第2讲数列求和及综合应用.ppt
第第2讲数列求和及综合应用讲数列求和及综合应用要点知识整合要点知识整合2数列求和的方法技巧数列求和的方法技巧(1)转化法转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并或常见的数列，即先分别求和，然后再合并(2)错位相减法错位相减法这是在推导等比数列的前这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列这种方法主要用于求数列anbn的前的前n项和，其中项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法倒序相加法这是在推导等差数列前这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列就是将一个数列倒过来排列(反序反序)，当它与原数列相，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和3数列的应用题数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决予以解决(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式项和公式题型一题型一题型一题型一裂项相消求和裂项相消求和热点突破探究热点突破探究典例精析典例精析典例精析典例精析例例例例1 1 设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知已知a11，Snnann(n1)(n1,2,3，)(1)求证：数列求证：数列an为等差数列，并写出为等差数列，并写出an关于关于n的表达式；的表达式；【解解】(1)证明：当证明：当n2时，时，anSnSn1nan(n1)an12(n1)，得，得anan12(n2,3,4，)所以数列所以数列an是以是以a11为首项，为首项，2为公差的等差数列为公差的等差数列所以所以an2n1.变式训练变式训练变式训练变式训练解：解：(1)设等差数列设等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，由于由于a37，a5a726，所以所以a12d7,2a110d26，解得解得a13，d2.题型二题型二题型二题型二错位相减法求和错位相减法求和例例例例2 2【题后拓展题后拓展】用错位相减法求和时，应注意：用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形要值得注意数的情形要值得注意(2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错项对齐错项对齐”，以便于下一步准确写出，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式的表达式(3)应应用用等等比比数数列列求求和和公公式式必必须须注注意意公公比比q1这这一一前前提提条条件件，如如果果不不能能确确定定公公比比q是是否否为为1，应应分分两两种种情情况进行讨论，这种情况在以前的高考中经常考查况进行讨论，这种情况在以前的高考中经常考查变式训练变式训练变式训练变式训练题型三题型三题型三题型三数列与不等式数列与不等式例例例例3 3【题后拓展题后拓展】常见的证明不等式的方法：常见的证明不等式的方法：(1)作差法作差法(与与0比较比较)；(2)作商法作商法(与与1比较比较)；(3)综合法；综合法；(4)分析法；分析法；(5)反证法；反证法；(6)放缩法放缩法3已知已知an是公比为是公比为q的等比数列，且的等比数列，且a1，a3，a2成等成等差数列差数列(1)求求q的值；的值；(2)设设bn是以是以2为首项，为首项，q为公差的等差数列，其前为公差的等差数列，其前n项的和为项的和为Sn，当，当n2时，比较时，比较Sn与与bn的大小，并说明的大小，并说明理由理由变式训练变式训练变式训练变式训练题型四题型四题型四题型四数列的实际应用数列的实际应用例例例例4 4(1)求该企业第一年和第二年的求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率对社会的有效贡献率”；(2)试问从第几年起该企业试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率对社会的有效贡献率”不低不低于于20%?【思维升华思维升华】数列的递推应用问题往往是以一数列的递推应用问题往往是以一定的实际问题作为背景进行命题的，该问题来源定的实际问题作为背景进行命题的，该问题来源于生产实践，解题时先将实际生活模型用数学公于生产实践，解题时先将实际生活模型用数学公式或等量关系式列出，然后得出数列的递推关系式或等量关系式列出，然后得出数列的递推关系式适当的时候也可以利用特殊化思想方法先求式适当的时候也可以利用特殊化思想方法先求得前几项，应用不完全归纳法得出通项后再进行得前几项，应用不完全归纳法得出通项后再进行进一步的论证进一步的论证变式训练变式训练变式训练变式训练例例例例方法突破方法突破方法突破方法突破【方法心得方法心得】解答本题的关键是建立目标函数解答本题的关键是建立目标函数f(n)，而采用函数的思想，用研究函数单调性的方，而采用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究数列的单调性，求出法研究数列的单调性，求出f(n)的最小值，结合不的最小值，结合不等式恒成立，进一步用函数与方程思想分析突破等式恒成立，进一步用函数与方程思想分析突破因此，函数不仅可以解决方程、不等式的问题，也因此，函数不仅可以解决方程、不等式的问题，也可以解决数列的问题，而极端原理的应用也尤为重可以解决数列的问题，而极端原理的应用也尤为重要要高考动态聚焦高考动态聚焦考情分析考情分析考情分析考情分析 从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1每年高考都会有一道利用数列的递推关系求通项每年高考都会有一道利用数列的递推关系求通项公式及前公式及前n项和，或利用数列的前项和，或利用数列的前n项和项和Sn与通项与通项an之之间的关系求前间的关系求前n项和的客观题或解答题，客观题难度项和的客观题或解答题，客观题难度为低、中档，解答题难度为中、高档为低、中档，解答题难度为中、高档 2数列的综合应用是高考的热点，主要考查数列与数列的综合应用是高考的热点，主要考查数列与函数、不等式、解析几何等的综合应用，难度较大函数、不等式、解析几何等的综合应用，难度较大真题聚焦真题聚焦真题聚焦真题聚焦1(2010年高考江西卷年高考江西卷)等比数列等比数列an中，中，|a1|1，a58a2，a5a2，则，则an()A(2)n1B(2)n1C(2)n D(2)n解析：选解析：选A.记数列记数列an的公比为的公比为q，由，由a58a2，得，得a1q48a1q，即，即q2.由由|a1|1，得，得a11，当，当a11时，时，a516a22，符合题意，故，符合题意，故ana1qn1(2)n1.2(2010年高考山东卷年高考山东卷)设设an是首项大于零的等比数是首项大于零的等比数列，则列，则“a1a2”是是“数列数列an是递增数列是递增数列”的的()A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：选解析：选C.设数列设数列an的公比为的公比为q，因为，因为a10，所以有，所以有a11，所以数列，所以数列an是递增是递增数列；反之，若数列数列；反之，若数列an是递增数列，则公比是递增数列，则公比q1且且a10.所以所以a1a1q，即，即a1a2，所以，所以“a1a2”是是“数列数列an是递增数列是递增数列”的充分必要条件的充分必要条件3(2010年高考浙江卷年高考浙江卷)设设a1，d为实数，首项为为实数，首项为a1，公差为，公差为d的等差数列的等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，满足，满足S5S6150，则，则d的取值范围是的取值范围是_4(2010年高考四川卷年高考四川卷)已知等差数列已知等差数列an的前的前3项和项和为为6，前，前8项和为项和为4.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列，求数列bn 的前的前n项和项和Sn.
