材料力学 第3章扭转1-1.ppt

第三章第三章 扭扭 转转材料力学材料力学材料力学对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件扭扭 转转材料力学扳手拧紧镙帽扳手拧紧镙帽扭扭 转转工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件材料力学传动轴传动轴汽车传动轴汽车传动轴扭扭 转转工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件材料力学扭扭 转转汽车方向盘的转向轴汽车方向盘的转向轴工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件材料力学扭扭 转转请判断哪一杆件将发生扭转 连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件材料力学扭扭 转转工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件日常生活中也常见到日常生活中也常见到一些受扭转变形的构件一些受扭转变形的构件材料力学一、扭转的概念及一、扭转的概念及 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭转变形是指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等,方向方向相反且相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。使杆件的横截面绕轴线产生转动。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。扭转。扭扭 转转/扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算材料力学构件特征构件特征：等圆截面直杆：等圆截面直杆圆轴圆轴。M0M0受力特征受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。变形特征变形特征：纵向线倾斜一个角度：纵向线倾斜一个角度 ，称为，称为剪切角剪切角(或或称切应变称切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动转动，称为，称为扭转角扭转角。扭扭 转转/扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算M0 外力偶矩外力偶矩扭力矩扭力矩材料力学外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系功率功率功功时间时间力偶矩力偶矩 角位移角位移角速度角速度每分钟每分钟的转数的转数扭扭 转转/扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算材料力学二、杆受扭时的内力计算二、杆受扭时的内力计算材料力学已知圆轴受外力偶矩作已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则用，匀速转动。则用截面法求内力：用截面法求内力：11扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学扭矩扭矩：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。扭矩符号扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负外法线的指向一致，为正；反之为负。nn（+）nn（-）截面截面2-2上的内力：上的内力：扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学（+）扭矩图扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。（-）扭矩图扭矩图扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学例题例题3-1 图示传动轴上，经由图示传动轴上，经由A轮输入功率轮输入功率10kW，经经由由B、C、D轮输出功率分别为轮输出功率分别为2、3、5kW。轴的转速轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置轮的位置更换放置是否合理？更换放置是否合理？ACBD扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学ACBD经由经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为轮传递的外力偶矩分别为解：解：IIIIIIIIIIII扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学IIIIIIIIIIII绘出扭矩图：绘出扭矩图：扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学ACBD（-）扭矩扭矩T-图图（+）（在（在CA段和段和AD段）段）扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学将将A、D轮的位置更换，则轮的位置更换，则ACBD扭矩扭矩T-图图（-）（AD段）段）因此将因此将A、D轮的位置更换不合理。轮的位置更换不合理。扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学三、薄壁圆轴的扭转三、薄壁圆轴的扭转材料力学扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转薄壁圆轴薄壁圆轴-壁厚远小于其平均半径壁厚远小于其平均半径TT薄壁圆轴扭转试验薄壁圆轴扭转试验预先在圆筒的表面画上等间距预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成的纵向线和圆周线，从而形成一系列的方格子。一系列的方格子。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。观察到的现象观察到的现象材料力学ABDCABDC（1）（2 2）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形，）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形，绕轴线产生相对转动。绕轴线产生相对转动。扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转设想设想薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。材料力学横截面上没有正应力，只有切应力。横截面上没有正应力，只有切应力。且横截面上的切应力的方向是沿着且横截面上的切应力的方向是沿着圆周的切线方向，并设沿壁厚方向圆周的切线方向，并设沿壁厚方向是均匀分布的。是均匀分布的。mm(c)ABCD薄壁圆轴两端截面之间相对薄壁圆轴两端截面之间相对转动的角位移，称为转动的角位移，称为 相对扭相对扭相对扭相对扭转角转角转角转角 ，用，用 表示。表示。薄壁薄壁圆轴表面上每个格子的直圆轴表面上每个格子的直角的改变量，称为角的改变量，称为 切应变切应变切应变切应变。用用 表示表示。ACDB扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转材料力学T 扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转A0=r02,r0 平均半径，平均半径，壁厚壁厚几何关系几何关系切应变切应变小变形条件小变形条件切应力切应力静力关系静力关系材料力学dxdydz 切应力互等定理：切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转薄壁圆轴纵截面上的切应力薄壁圆轴纵截面上的切应力材料力学剪切胡克定律剪切胡克定律ACDB其中其中G是材料的是材料的剪切弹性模量剪切弹性模量。且且实验证明实验证明：当切应力不超过：当切应力不超过材料的比例极限材料的比例极限 时，切时，切应力应力 与切应变与切应变 成正比。成正比。即即单位：单位：MPa、GPa.扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转材料力学剪切胡克定律剪切胡克定律扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转拉压胡克定律拉压胡克定律材料力学第三章第三章 扭扭 转转上节回顾上节回顾材料力学构件特征构件特征：等圆截面直杆：等圆截面直杆圆轴圆轴。M0M0受力特征受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。变形特征变形特征：纵向线倾斜一个角度：纵向线倾斜一个角度 ，称为，称为剪切角剪切角(或或称切应变称切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动转动，称为，称为扭转角扭转角。扭扭 转转/扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算M0 外力偶矩外力偶矩扭力矩扭力矩材料力学外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系扭矩扭矩：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。扭矩符号扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负外法线的指向一致，为正；反之为负。nn（+）nn（-）上节回顾上节回顾材料力学（+）扭矩图扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。（-）扭矩图扭矩图扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算上节回顾上节回顾材料力学三、薄壁圆轴的扭转三、薄壁圆轴的扭转材料力学扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转薄壁圆轴薄壁圆轴-壁厚远小于其平均半径壁厚远小于其平均半径(r0)的空心圆轴。的空心圆轴。TT薄壁圆轴扭转试验薄壁圆轴扭转试验预先在圆轴的表面画上等间距预先在圆轴的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成的纵向线和圆周线，从而形成一系列的格子。一系列的格子。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。观察到的现象观察到的现象r0 平均半径，平均半径，壁厚壁厚材料力学ABDCABDC（1）（2 2）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形，）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形，绕轴线产生相对转动。绕轴线产生相对转动。扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转设想设想薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆轴轴线发生相对转动。相邻两横截面绕圆轴轴线发生相对转动。材料力学横截面上没有正应力，只有切应力。横截面上没有正应力，只有切应力。且横截面上的切应力的方向是沿着且横截面上的切应力的方向是沿着圆周的切线方向，并设沿壁厚方向圆周的切线方向，并设沿壁厚方向是均匀分布的是均匀分布的(壁厚较小壁厚较小)。mm(c)ABCD薄壁圆轴两端截面之间相对薄壁圆轴两端截面之间相对转动的角位移，称为转动的角位移，称为 相对扭相对扭相对扭相对扭转角转角转角转角 ，用，用 表示。表示。薄壁薄壁圆轴表面上每个格子的直圆轴表面上每个格子的直角的改变量，称为角的改变量，称为 切应变切应变切应变切应变。用用 表示表示。ACDB扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转材料力学T 扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转A0=r02,r0 平均半径，平均半径，壁厚壁厚几何关系几何关系切应变切应变小变形条件小变形条件切应力切应力静力关系静力关系材料力学dxdydz 切应力互等定理：切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转薄壁圆轴纵截面上的切应力薄壁圆轴纵截面上的切应力材料力学剪切胡克定律剪切胡克定律ACDB其中其中G是材料的是材料的剪切弹性模量剪切弹性模量。且且实验证明实验证明：当切应力不超过：当切应力不超过材料的比例极限材料的比例极限 时，切时，切应力应力 与切应变与切应变 成正比。成正比。即即单位：单位：MPa、GPa.扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转材料力学剪切胡克定律剪切胡克定律扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转拉压胡克定律拉压胡克定律材料力学四、圆轴扭转时的应力和变形四、圆轴扭转时的应力和变形材料力学TT实验观察实验观察 假设假设 理论分析理论分析研究方法：研究方法：1 1、实验观察、实验观察扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形横截面上的横截面上的应力分布应力分布材料力学 观察到的变形现象观察到的变形现象ABCD（1）横截面上存在切应力横截面上存在切应力（2 2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 对转动。对转动。横截面上不存在正应力横截面上不存在正应力ABCD（3 3）圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。）圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。2 2、假设、假设刚性平面假设，刚性平面假设，即圆轴扭转时横截面象刚性平面一样即圆轴扭转时横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动绕轴线作相对转动。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学圆轴圆轴许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆管扭转时截面的相对扭转角相同。管扭转时截面的相对扭转角相同。横截面上的切应力处处垂直于径向，横截面上的切应力处处垂直于径向，且方向同且方向同T 旋转方向。旋转方向。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形应力分布情况应力分布情况（实心截面）（空心截面）材料力学T 横截面上各点横截面上各点 切应力的方向。切应力的方向。3 3、理论分析、理论分析(1)几何分析几何分析TTdx扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学T小变形条件下小变形条件下扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学同理同理式中式中 表示扭转角表示扭转角沿轴长的变化率称为沿轴长的变化率称为单位单位扭转角扭转角，在同一截面上，在同一截面上，=常数。常数。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学(2)物理条件物理条件剪切胡克定律剪切胡克定律T扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学 称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、尺寸有关。尺寸有关。(3)静力平衡条件静力平衡条件T(单位扭转角单位扭转角,单位：单位：rad/m)扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学在扭矩相同的条件下，在扭矩相同的条件下，因此因此 表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。横截面上切应力计算公式横截面上切应力计算公式式中式中 称为称为抗扭截面模量抗扭截面模量。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学D=2R(4)公式中几何量公式中几何量 与与 的计算。的计算。a、实心圆截面实心圆截面因此因此而而dA扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学b、空心圆截面空心圆截面Dd式中式中而而扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形内外径之比内外径之比材料力学讨论讨论 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的剪切弹性模量分别为的剪切弹性模量分别为G1和和G2，且，且G12G2。圆轴圆轴尺寸如图中所示。尺寸如图中所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D)所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形T材料力学等直圆杆扭转时斜截面上的应力等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。灰铸铁试件：灰铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的的螺旋线断开。螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。因此还需要研究斜截面上的应力。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学1.点点M的应力单元体如图的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2.斜截面上的应力；斜截面上的应力；取分离体如图取分离体如图(d)：(d)x扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学(d)xnt转角规定：转角规定：轴正向转至截面外法线轴正向转至截面外法线逆时针：为逆时针：为“+”顺时针：为顺时针：为“”由平衡方程：由平衡方程：解得：解得：扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学分析：当=0时，当=45时，当=45时，当=90时，45 由此可见：圆轴扭转时，在横截由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角方向角 =45 的斜截面上作用有最的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。论，就可解释前述的破坏现象。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学习题习题3-1，3-3，3-9材料力学