面应力情形推导而得的，若为平面应变情形，）是就平面应力情形推导而得的，若为平面应变情形，则材料常数则材料常数E、需作相应转换。即：需作相应转换。即：（3）若若已知：已知：，即可求出位移分量。即可求出位移分量。例：例：已知已知式中式中A、B 为复为复常数。常数。试求其所试求其所对应的应力。对应的应力。解：解：由由式（式（5-8）、（）、（5-9）可知）可知将将代入得代入得令令其中其中A1、A2、B1、B1为为实常数。实常数。(a)于是有：于是有：对应于均匀应力状态对应于均匀应力状态5-3 5-3 各个复变函数确定的程度各个复变函数确定的程度问题：问题：当物体内应力分量、位移分量给定时，复变函数当物体内应力分量、位移分量给定时，复变函数 能能确定到什么程度？确定到什么程度？1 1、应力分量确定时，、应力分量确定时，的确定程度的确定程度当物体内应力分量给定时，有当物体内应力分量给定时，有（a）（b）现假设另外两个复变函数现假设另外两个复变函数也给出同样的应力，则有：也给出同样的应力，则有：（c）（d）现现考虑考虑 与与有什么差别有什么差别？（1）比较式（比较式（a）与（与（c）,应有：应有：，即允许相差一虚常数，即允许相差一虚常数即：即：（e）其中：其中：C 为任意实常数。为任意实常数。（1）比较式（比较式（a）与（与（c）,应有：应有：，即允许相差一虚常数，即允许相差一虚常数即：即：（e）对式（对式（e）两边积分，有两边积分，有（f）式中式中 为任意复常数。为任意复常数。（2）由式（由式（b）、（）、（d）可知，可知，（b）（d）当当 按式（按式（f）确定时有确定时有在保证应力不变的条件下，对在保证应力不变的条件下，对 应满足：应满足：（g）对式（对式（g）两边积分，有两边积分，有式中式中 为任意复常数。为任意复常数。（h）结论结论1：在应力保持不变的条件下，复变函数在应力保持不变的条件下，复变函数 可以作如下代换：可以作如下代换：可代以可代以可代以可代以（i）其中：其中：为任意常数。为任意常数。2 2、位移分量确定时，、位移分量确定时，的确定程度的确定程度 由弹性力学基本理论可知，当位移确定时，应力是完全确定的；反由弹性力学基本理论可知，当位移确定时，应力是完全确定的；反之，当应力确定时，位移不是完全确定的。之，当应力确定时，位移不是完全确定的。现考察代换（现考察代换（i）如何才能不改变位移？如何才能不改变位移？对平面应力情形，位移分量的复变函数表示：对平面应力情形，位移分量的复变函数表示：（5-10）将式（将式（i）的代换代入，有的代换代入，有将式（将式（i）的代换代入，有的代换代入，有整理得：整理得：（j）由式（由式（j）可以看到：要使位移单值确定，须有：可以看到：要使位移单值确定，须有：结论结论2：要使应力和位移都能确定，复变函数要使应力和位移都能确定，复变函数 只能可以作如下代换：只能可以作如下代换：可代以可代以可代以可代以其中：其中：为任意复常数。为任意复常数。说明：说明：对平面应变情形，式中的材料常数应作相应的代换。对平面应变情形，式中的材料常数应作相应的代换。上节课内容要点：上节课内容要点：（1）相容方程的复变函数表示相容方程的复变函数表示（2）应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示 古萨（古萨（Goursat）公式公式其中：其中：分别为两解析函数。分别为两解析函数。（5-5）（5-6）（5-8）（3）应力分量的复变函数表示应力分量的复变函数表示（5-9）或：或：（4）位移分量的复变函数表示位移分量的复变函数表示（5-10）平面应力问题平面应力问题 平面应变问题平面应变问题（5）复变函数复变函数 的确定程度的确定程度 当当应力、位移都确定时，应力、位移都确定时，可以有如下改变：可以有如下改变：可代以可代以可代以可代以其中：其中：为任意复常数。为任意复常数。5-4 5-4 边界条件的复变函数表示边界条件的复变函数表示1 1、应力边界条件的复变函数表示、应力边界条件的复变函数表示平面问题的应力边界条件为：平面问题的应力边界条件为：将应力函数表示的应力分量：将应力函数表示的应力分量：代入，有代入，有（a）xyONdy dxAB边界外法线的方向余弦为：边界外法线的方向余弦为：代入式（代入式（a）,有有面力矢量的复数形式可表示为：面力矢量的复数形式可表示为：因为：因为：代入，有：代入，有：将两边同乘以将两边同乘以 i ds，有：有：xyONdy dxABxyONdy dxAB将其将其从从 A 到到 B 积分，有：积分，有：（5-11）或者写为：或者写为：（b）现将现将 A 点作为基准点，点作为基准点，B 点作为边界上的任一点，并记：点作为边界上的任一点，并记：再再引入记号：引入记号：式（式（b）可简写为：可简写为：（c）考虑到：考虑到：可任意增加一个复常数可任意增加一个复常数 ；可增加一个复常数；可增加一个复常数；（c）考虑到：考虑到：可任意增加一个复常数可任意增加一个复常数 ；可增加一个复常数：可增加一个复常数：这样总可选取适当的这样总可选取适当的使得式（使得式（c）中的中的 k 消去，并简写为：消去，并简写为：（5-12）应力边界条件的复变函数表示应力边界条件的复变函数表示说明：说明：表示在边界表示在边界 s 上基点上基点 A 与任一点与任一点 B 间面力的主矢量间面力的主矢量于是有，式（于是有，式（5-12）的物理意义：）的物理意义：在边界在边界 s 上任一点上任一点z 的值，就等于基点的值，就等于基点 A 与该点间面力的主矢量。与该点间面力的主矢量。xyONdy dxAB2 2、位移边界条件的复变函数表示、位移边界条件的复变函数表示位移边界条件为：位移边界条件为：（d）式中：式中：为边界上已知的位移分量为边界上已知的位移分量。由位移分量的复变函数表示：由位移分量的复变函数表示：（5-10）代入，得到：代入，得到：（5-13）位移边界条件的复变函数表示位移边界条件的复变函数表示对于平面应变情形，有对于平面应变情形，有平面问题复变函数求解公式小结：平面问题复变函数求解公式小结：（5-9）（5-8）（5-10）（5-12）应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示（5-13）位移边界条件位移边界条件的复变函数表示的复变函数表示只要我们要求出满足边界条件的两个解析函数，问题就得以解决。但要求出满足边界条件的两个解析函数，这仍旧是困难的。克罗索夫和穆斯赫利什维利(Kolosoff-Mushelishvili)根据边界条件和柯西积分解决了不少复杂的问题。5-5 5-5 多连体中应力和位移的单值条件多连体中应力和位移的单值条件对于平面单连体问题，复位势函数对于平面单连体问题，复位势函数 为单值解析函数；为单值解析函数；对于平面多连体问题，复位势函数对于平面多连体问题，复位势函数 可能表现为多值解析函数，可能表现为多值解析函数，如：如：。问题：问题：如何适当选择函数如何适当选择函数 ，才能保证，才能保证应力和位移的单值性应力和位移的单值性？1 1、应力单值条件对、应力单值条件对 要求要求 先考虑仅有一个内边界先考虑仅有一个内边界 Sk 和一个和一个外边界外边界 Sm+1 的情形。的情形。（1）由由式（式（5-8）：）：（a）可知，要使应力单值，须要求可知，要使应力单值，须要求 的单值，但其虚部的单值，但其虚部 可以多值。可以多值。即，允许即，允许 环绕内边界环绕内边界 Sk 一周后，一周后，有一有一虚数增量虚数增量。（1）由由式（式（5-8）：）：（a）可知，要使应力单值，须要求可知，要使应力单值，须要求 的单值，但其虚部的单值，但其虚部 可以多值。可以多值。即，允许即，允许 环绕内边界环绕内边界 Sk 一周后，一周后，有一有一虚数增量虚数增量。设此虚数增量为：设此虚数增量为：其中，其中，Ak 为为任意实数。任意实数。符合上述要求的函数有：符合上述要求的函数有：其中，其中，zk 为为 Sk 边界外的任一点。边界外的任一点。上述函数环绕内边界上述函数环绕内边界 Sk 一周后，有虚数增量一周后，有虚数增量 。由此可取：由此可取：（b）其中，其中，为多连体中的为多连体中的单值解析函数单值解析函数。事实上，上述函数可表示成：事实上，上述函数可表示成：（b）其中，其中，为多连体中的单值解析函数。为多连体中的单值解析函数。对（对（b）式两边积分，有式两边积分，有（c）复常数复常数其中，其中，z0 为弹性体内的任一点。为弹性体内的任一点。由解析函数的性质，有由解析函数的性质，有 仍为解析函数仍为解析函数但但上述上述积分积分可能成为可能成为多值函数多值函数，绕，绕 Sk 一周后可能有一增量一周后可能有一增量 ，这里这里 Ck 一般为复常数一般为复常数 。参照式（参照式（b），），可表达为：可表达为：单值解析函数单值解析函数将上式代入将上式代入式（式（c），），有有 单值解析函数单值解析函数（d）式（式（c）中：中：为一复常数；为一复常数；为一单值解析函数。为一单值解析函数。（2）由由式（式（5-9）：）：（5-9）可知，要使应力单值，取决于可知，要使应力单值，取决于 是否分别单值。是否分别单值。由于由于对上式对上式两边求导：两边求导：显然，将显然，将 取式（取式（d）的）的形式，形式，为单值解析的。为单值解析的。由由 的单值的单值解析要求，类似于解析要求，类似于 讨论，讨论，可取为可取为（e）式中：式中：多连体中的单值解析函数多连体中的单值解析函数；为复常数。为复常数。小结：小结：在多连体问题中，要保证应力单值，复位势函数在多连体问题中，要保证应力单值，复位势函数 应取如下形式：应取如下形式：（d）（e）2 2、位移单值条件对、位移单值条件对 要求要求平面应力条件下，位移分量的复变函数表达式为：平面应力条件下，位移分量的复变函数表达式为：（5-10）将将式（式（b）、（）、（d）、（）、（e）代入，有代入，有整理得：整理得：（b）（d）（e）当绕行当绕行 Sk 一一周后，周后，将有将有增量增量：要使位移单值，则须使上述增量为零，即要使位移单值，则须使上述增量为零，即（f）（f）将其代入式（将其代入式（d）、（）、（e）有有（d）（e）的边界条件表示的边界条件表示：由应力边界条件的复变函数表示：由应力边界条件的复变函数表示：（5-11）将其应用到闭环将其应用到闭环 Sk 上上，即，即点与点与点重合，有点重合，有（g）将式（将式（g）表示成：表示成：（g）其中，其中，Xk、Yk 为为 Sk 边界上面力的主矢量。边界上面力的主矢量。将式将式(d)、(e)代入代入式式(g)，有有的边界条件表示的边界条件表示：由应力边界条件的复变函数表示：由应力边界条件的复变函数表示：将其应用到闭环将其应用到闭环 Sk 上上，即，即点与点与点重合，有点重合，有（g）（b）（d）（e）表明：与表明：与 Sk 边界上的面力主矢量成正比。边界上的面力主矢量成正比。将上式将上式 代代入：入：可得：可得：（i）式中：式中：为单值解析函数。为单值解析函数。以上为仅有一个内边界以上为仅有一个内边界 Sk 和和外边界外边界 Sm+1 的情形。的情形。对于具有同对于具有同 m 个内边界个内边界 和外边界和外边界 Sm+1 的情形，可将以上论证推广而得：的情形，可将以上论证推广而得：（5-14）（f）（5-14）结论：结论：结论：结论：为保证多连体中应力和位移的单值性，复变函数为保证多连体中应力和位移的单值性，复变函数 必须必须取式（取式（5-14）的形式，其中，）的形式，其中，为该多连体中单值解析函数。为该多连体中单值解析函数。5-6 5-6 无限大多连体的情形无限大多连体的情形 如图，命外边界如图，命外边界 SR 趋于无穷远，则该多连体成为无限大多连体问题。趋于无穷远，则该多连体成为无限大多连体问题。对于无限大多连体问题，需要知道取什么样的对于无限大多连体问题，需要知道取什么样的 ，才能保证在才能保证在无穷远处应力和位移有限无穷远处应力和位移有限。以坐标原点为圆心，作半径为以坐标原点为圆心，作半径为R 的的大圆周大圆周 SR，将所有的内边界将所有的内边界S1、S2、Sm 包括在内。包括在内。则对于则对于 SR 之外，弹性体内的任一之外，弹性体内的任一点点 z，恒有恒有 其中，其中，zk 为为弹性体弹性体 SR 内的一点。内的一点。将将展开级数如下：展开级数如下：在在 SR 外单值解析外单值解析在在 SR 外单值解析函数外单值解析函数将上式代将上式代入：入：（5-14）得：得：（a）其中：其中：为为m个内边界上个内边界上 x、y 方向面力之和（主矢）方向面力之和（主矢）（a）其中：其中：为为m个内边界上个内边界上 x、y 方向面力之和（主矢）方向面力之和（主矢）为为 SR 以外的解析的复变函数（无穷处可能不解析）。以外的解析的复变函数（无穷处可能不解析）。将将 展开成罗朗（展开成罗朗（Laurent）级数，有级数，有（b）将式（将式（a）、（）、（b）代入）代入应力分量的复变函数表达式中的第一式应力分量的复变函数表达式中的第一式：（c）得到：得到：可见，可能随可见，可能随|z|无限增大的项为：无限增大的项为：因此，在无穷远处，即当因此，在无穷远处，即当 时，使应力不致成为无限大条件为：时，使应力不致成为无限大条件为：（e）同理，将式（同理，将式（a）、（）、（b）代入）代入应力分量的复变函数表达式中的第二式应力分量的复变函数表达式中的第二式：（d）可推得，在无穷远处，即当可推得，在无穷远处，即当 时，使应力不致成为无限大条件为：时，使应力不致成为无限大条件为：（f）小结：小结：对于无限大多连体问题，在应力保持对于无限大多连体问题，在应力保持有限有限的条件下，复变函数的条件下，复变函数 应取如下形式：应取如下形式：（g）其中：其中：为实常数；为实常数；函数函数 SR 之外，包括在之外，包括在无穷远处的解析函数，无穷远处的解析函数，可将展开为级数：可将展开为级数：由第三节的讨论，在应力不变的条件下，由第三节的讨论，在应力不变的条件下，可以差一复常数；可以差一复常数；可以差一虚常数。可以差一虚常数。因此可取：因此可取：于是，式（于是，式（g）就可表示为：就可表示为：（5-15）其中：其中：（5-16）的物理意义：的物理意义：由式（由式（5-15）可求得：可求得：的物理意义：的物理意义：由式（由式（5-15）可求得：可求得：将其代入将其代入应力分量的复变函数式：应力分量的复变函数式：得到，无穷远处得到，无穷远处()的应力为：的应力为：（h）将其代入将其代入应力分量的复变函数式：应力分量的复变函数式：得到，无穷远处（得到，无穷远处（）的应力为：的应力为：设无穷远处设无穷远处()的主应力及第一主应力的主应力及第一主应力1与与 x 轴的夹角为：轴的夹角为：则有：则有：将其与式（将其与式（h）比较：比较：（h）可求得：可求得：（5-17）结论：结论：结论：结论：（1）常数）常数 B 与弹性体中无穷远处的与弹性体中无穷远处的两主应力和两主应力和成正比；成正比；（2）常数）常数 与弹性体中无穷远处的与弹性体中无穷远处的两主应力差两主应力差（或最大剪（或最大剪应力）成正比；应力）成正比；5-7 5-7 保角变换与曲线坐标保角变换与曲线坐标1 1、保角变换（映射）、保角变换（映射）设设 z-平面上的一点平面上的一点 zD，与，与-平面上的一平面上的一点点 D 之间通过变换（映射）：之间通过变换（映射）：相相联系，其中联系，其中 为为-平面上区域平面上区域D 内的内的单单值解析函数值解析函数，且，且 。这样使这样使-平面上每一点平面上每一点 D都都对应于对应于z-平面平面上完全确定的点上完全确定的点 zD。设设C1、C2为过点为过点 D的两条曲线，其夹角为的两条曲线，其夹角为（反时针转向）；通过变换后，得到反时针转向）；通过变换后，得到z-平面上与平面上与-平面上的一点平面上的一点对应点对应点 z 处的曲线处的曲线L1、L2。如果如果z-平面上点平面上点 z 处曲线处曲线L1、L2的夹角仍为的夹角仍为，且且转向也相同，则称变换（映射）转向也相同，则称变换（映射）为为保角变换（映射）保角变换（映射）。常用的变换：常用的变换：将将z-平面上的平面上的复杂边界复杂边界变换为变换为-平面上的平面上的单位圆。单位圆。如如其中：其中：实数实数R、m由椭圆的长半轴由椭圆的长半轴 a 与短半轴与短半轴 b 决定。决定。或或2 2、曲线坐标、曲线坐标O在在-平面上，任一点平面上，任一点可可表示为：表示为：也可表示为：也可表示为：其中，其中，、为为点的极点的极坐标。坐标。显然，在显然，在-平面上，平面上，=const 表示一圆周线，表示一圆周线，=const 代表一根代表一根径向线。径向线。在在 z-平面上，平面上，=const 表示一曲表示一曲线，线，=const 表示另一曲线。表示另一曲线。因此，因此，、可视为可视为z-平面上一点平面上一点 z 处处的曲线坐标的曲线坐标。由于变换的保角性，由于变换的保角性，z-平面上的曲线坐平面上的曲线坐标总是正交的。且坐标轴标总是正交的。且坐标轴、的的相对方向总相对方向总是与坐标轴是与坐标轴 x、y 的相对方向相同。的相对方向相同。曲线坐标与直角坐标间的变换关系：曲线坐标与直角坐标间的变换关系：设设 z-平面上有一矢量平面上有一矢量A，其起点在点其起点在点 用用Ax、Ay分别表示它在分别表示它在 x、y 轴上的投影，轴上的投影，用用 、分别表示它在分别表示它在、轴上的投影。轴上的投影。设设 轴与轴与 x 轴成角轴成角，则有：则有：将此向量用复数表示，有将此向量用复数表示，有（a）从而有从而有AxAy 的计算：的计算：假想沿假想沿方向给点方向给点 z 以位移以位移 dz，因而对因而对应点应点沿径线方向得到位移沿径线方向得到位移 ,于是有于是有（b）（a）于是式（于是式（a）可表示为：可表示为：（c）AxAy3 3、一些基本函数与公式的变换、一些基本函数与公式的变换（5-19）（5-20）位移分量的变换位移分量的变换（5-21）（5-10）由由得得将上式代入式（将上式代入式（5-21）得，位移矢量在曲线坐标）得，位移矢量在曲线坐标、轴上的投影：轴上的投影：位移矢量在曲线坐标位移矢量在曲线坐标、轴上的投影：轴上的投影：（5-22）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示应力分量的变换应力分量的变换表示弹性体在曲线坐标表示弹性体在曲线坐标、中的应力分量。中的应力分量。由应力坐标变换式：由应力坐标变换式：由此可得：由此可得：由应力分量的复变函数表示，有由应力分量的复变函数表示，有由由（e）（f）将式（将式（f）代入（代入（e），），并利用式（并利用式（5-20），有），有（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示应力边界条件的变换应力边界条件的变换（5-12）应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示将式（将式（5-19）、（）、（5-20）代入，有）代入，有在边界上，在边界上，=1，因而因而引入记号：引入记号：上式可上式可表示为：表示为：平面问题复变函数求解公式小结：平面问题复变函数求解公式小结：（1）z-平面内求解：平面内求解：（5-9）（5-8）（5-10）（5-12）应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示（5-13）位移边界条件位移边界条件的复变函数表示的复变函数表示对无限大多连域问题：对无限大多连域问题：（5-15）其中：其中：（5-16）（5-17）为为m个内边界上个内边界上 x、y 方向面力之和（主矢）方向面力之和（主矢）（2）-平面内求解：平面内求解：由孔口的形状确定所用的保角变换由孔口的形状确定所用的保角变换（5-19）（5-20）（5-22）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示 曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示本章要点回顾：本章要点回顾：（1）相容方程的复变函数表示相容方程的复变函数表示（2）应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示其中：其中：分别为两解析函数。分别为两解析函数。古萨（古萨（Goursat）公式公式（5-5）（3）应力分量的复变函数表示应力分量的复变函数表示（5-8）（5-9）（5-6）或：或：（4）位移分量的复变函数表示位移分量的复变函数表示 平面应力问题平面应力问题 平面应变问题平面应变问题（5）复变函数复变函数 的确定程度的确定程度 可代以可代以可代以可代以（5-12）应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示（6）边界条件的复变函数表示边界条件的复变函数表示（5-13）位移边界条件位移边界条件的复变函数表示的复变函数表示(1)(1)应力单值条件对应力单值条件对 要求要求(7)(7)多连体中应力和位移的单值条件对多连体中应力和位移的单值条件对 的要求的要求 （d）（e）(2)(2)位移单值条件对位移单值条件对 要求要求（i）由孔口边界条件，得由孔口边界条件，得（8 8）无限大多连体中）无限大多连体中应力有限条件应力有限条件对对 的要求的要求 （5-14）在在 SR 外单值解析函数外单值解析函数将上式代将上式代入（入（5-14）在在 SR 外单值解析外单值解析为为m个内边界上个内边界上 x、y 方向面力之和（主矢）方向面力之和（主矢）为为 SR 以外的解析的复变函数（无穷处可能不解析）。以外的解析的复变函数（无穷处可能不解析）。m个内边界个内边界展开成罗朗（展开成罗朗（Laurent）级数，有级数，有因此，在无穷远处，即当因此，在无穷远处，即当 时，使应力不致成为无限大条件为：时，使应力不致成为无限大条件为：代入代入从而从而可表示为可表示为从而从而可表示为可表示为其中其中可以差一复常数；可以差一复常数；可以差一虚常数。可以差一虚常数。（5-15）其中：其中：（5-16）（5-15）其中：其中：（5-16）的物理意义与确定：的物理意义与确定：与无穷远处应力的关系与无穷远处应力的关系无穷远处无穷远处()的应力为：的应力为：如何求取如何求取？（5-14）（5-15）其中：其中：（5-16）多连体中多连体中 的结构：的结构：无限大多连体中无限大多连体中 的结构：的结构：如何求取如何求取？结论结论结论结论：5-7 5-7 保角变换与曲线坐标保角变换与曲线坐标1 1、保角变换（映射）、保角变换（映射）设设 z-平面上的一点平面上的一点 zD，与，与-平面上的一平面上的一点点 D 之间通过变换（映射）：之间通过变换（映射）：相相联系，其中联系，其中 为为-平面上区域平面上区域D 内的内的单单值解析函数值解析函数，且，且 。这样使这样使-平面上每一点平面上每一点 D都都对应于对应于z-平面平面上完全确定的点上完全确定的点 zD。设设C1、C2为过点为过点 D的两条曲线，其夹角为的两条曲线，其夹角为（反时针转向）；通过变换后，得到反时针转向）；通过变换后，得到z-平面上与平面上与-平面上的一点平面上的一点对应点对应点 z 处的曲线处的曲线L1、L2。如果如果z-平面上点平面上点 z 处曲线处曲线L1、L2的夹角仍为的夹角仍为，且且转向也相同，则称变换（映射）转向也相同，则称变换（映射）为为保角变换（映射）保角变换（映射）。常用的变换：常用的变换：将将z-平面上的平面上的复杂边界复杂边界变换为变换为-平面上的平面上的单位圆。单位圆。如如其中：其中：实数实数R、m由椭圆的长半轴由椭圆的长半轴 a 与短半轴与短半轴 b 决定。决定。或或