MINITAB培训_假设检验_方差_回归.ppt

一、假设检验一、假设检验*编编SIX SIGMA 培训培训二、方差分析二、方差分析三、质量工具三、质量工具四、试验设计四、试验设计2021/9/26假设检验假设检验&假设检验的理解假设检验的理解(Hypothesis Test)对总体参数分布做假设对总体参数分布做假设,根据样本根据样本(Sample)观测值运用统计技术分析方法检验这种观测值运用统计技术分析方法检验这种假设是否正确，从而选择接受或拒绝假设的过程。假设是否正确，从而选择接受或拒绝假设的过程。假设假设:特定某总体是特定某总体是,ex)制造部男员工的平均制造部男员工的平均 身高是身高是172 cm.原假设原假设(Ho,Null Hypothesis):肯定肯定 对立假设对立假设(H1 or Ha,Alternative Hypothesis):否定原假设否定原假设某总体某总体(N)Sample根据根据Sample的数据的数据检验已设定的该总体的假设检验检验已设定的该总体的假设检验 原假设原假设(Ho)设定设定 :制造部男员工身高是制造部男员工身高是172cm 设定对立假设设定对立假设(H1 or Ha):不是不是172cm(或或0.05时，接受原假设，拒绝对立假设；时，接受原假设，拒绝对立假设；PBasic Statistics1-Sample Z,4、比较比较P0.05的大小，判定的大小，判定:接受接受H0,11-7/22出现对话框后：出现对话框后：Variables栏中选外园直径数值；栏中选外园直径数值；SIGMA：栏中填栏中填0.016（总体（总体）TEST MEAN栏中填栏中填5.50（目标均值）（目标均值）GRAPHS对话框可填可不填对话框可填可不填OPTIONS 对话框对话框:CONFIDENCE LEVEL:95.0（置信度水置信度水平）平）ALTERNATIVE:not equal(对立假设）对立假设）One-Sample Z:sample实施结果：实施结果：Test of mu=5.5 vs mu not=5.5The assumed sigma=0.016Variable N Mean StDev SE Meansample 35 5.50143 0.02390 0.00270Variable 95.0%CI Z Psample (5.49613,5.50673)0.53 0.5972021/9/26假设检验事例假设检验事例1 Sample T Test&1 Sample T Test实例：实例：Height66.0072.0073.5073.0069.0073.0072.0074.0072.0071.0074.0072.0070.0067.0071.0072.0069.0073.0074.0066.00 确认确认HeightHeight的平均个子是否的平均个子是否70.(70.(单单,不知道母体的标准偏差不知道母体的标准偏差.).)-原假设原假设:平均个子平均个子=70 -=70 -对立假设对立假设:平均个子平均个子 70 70 Test of mu=70 vs mu not=70Variable N Mean StDev SE MeanHeight 20 71.175 2.561 0.573Variable 95.0%CI T PHeight (69.976,72.374)2.05 0.054平均平均:71.175 :71.175 标准偏差标准偏差:2.561:2.561平均的标准偏差平均的标准偏差:0.573 :0.573 母平均的母平均的95%95%置信区间置信区间 :69.976 72.374 :69.976 72.374p-value:0.054p-value:0.054p-valuep-value比比0.050.05大，接受大，接受0 0假设假设.即即,可以平均个子看作可以平均个子看作70707070包含在置信区间里面。包含在置信区间里面。Minitab Menu:Stat/Basic Statistics/1 Sample T Test*注意注意:在在Option 上各上各 greater than,less than,not equal的含义是什么的含义是什么?11-8/22目标均值目标均值2021/9/26假设检验事例假设检验事例2 Sample T Test&2 Sample T Test实例：实例：例例3：A、B两种不同情况下测得某两种不同情况下测得某PCB焊点拉拔力数据如下：焊点拉拔力数据如下：A：5.65 5.89 4.37 4.28 5.12 ;B:5.99 5.78 5.26 4.99 4.88;问两种条件下问两种条件下PCB的焊点拉拔力的焊点拉拔力是否有显著区别？是否有显著区别？H0：A=B；H1：AB Minitab Menu:Stat/Basic Statistics/2 Sample T Test两样本数据存于一栏两样本数据存于一栏两样数据存于不同栏两样数据存于不同栏对分散的同质性与否的对分散的同质性与否的check(在这里不是同质的在这里不是同质的 no-check)11-9/22数据数据标注标注数据数据2021/9/26假设检验事例假设检验事例2 Sample T Test&实施结果：实施结果：P值比值比0.05大，接受大，接受H0；即即2种条件下的种条件下的PCB板焊点拔取力没有差异板焊点拔取力没有差异 从平均值看从平均值看B比比A 拔取力大拔取力大 总体均值的置信区间：（总体均值的置信区间：（-1.278,0.642)Two-sample T for A vs B N Mean StDev SE MeanA 5 5.062 0.729 0.33B 5 5.380 0.487 0.22Difference=mu A-mu BEstimate for difference:-0.31895%CI for difference:(-1.278,0.642)T-Test of difference=0(vs not=):T-Value=-0.81 P-Value=0.448 DF=6 11-10/222021/9/26假设检验事例假设检验事例&成对数据的假设检验成对数据的假设检验 英语分数向上程序运营后，比较程序实施前和实施后的英语分数，检讨向上程序是否实际上很有用英语分数向上程序运营后，比较程序实施前和实施后的英语分数，检讨向上程序是否实际上很有用 程序实施前程序实施前/后的分数入以下时，检讨程序是否有利于英语分数向上后的分数入以下时，检讨程序是否有利于英语分数向上.(.(各各 10 10个随意抽出个随意抽出)Before after7681605285875870918675778290646379858883Paired T-Test and CI:before,afterPaired T for before-after N Mean StDev SE Meanbefore 10 75.80 11.64 3.68after 10 77.40 12.18 3.85Difference 10 -1.60 6.38 2.0295%CI for mean difference:(-6.16,2.96)T-Test of mean difference=0(vs not=0):T-Value=-0.79 P-Value=0.448Minitab Menu:Stat/Basic Statistics/Paired T Paired T:CI Mean Difference 2 Sample T:CI DifferencePaired T 11-11/222021/9/26假设检验事例假设检验事例1-Proportion1-Proportion DID DID 事业部为了确认事业部为了确认A A 厂家的厂家的6 6sigmasigma的的PJTPJT成果，调查了成果，调查了300300个个samplesample，出现了出现了1515个不良品个不良品.A A 厂家交货部品的目标不良率为厂家交货部品的目标不良率为15%15%，能不能看做目标达成了，能不能看做目标达成了?Minitab Menu:stat/Basic StatisticsMinitab Menu:stat/Basic Statistics/1-Proportion1-ProportionClickClickTest of p=0.15 vs p not=0.15 Sample X N Sample p 95.0%CI P-Value1 15 300 0.050 (0.028251,0.081127)0.000 实行结果实行结果 11-12/222021/9/26假设检验事例假设检验事例2-Proportion DIDDID事业部为了比较事业部为了比较 A,BA,B两个两个lineline上发生的不良率，收集了上发生的不良率，收集了DataData.其结果其结果A LineA Line上上10001000个当中有个当中有7575个不良个不良,B Line B Line 上上15001500个当中发现了个当中发现了120120个不良。能不能看作个不良。能不能看作LineLine间不良率有差异间不良率有差异?Minitab Menu:stat/Basic StatisticsMinitab Menu:stat/Basic Statistics/2/2-Proportion-ProportionTest and CI for Two ProportionsSample X N Sample p1 75 1000 0.0750002 120 1500 0.080000Estimate for p(1)-p(2):-0.00595%CI for p(1)-p(2):(-0.0263305,0.0163305)Test for p(1)-p(2)=0(vs not=0):Z=-0.46 P-Value=0.646P-value:0.646(64.6%)P-value:0.646(64.6%)P-valueP-value值大，因此可以说值大，因此可以说0 0假设是对的。假设是对的。即即,可以说可以说A,BA,B两个两个lineline上所发生的不良率上所发生的不良率 没有差异。没有差异。11-13/222021/9/26假设检验事例假设检验事例 需同时检验多个样本均值有无差异时，需要用到方差分析需同时检验多个样本均值有无差异时，需要用到方差分析建立假设：建立假设：H0H0：胶水胶水A A粘接力均值粘接力均值=胶水胶水B B粘接力均值粘接力均值=胶水胶水C C的粘接力均值的粘接力均值H1H1：胶水胶水A A粘接力均值粘接力均值胶水胶水B B粘接力均值粘接力均值胶水胶水C C的粘接力均值的粘接力均值确定显著水平：确定显著水平：=0.05=0.05选择假设检验类别选择假设检验类别:单变量方差分析单变量方差分析Minitab Minitab 计算计算P P值。值。11-14/22例：想了解三种不同胶水对元件粘接力的影响，分别测得不同胶水粘接力如下：例：想了解三种不同胶水对元件粘接力的影响，分别测得不同胶水粘接力如下：胶水A胶水B胶水C5.674.884.895.345.365.214.984.995.365.565.755.895.86.216.116.716.075.29问三种胶水粘接力均值有无差异？问三种胶水粘接力均值有无差异？2021/9/26假设检验事例假设检验事例 11-15/22Stat ANOVA One-way(Unstacked)注：注：Unstacked 指不同条件的数据存储在不同列指不同条件的数据存储在不同列的状态的状态2021/9/26实施结果：实施结果：One-way ANOVA:A,B,CAnalysis of VarianceSource DF SS MS F PFactor 2 0.145 0.073 0.26 0.778Error 15 4.273 0.285Total 17 4.419 Individual 95%CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev -+-+-+-A 6 5.6767 0.5823 (-*-)B 6 5.5433 0.5558 (-*-)C 6 5.4583 0.4547 (-*-)-+-+-+-Pooled StDev=0.5338 5.25 5.60 5.95假设检验事例假设检验事例2-Proportion 11-16/22P0.05，因此接受零假设因此接受零假设H0A、B、C胶水粘接力胶水粘接力均值数据置信区间有重均值数据置信区间有重合部分合部分2021/9/26假设检验事例假设检验事例2VARIANCES 11-17/22对两个总体的分布状况进行比较，如对两个车床所加工出来的零件尺寸精度的比较，这时会用到对两个总体的分布状况进行比较，如对两个车床所加工出来的零件尺寸精度的比较，这时会用到F检检验。验。例：两台车床加工一批零件，为了解两台车床加工精度方面有无差异，各抽取例：两台车床加工一批零件，为了解两台车床加工精度方面有无差异，各抽取10个零件测得尺寸个零件测得尺寸A数数值如下：车床值如下：车床1：25.3,25.2,25.2,25.5,25.52,25.51,25.54,25.55,25.5,25.52;车床车床2:25.5,25.55,25.56,25.49,25.48,25.53,25.52,25.54,25.5,25.47;问问:两台车床加工精度有无差异两台车床加工精度有无差异?步骤步骤:H0:车床车床1加工的工件尺寸加工的工件尺寸A的标准差的标准差=车床车床2加工的工件尺寸加工的工件尺寸A的标准差的标准差H1:车床车床1加工的工件尺寸加工的工件尺寸A的标准差的标准差车床车床2加工的工件尺寸加工的工件尺寸A的标准差的标准差确定确定=0.05选择假设检验类别选择假设检验类别F检验法检验法;例用例用MINITAB 计算计算PMinitab StatBasic Statistics2 Variances2021/9/26假设检验事例假设检验事例2-Proportion 11-18/222021/9/26假设检验事例假设检验事例2-Proportion 11-19/22Test for Equal VariancesTest for Equal VariancesLevel1 CHE1Level2 CHE2ConfLvl 95.0000 Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels4.66E-02 7.13E-02 0.143584 10 CHE12.00E-02 3.06E-02 0.061664 10 CHE2F-Test(normal distribution)Test Statistic:5.422P-Value :0.019Levenes Test(any continuous distribution)Test Statistic:0.077P-Value :0.785接受零假设，两台车床加工精度没接受零假设，两台车床加工精度没有差异有差异2021/9/26假设检验事例假设检验事例2-Proportion 11-20/22在需要同时比较多个方差的场合，需进行多样本方差检验在需要同时比较多个方差的场合，需进行多样本方差检验四台设备同时加工一种工件，为了解四台设备同时加工一种工件，为了解4 4台设备的精度有无差异，每台设备抽样台设备的精度有无差异，每台设备抽样1010PCSPCS测得尺寸如测得尺寸如下下（略），问四台设备精度是否有差异？（略），问四台设备精度是否有差异？H0H0：。；：。；H1H1：。：。MINTAB MINTAB 工工作表数据：作表数据：Stat ANOVA Test for Equal VariancesStat ANOVA Test for Equal Variances 2021/9/26假设检验事例假设检验事例2-Proportion 11-21/22Response SIZEFactors EQUIPConfLvl 95.0000 Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels 1.84368 2.94581 6.5147 10 A 3.29134 5.25885 11.6301 10 B 3.13351 5.00666 11.0723 10 C 2.76454 4.41714 9.7686 10 DBartletts Test(normal distribution)Test Statistic:3.055P-Value :0.383Levenes Test(any continuous distribution)Test Statistic:0.295P-Value :0.8292021/9/26假设检验事例假设检验事例2-Proportion 11-22/22根据上图结果根据上图结果BartlettBartlett检验法和检验法和LeveneLevene检验法得出一致结论，检验法得出一致结论，P P值大于值大于0.05,0.05,所以认所以认为四台车床加工的工件精度没有显著差异为四台车床加工的工件精度没有显著差异.有时会存在有时会存在BartlettBartlett检验法和检验法和LeveneLevene检验法得出的结论不一致的问题检验法得出的结论不一致的问题,这时可检验这时可检验数据的正态性数据的正态性,如为正态分布数据如为正态分布数据,则以则以BartlettBartlett检验法为结论检验法为结论.如为非正态分布如为非正态分布,则则以以LeveneLevene检验法为准检验法为准.2021/9/262.3 统计技术方法2.3.1 方差分析2.3.2 回归分析2.3.3 试验设计2021/9/262.3.1方差分析方差分析一、几个概念一、几个概念二、单因子方差分析二、单因子方差分析三、重复数不等的情况三、重复数不等的情况2021/9/26一、几个概念一、几个概念在在试试验验中中改改变变状状态态的的因因素素称称为为因因子子，常常用用大大写写英文字母英文字母A、B、C、等表示。等表示。因因子子在在试试验验中中所所处处的的状状态态称称为为因因子子的的水水平平。用用代代表表因因子子的的字字母母加加下下标标表表示示，记记为为A1，A2，Ak。试试验验中中所所考考察察的的指指标标（可可以以是是质质量量特特性性也也可可以以是是产产量量特特性性或或其其它它）用用Y表表示示。Y是是一一个个随随机机变变量。量。单因子试验：单因子试验：若试验中所考察的因子只有一个。若试验中所考察的因子只有一个。2021/9/26例例2.1-1现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均强度是否相同？强度是否相同？工厂工厂量件强度量件强度甲甲乙乙丙丙1031019811011310710811682928486三个工厂的零件强三个工厂的零件强度度2021/9/26在这一例子中，考察一个因子：在这一例子中，考察一个因子：因子因子A：工厂：工厂该因子有三个水平：甲、乙、丙该因子有三个水平：甲、乙、丙试验指标是：零件强度试验指标是：零件强度这这是是一一个个单单因因子子试试验验的的问问题题。每每一一水水平平下下的的试试验验结结果果构构成成一一个个总总体体，现现在在需需要要比比较较三三个个总总体体均均值值是是否否一一致致。如如果果每每一一个个总总体体的的分分布布都都是是正正态态分分布布，并并且且各各个个总总体体的的方方差差相相等等，那那么么比比较较各各个个总总体体均均值值是是否否一一致致的的问问题题可可以以用用方方差差分分析析方方法法来解决。来解决。2021/9/26二、单因子方差分析二、单因子方差分析假假定定因因子子A有有r个个水水平平，在在Ai水水平平下下指指标标服服从从正正态态分分布布，其其均均值值为为，方方差差为为，i=1,2,r。每每一一水水平平下下的的指指标标全全体体便便构构成成一一个个总总体体，共共有有r个个总总体体，这这时时比比较较各各个个总总体体的的问问题题就就变变成成比比较较各各个个总总体体的的均均值值是是否否相相同同的的问问题题了了，即即要要检检验验如下假设是否为真：如下假设是否为真：2021/9/26当当不真时，表示不同水平下的指标的不真时，表示不同水平下的指标的均值有显著差异，此时称因子均值有显著差异，此时称因子A是显著的，否是显著的，否则称因子则称因子A不显著。检验这一假设的分析方法不显著。检验这一假设的分析方法便是方差分析。便是方差分析。2021/9/26v方差分析的三个基本假定方差分析的三个基本假定1.在水平在水平下，指标服从正态分布下，指标服从正态分布；2.在不同水平下，各方差相等；在不同水平下，各方差相等；3.各数据各数据相互独立。相互独立。2021/9/26设在一个试验中只考察一个因子设在一个试验中只考察一个因子A，它有，它有r个个水平，在每一水平下进行水平，在每一水平下进行m次重复试验，其结果用次重复试验，其结果用表示，表示，i=1,2,r。常常把数据列成常常把数据列成如下表格形式：如下表格形式：单因子试验数据表单因子试验数据表2021/9/26记第记第i水平下的数据均值为水平下的数据均值为，总均值为，总均值为。此。此时共有时共有n=rm个数据，这个数据，这n个数据不全相同，它们的个数据不全相同，它们的波动（差异）可以用总离差平方和波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示去表示记第记第i水平下的数据和为水平下的数据和为Ti，；2021/9/26引起数据波动（差异）的原因不外如下两个：引起数据波动（差异）的原因不外如下两个：一是由于因子一是由于因子A的水平不同，当假设的水平不同，当假设H0不真不真时，各个水平下指标的均值不同，这必然会使试时，各个水平下指标的均值不同，这必然会使试验结果不同，我们可以用组间离差平方和来表示，验结果不同，我们可以用组间离差平方和来表示，也称因子也称因子A的离差平方和：的离差平方和：这里乘以这里乘以m是因为每一水平下进行了是因为每一水平下进行了m次试验。次试验。2021/9/26二是由于存在随机误差，即使在同一水平下二是由于存在随机误差，即使在同一水平下获得的数据间也有差异，这是除了因子获得的数据间也有差异，这是除了因子A的水平的水平外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误差，可以用组内离差平方和表示：差，可以用组内离差平方和表示：Se：也称为误差的离差平方和：也称为误差的离差平方和2021/9/26可以证明有如下平方和分解式：可以证明有如下平方和分解式：ST、SA、Se的自由度分别用的自由度分别用、表示，它们也有分解式：表示，它们也有分解式：，其中：，其中：因因子子或或误误差差的的离离差差平平方方和和与与相相应应的的自自由由度度之比称为因子或误差的均方和，并分别记为：之比称为因子或误差的均方和，并分别记为：两者的比记为：两者的比记为：2021/9/26当当时时认认为为在在显显著著性性水水平平上上因子因子A是显著的。其中是显著的。其中是自由度为是自由度为的的F分布的分布的1-分位数。分位数。单因子方差分析单因子方差分析表表2021/9/26各个离差平方和的计算：各个离差平方和的计算：其中其中是第是第i个水平下的数据和；个水平下的数据和；T表示表示所有所有n=rm个数据的总和。个数据的总和。2021/9/26进行方差分析的步骤如下：进行方差分析的步骤如下：（1）计算因子）计算因子A的每一水平下数据的和的每一水平下数据的和T1，T2，Tr及总和及总和T；（2）计算各类数据的平方和）计算各类数据的平方和；（3）依次计算）依次计算ST，SA，Se；（4）填写方差分析表；）填写方差分析表；（5）对于给定的显著性水平）对于给定的显著性水平，将求得的，将求得的F值与值与F分布表中的临界值分布表中的临界值比较，当比较，当时认为因子时认为因子A是显著的，否则认为是显著的，否则认为因子因子A是不显著的。是不显著的。2021/9/26对上例的分析对上例的分析（1）计算各类和：）计算各类和：每一水平下的数据和为：每一水平下的数据和为：数据的总和为数据的总和为T=1200（2）计算各类平方和：）计算各类平方和：原始数据的平方和为：原始数据的平方和为：每一水平下数据和的平方和为每一水平下数据和的平方和为2021/9/26（3）计算各离差平方和：）计算各离差平方和：ST=121492-12002/12=1492，fT=34-1=11SA=485216/4-12002/12=1304,fA=3-1=2Se=1492-1304=188,fe=11-2=92021/9/26（4）列方差分析表：）列方差分析表：例例2.1-1的方差分析表的方差分析表2021/9/26（5）如果给定如果给定=0.05，从，从F分布表查得分布表查得由由于于F4.26，所所以以在在=0.05水水平平上上结结论论是是因因子子A是是显显著著的的。这这表表明明不不同同的的工工厂厂生生产产的的零零件件强强度有明显的差异。度有明显的差异。当因子当因子A是显著时，我们还可以给出每一水是显著时，我们还可以给出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。在平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。在单因子试验的场合，第单因子试验的场合，第i个水平指标均值的估计个水平指标均值的估计为：为：，2021/9/26在本例中，三个工厂生产的零件的平均强度在本例中，三个工厂生产的零件的平均强度的的估计分别为：的的估计分别为：由此可见，乙厂生产的零件的强度的均值由此可见，乙厂生产的零件的强度的均值最大，如果我们需要强度大的零件，那么购买最大，如果我们需要强度大的零件，那么购买乙厂的为好；而从工厂来讲，甲厂与丙厂应该乙厂的为好；而从工厂来讲，甲厂与丙厂应该设法提高零件的强度。设法提高零件的强度。误误差差方方差差的的估估计计：这这里里方方差差的的估估计计是是MSe。在本例中：。在本例中：的估计是的估计是20.9。的估计是的估计是例例2.1-2略（见教材略（见教材P92）2021/9/26三、重复数不等的情况三、重复数不等的情况若在每一水平下重复试验次数不同，假定若在每一水平下重复试验次数不同，假定在在Ai水平下进行水平下进行次试验，那么进行方差分析次试验，那么进行方差分析的步骤仍然同上，只是在计算中有两个改动：的步骤仍然同上，只是在计算中有两个改动：2021/9/26例例2.1-3某型号化油器原中小喉管的结构使某型号化油器原中小喉管的结构使油耗较大，为节约能源，设想了两种改进方案以油耗较大，为节约能源，设想了两种改进方案以降低油耗。油耗的多少用比油耗进行度量，现在降低油耗。油耗的多少用比油耗进行度量，现在对用各种结构的中小喉管制造的化油器分别测定对用各种结构的中小喉管制造的化油器分别测定其比油耗，数据如表所列，试问中小喉管的结构其比油耗，数据如表所列，试问中小喉管的结构（记为因子（记为因子A）对平均比油油耗的影响是否显著。）对平均比油油耗的影响是否显著。（这里假定每一种结构下的油耗服从等方差的正（这里假定每一种结构下的油耗服从等方差的正态分布）态分布）2021/9/26例例2.1-3的试验结果的试验结果水平水平试验结果（比油耗试验结果（比油耗-220）A1：原结构：原结构11.012.87.68.34.75.59.310.3A2：改改进进方方案案12.84.5-1.50.2A3：改改进进方方案案24.36.11.43.6（为简化计算，这里一切数据均减去（为简化计算，这里一切数据均减去220，不，不影响影响F比的计算及最后分析因子的显著性）比的计算及最后分析因子的显著性）2021/9/26（1）各水平下的重复试验次数及数据和分别为：）各水平下的重复试验次数及数据和分别为：A1：m1=8,T1=69.5A2：m2=4,T2=6.0A3：m3=4,T3=15.4总的试验次数总的试验次数n=16，数据的总和为，数据的总和为T=90.92021/9/26（2）计算各类平方和：）计算各类平方和：（3）计算各离差平方和：）计算各离差平方和：ST=757.41-516.43=240.98，fT=16-1=15SA=672.07-516.43=155.64,fA=3-1=2Se=240.98-155.64=85.34,fe=15-2=132021/9/26（4）列方差分析表：）列方差分析表：例例2.1-3方差分析表方差分析表2021/9/26（5）如果给定如果给定=0.05，从，从F分布表查得分布表查得由于由于F3.81，所以在，所以在=0.05水平上我们水平上我们的结论是因子的结论是因子A是显著的。这表明不同的中小是显著的。这表明不同的中小喉管结构生产的化油器的平均比油耗有明显的喉管结构生产的化油器的平均比油耗有明显的差异。差异。2021/9/26我们还可以给出不同结构生产的化油器的平我们还可以给出不同结构生产的化油器的平均比油耗的估计：均比油耗的估计：这里加上这里加上220是因为在原数据中减去了是因为在原数据中减去了220的缘故。的缘故。由此可见，从比油耗的角度看，两种改进由此可见，从比油耗的角度看，两种改进结构都比原来的好，特别是改进结构结构都比原来的好，特别是改进结构1。在本例中误差方差的估计为在本例中误差方差的估计为6.56，标准差，标准差的估计为的估计为2.56。2021/9/262.3.2回归分析回归分析例例2.2-1合金的强度合金的强度y与合金中的碳含量与合金中的碳含量x有有关。为了生产出强度满足顾客需要的合金，在冶关。为了生产出强度满足顾客需要的合金，在冶炼时应该如何控制碳含量？如果在冶炼过程中通炼时应该如何控制碳含量？如果在冶炼过程中通过化验得到了碳含量，能否预测合金的强度？过化验得到了碳含量，能否预测合金的强度？这时需要研究两个变量间的关系。首先是这时需要研究两个变量间的关系。首先是收集数据收集数据(xi,yi)，i=1,2,n。现从生产中收集到。现从生产中收集到表表2.2-1所示的数据。所示的数据。2021/9/26表表2.2-1数据表数据表2021/9/26一、散布图一、散布图6050400.150.200.10 xy例例2.2-1的散布图的散布图2021/9/26二、相关系数二、相关系数1相关系数的定义相关系数的定义在散布图上在散布图上n个点在一条直线附近，但又个点在一条直线附近，但又不全在一条直线上，称为两个变量有线性相关不全在一条直线上，称为两个变量有线性相关关系，可以用相关系数关系，可以用相关系数r去描述它们线性关系去描述它们线性关系的密切程度的密切程度2021/9/26其中其中2021/9/26性质：性质：表示表示n个点在一条直线上，这时两个个点在一条直线上，这时两个变量间完全线性相关。变量间完全线性相关。r0表示当表示当x增加时增加时y也增大，称为正相关也增大，称为正相关r0.576，说明两个变量间有（正）线性相关关系。，说明两个变量间有（正）线性相关关系。2021/9/26四、一元线性回归方程四、一元线性回归方程1.一元线性回归方程的求法：一元线性回归方程的求法：一元线性回归方程的表达式为一元线性回归方程的表达式为其中其中a与与b使下列离差平方和达到最小：使下列离差平方和达到最小：通过微分学原理，可知通过微分学原理，可知，称这种估计为最小二乘估计。称这种估计为最小二乘估计。b称为回归系数；称为回归系数；a一般称为常数项。一般称为常数项。2021/9/26 求一元线性回归方程的步骤如下：求一元线性回归方程的步骤如下：（1）计算变量）计算变量x与与y的数据和的数据和Tx，Ty；（2）计算各变量的平方和与乘积和；）计算各变量的平方和与乘积和；（3）计算）计算Lxx,Lxy；（4）求出）求出b与与a；2021/9/26利用前面的数据，可得：利用前面的数据，可得：b=2.4392/0.0186=130.6022a=590.5/12-130.60221.90/12=28.5297（5）写出回归方程：）写出回归方程：l画出的回归直线一定通过（画出的回归直线一定通过（0，a）与）与两点两点上例：上例：或或2021/9/262.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验有两种方法：有两种方法：一是用上述的相关系数；一是用上述的相关系数；二是用方差分析方法（为便于推广到多元二是用方差分析方法（为便于推广到多元线性回归的场合），将总的离差平方和分解成线性回归的场合），将总的离差平方和分解成两个部分：回归平方和与离差平方和。两个部分：回归平方和与离差平方和。2021/9/26总的离差平方和：总的离差平方和：回归平方和：回归平方和：离差平方和：离差平方和：且有且有ST=SR+SE，其中，其中它们的自由度分别为：它们的自由度分别为：fT=n-1，fR=1，fE=n-2=fT-fR2021/9/26计算计算F比，比，对给定的显著性水平对给定的显著性水平，当，当时认为回归方程是显著的，即回归方程是有意时认为回归方程是显著的，即回归方程是有意义的。一般也列成方差分析表。义的。一般也列成方差分析表。2021/9/26对上面的例子，作方差分析的步骤如下：对上面的例子，作方差分析的步骤如下：根据前面的计算根据前面的计算（1）计算各类平方和：）计算各类平方和：ST=Lyy=335.2292，fT=12-1=11SR=bLxy=130.60222.4292=317.2589，fR=1SE=335.2292-317.2589=17.9703，fE=11-1=102021/9/26（2）列方差分析表：）列方差分析表：例例2.2-1的方差分析表的方差分析表2021/9/26对给定的显著性水平对给定的显著性水平=0.05，有，有F0.95(1,10)=4.96由于由于F4.96，所以在，所以在0.05水平上认为回归水平上认为回归方程是显著的（有意义的）。方程是显著的（有意义的）。2021/9/263利用回归方程进行预测利用回归方程进行预测对给定的对给定的，y的预测值为的预测值为概率为概率为的的y的预测区间是的预测区间是其中其中当当n较大，较大，与与相差不大，那么可给出相差不大，那么可给出近似的预测区间，此时近似的预测区间，此时2021/9/26进行预测的步骤如下：进行预测的步骤如下：（1）对给出的）对给出的x0求预测值求预测值上例，设上例，设x0=0.16，则，则（2）求）求的估计的估计上例有上例有2021/9/26（3）求）求上例上例n=12，如果求概率为，如果求概率为95%的预测区的预测区间，那么间，那么t0.975(10)=2.228，所以，所以（4）写出预测区间）写出预测区间上例为上例为(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54)2021/9/26由于由于u0.975=1.96，故概率为，故概率为0.95的近似的预测的近似的预测区间为：区间为：所求区间：所求区间：（49.43-2.63，49.43+2.63）=（46.80，52.06）相差较大的原因总相差较大的原因总n较小。较小。2021/9/26四、可化为一元线性回归的曲线回归四、可化为一元线性回归的曲线回归在两个重复的散布图上，在两个重复的散布图上，n个点的散布不一个点的散布不一定都在一条直线附近波动，有时可能在某条曲线定都