工程控制原理 第五章.ppt

第五章第五章 控制系统的频率特性控制系统的频率特性 上上章章学学习习了了时时域域法法，它它是是分分析析控控制制系系统统的的直直接接方方法法，比比较较直直观观。对对于于高高阶阶系系统统不不借借助助计计算算机机，那那将将非非常常繁繁琐琐。因因此此，发发展展了了其其它它一一些些分分析析控控制制系系统统的的分分析析方方法法。其其中中，频频域域法法是是一一种广为采用的方法。种广为采用的方法。在在机机械械工工程程中中，振振动动与与频频率率特特性性有有着着密密切切的的关关系系。机机械械受受到到一一定定频频率率的的作作用用力力时时产产生生强强迫迫振振动动。由由于于内内反反馈馈还还会会引引起起自自激激振振动动。机机械械振振动动学学中中的的共共振振频频率率、频频谱谱密密度度、抗抗振振稳稳定定性性等等概概念念都都可可归归结结为为机机械械系系统统在在频频域域中中的的特特性性。频域法将简便而清晰地建立这些概念。频域法将简便而清晰地建立这些概念。5-1 5-1、频率特性、频率特性 一、频率特性的基本概念：一、频率特性的基本概念：图示所示图示所示RCRC系统：系统：RUiUOC设网络输入为正弦电压，即即则令：T=RC对上式进行拉氏反变换可得：对上式进行拉氏反变换可得：上式中：上式中：tt时，第一项为暂态分量，趋时，第一项为暂态分量，趋于零。第二项为稳态分量。于零。第二项为稳态分量。以以上上分分析析表表明明：当当网网络络输输入入为为正正弦弦信信号号时时，其其输输出出的的稳稳态态响响应应仍仍是是一一个个和和输输入入信信号号同同频频率率的的正正弦弦信信号号。幅幅值值是是输输入入信信号号幅幅值值的的 。相相 角角 比比 输输 入入 信信 号号 的的 相相 角角 滞滞 后后 了了 度。度。它们都是输入信号频率它们都是输入信号频率的函数。的函数。以上表达式具有普遍意义。以上表达式具有普遍意义。定义：定义：频频率率特特性性：系系统统在在正正弦弦信信号号输输入入时时，系系统统输出量的输出量的稳态量稳态量与输入量之比与输入量之比。若系统的传函为若系统的传函为G(s)G(s)时，其幅值放大了时，其幅值放大了 倍倍,相位移动了相位移动了幅幅 频频 特特 性性：稳稳 态态 输输 出出 与与 输输 入入 的的 振振 幅幅 比比 值值 。相频特性：输出与输入的相位差。相频特性：输出与输入的相位差。频率特性：复数频率特性：复数 统称为频率特性。统称为频率特性。UjVG(j)U()V()二、频率特性的求取方法：二、频率特性的求取方法：（1 1）如如果果已已知知系系统统的的微微分分方方程程或或传传递递函函数数，把把输输入入以以正正弦弦函函数数代代入入，求求其其稳稳态态解解。其其稳稳态态解与输入正弦的复数比即得。解与输入正弦的复数比即得。（2 2）如如果果已已知知系系统统的的传传递递函函数数，可可将将s s代代入入以以 jj，即得系统的频率特性函数。即得系统的频率特性函数。（3 3）通过实验。）通过实验。三、频率特性的物理意义和数学本质三、频率特性的物理意义和数学本质G(j)G(j)物理意义：物理意义：频频率率特特性性反反映映系系统统本本身身的的特特点点，这这取取决于系统本身的结构，与外界无关。决于系统本身的结构，与外界无关。频频率率特特性性表表示示了了系系统统对对不不同同频频率率的的正正弦弦信信号号的的跟跟踪踪能能力力，即即表表征征了了系系统统或或元元件件对不同频率正弦输入的响应特性。对不同频率正弦输入的响应特性。数学本质：数学本质：微分方程微分方程 传递函数传递函数 频率特性频率特性 5-2 5-2 频率特性的表示方法：极坐标图（奈氏图）频率特性的表示方法：极坐标图（奈氏图）频率特性频率特性是输入频率的复变函数。是输入频率的复变函数。极极坐坐标标图图,亦亦叫叫奈奈氏氏图图（NyquistNyquist）：当当 逐逐渐渐增增加加至至+时时，频频率率特特性性G(j)G(j)作作为为一一个个矢矢量量，其其端点在复平面上相对应的轨迹。端点在复平面上相对应的轨迹。一、典型环节的奈氏图一、典型环节的奈氏图 1 1、放大环节、放大环节:KjV2 2、积分环节、积分环节 ：UjV=0=3 3、微分环节：、微分环节：UjV=04 4、惯性环节：、惯性环节：当当 时，时，UjV0.5=-G(j)T=1=0G(j)可以证明奈氏图为一半圆：可以证明奈氏图为一半圆：惯性环节的奈氏图是圆心在（惯性环节的奈氏图是圆心在（，0 0）半）半径为径为 的圆的圆。5 5、二阶振荡环节、二阶振荡环节 ：（书上有误！）（书上有误！）时，时，时，时，当当频频率率从从0变变化化到到时时，振振荡荡环环节节的的幅幅相相频频率率特特性性从从100开开始始到到0mnm时时,G(j)=0,G(j)=0 一般系统，分母的阶次大于分子一般系统，分母的阶次大于分子的阶次，故大多数系统的奈氏图，的阶次，故大多数系统的奈氏图，当当+时，曲线终止于原点处。时，曲线终止于原点处。3 3、加极点和加零点的影响、加极点和加零点的影响 加加极极点点使使系系统统相相角角滞滞后后，加加零零点点使使系系统统相相角超前。角超前。ujvw=0+5-3 5-3 控制系统的对数频率特性曲线控制系统的对数频率特性曲线(Bode)(Bode)对对数数频频率率特特性性曲曲线线又又称称BodeBode图图,由由对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线和和对对数数相相频频特特性性曲曲线线两两条条曲曲线线组成组成。它是工程中应用最多的一组曲线。它是工程中应用最多的一组曲线。对对数数频频率率特特性性曲曲线线的的横横坐坐标标的的频频率率值值采用对数分度，单位：弧度采用对数分度，单位：弧度/秒。秒。一、对数坐标：下表列出了一、对数坐标：下表列出了从从110（rad/s）的线性分度及其相应的对数的线性分度及其相应的对数分度。分度。下面看对数坐标与均匀分度的区别：下面看对数坐标与均匀分度的区别：12345678910lg00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954112345698710lg1lg3lg4lg10lg100lg2在在上上述述对对数数坐坐标标中中，是是以以lg划划分分频频率率轴轴。为为方方便起见，只标注便起见，只标注的自然值。的自然值。频频 率率 每每 变变 化化 一一 倍倍，称称 作作 一一 倍倍 频频 程程。记记 为为Oct(octave)Oct(octave)在坐标上为在坐标上为0.3010.301个单位。个单位。频率每变化十倍，称作十倍频程。记为频率每变化十倍，称作十倍频程。记为dec(decimaldec(decimal)，在坐标上相距在坐标上相距1 1个单位。个单位。纵坐标：采用均匀分度纵坐标：采用均匀分度 1 1 幅频特性：坐标值取幅频特性：坐标值取 G(j)幅值的对数的幅值的对数的2020倍倍 。2相相频频特性：特性：二、典型环节的波德图二、典型环节的波德图 1 1、放大环节：、放大环节：L()20lgK02 2、积分环节：、积分环节：频率每变化频率每变化1010倍频程，幅值下降倍频程，幅值下降-20dB/dec.20dB/dec.1-20dB/dec-9003 3、微分环节：与积分环节相似。、微分环节：与积分环节相似。120dB/dec9004 4、惯性环节：、惯性环节：(1)(1)幅频特性：幅频特性：在低频段在低频段，很小：很小：在高频段，在高频段，很大：很大：其幅频特性的伯德图可用上述低频段和高其幅频特性的伯德图可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示频段的两条直线组成的折线近似表示。当当 时，时，称为转角频率。称为转角频率。近似波德图近似波德图的的T T点是近似的波德图误差点是近似的波德图误差最大的点。与最大的点。与精确值相差精确值相差3 3 dB dB。精确曲线可在近似曲线的基础上加以修正精确曲线可在近似曲线的基础上加以修正。-20dB/dec（2）相频特性：在低频段，很小：在高频段，很大：在转角频率处：-4505、一阶微分环节：其分析方法与惯性环节类似。6 6、二阶振荡环节：、二阶振荡环节：在低频段，在低频段，很小：很小：在高频段在高频段，很大：很大：其幅频特性的伯德图可用上述低频段其幅频特性的伯德图可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示，和高频段的两条直线组成的折线近似表示，如图如图:=0.1=1-40dB/dec=1幅频特性与 关系-40dB/dec 两条渐近线交于无阻尼自然频率两条渐近线交于无阻尼自然频率 处，处，实际曲线随阻尼比实际曲线随阻尼比 的不同而不同。的不同而不同。其修正值可计算其修正值可计算。相频特性：相频特性：在低频段，在低频段，很小：很小：在高频段，在高频段，很大：很大：在在 处，处，10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor相频特性与 关系7 7、延迟环节：、延迟环节：L()三、系统波德图的作图方法三、系统波德图的作图方法 对一般系统对一般系统:则可见：可见：系统幅频特性的波德图可由典型环节的系统幅频特性的波德图可由典型环节的幅频特性波德图叠加得到。幅频特性波德图叠加得到。同同理理：系系统统相相频频特特性性的的波波德德图图亦亦可可用用典典型型环环节的相频特性波德图叠加得到节的相频特性波德图叠加得到。例：试画出的bode图归一化 通过以上分析，看出其通过以上分析，看出其BodeBode图由如下特点：图由如下特点：初始频段的斜率为初始频段的斜率为-20dB/dec-20dB/dec。为开为开 环传函中积分环节的数目。环传函中积分环节的数目。随着随着的增加，在典型环节的转折频率处，的增加，在典型环节的转折频率处，曲线的渐近线斜率改变一次曲线的渐近线斜率改变一次。初始段或初始段延长线在初始段或初始段延长线在 处的处的 幅值为幅值为 综上所述，可按下列步骤绘制系统的开环对数幅频特性：（1）将系统化为典型环节频率特性的乘积；（2）在频率轴上从左至右标出各典型环节的转折频率1、2、n；（3）在=1处，量出幅值为20lgK，其中K为系统的开环增益；（4）通过=1,L()=20lgK点，绘制斜率为-20dB/dec的低频渐近线；（5）从低频渐近线开始，沿轴自左至右每遇一个典型环节的转折频率，曲线的斜率就改变一次。这样由低频一直画到高频，便可绘出开环对数渐近幅频特性。例：某系统开环传递函数试绘制系统开环对数频率特性解：将G(s)转换成典型环节的标准形式。频率特性画法：1）转折频率w1=1,w2=2,w3=20.2)通过w=1,L(w)=20lgK=20lg10=20dB.画一条-20dB/dec3)在w=1,惯性40L201 210100-20-40-20-40w-90-1804最小相位系统与非最小相位系统Minimumphasesystemsandnon-minimumphasesystems 最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子 对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图非最小相位系统 最小相位系统 相角特性 相同的幅值特性 在具有相同幅值特性的系统中，最小相在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围相角范围 最小相位系统，幅值特性和相角特性最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定唯一确定这个结论对于非最小相位系统不成立。这个结论对于非最小相位系统不成立。反之亦然 5-4 5-4、由、由BodeBode图求对应的传递函数图求对应的传递函数 实际上，有许多系统的物理模型很难实际上，有许多系统的物理模型很难抽象正确，其传递函数很难用纯数学分析抽象正确，其传递函数很难用纯数学分析的方法求出。对于这类系统，可以通过实的方法求出。对于这类系统，可以通过实验测出系统的频率特性曲线，进而求出系验测出系统的频率特性曲线，进而求出系统的传函。统的传函。1 1、对于、对于0 0型系统：型系统：在低频段，在低频段，很小：很小：由由此此可可见见，0 0型型系系统统幅幅频频特特性性波波德德图图在在初初始始频段处的高度为频段处的高度为20lgK20lgK0 0 （初始段为水平线）初始段为水平线）20lgK0-20-40-60一、系统类型与对数幅值之间的关系2 2、对、对型系统：型系统：在初始频段时，在初始频段时，很小：很小：则当则当=1=1时时 可可见见，如如果果系系统统的的各各转转角角频频率率均均大大于于1 1，型型系系统幅频特性伯德图在统幅频特性伯德图在=1=1处的高度为处的高度为20lgK20lgKv v。如如果果系系统统有有的的转转角角频频率率小小于于=1=1，则则首首段段-20dB/dec20dB/dec斜斜率率线线的的延延长长线线与与=1=1线线的的交交点点高高度度为为20lgK20lgKv v。20lgKV-20-40-6020lgKV-20-40-601令：则，即：可见，首段-20dB/dec斜率线或其延长线与0dB线的交点坐标为 。3、对型系统：当低频时，很小，则 可见，型系统幅频特性波德图的首段-40dB/dec斜率线或其延长线与=1线的交点高度为。可见其首段可见其首段-40dB/dec斜率斜率线或其延长线线或其延长线与与0dB线线(横坐横坐标标)的交点坐标的交点坐标为为令则120lgKa120lgKaKa例：求下列Bode图所表示的最小相位系统的传递函数，并写出此伯德图的各段渐近线方程。0.212010-20L()/dB解：K=22(5s+1)G(s)=s(s+1)20-lgKLg0.2-lg1=-20dB/dec5-55-5、闭环频率特性与频域性能指标、闭环频率特性与频域性能指标 一、由开环频率特性估计闭环频率特性一、由开环频率特性估计闭环频率特性 对于如图所示系统，其开环频率特性为对于如图所示系统，其开环频率特性为 ，而该系统的闭环频率特，而该系统的闭环频率特性为：性为：G(j)H(j)Xi(j)Xo(j)+-因因此此，已已知知开开环环频频率率特特性性，就就可可求求出出系系统统的的闭闭环环频频率率特特性性，也也就就可可以以绘绘出出闭闭环环频频率率特性。特性。可利用计算机求出，从而简化工作量。可利用计算机求出，从而简化工作量。下下面面介介绍绍-已已知知开开环环频频率率特特性性，定定性性地地估估计计闭闭环频率特性环频率特性：设系统为单位反馈，设系统为单位反馈，则则 一般实际系统的开环频率特性具有低通滤波的性质，如图：低频时：由于低频时：由于 则，则，高频时高频时:由于由于则，则，G(j)Xo(j)Xi(j)在在中中频频段段（即即剪剪切切频频率率 附附近近）可可通通过计算描点画出轮廓，其幅频特性如下图过计算描点画出轮廓，其幅频特性如下图 对对于于一一般般单单位位反反馈馈的的最最小小相相位位系系统统，如如果果输输入入是是低低频频信信号号，则则输输出出可可以以认认为为与与输输入入基基本本相相等等。高高频频特特性性与与开开环环高高频频特特性性也也近近似似相同。相同。一、闭环系统的频域指标一、闭环系统的频域指标 由由图图可可看看出出，闭闭环环系系统统的的幅幅频频特特性性随随的的变变化化可可用用下下述述一一些些特特征征量量加加以以概概括括，这这些些特特征征量量构构成成了了系系统统的的分分析析、设设计计的的频频域性能指标。域性能指标。0-320lgMrrb低频段低频段中频段中频段高频段高频段1 1、零频幅值零频幅值M(0)M(0)定定义义：频频率率接接近近于于零零时时，系系统统的的输输出出幅值与输入幅值之比。幅值与输入幅值之比。在在00时时，若若M(0)=1M(0)=1，则则输输出出幅幅值值能能完完全准确地反映输入幅值。全准确地反映输入幅值。零零频频幅幅值值M(0)M(0)越越接接近近于于1 1，系系统统的的稳稳态态误差将越小。误差将越小。2 2、谐振频率谐振频率 及谐振峰值及谐振峰值谐振频率谐振频率 是指产生谐振峰所对应的频率是指产生谐振峰所对应的频率。谐振峰值谐振峰值 是指谐振频率处幅指的大小。是指谐振频率处幅指的大小。对于二阶系统：对于二阶系统：对对高高阶阶系系统统：由由一一对对共共轭轭复复数数闭闭环环主主导导极极点来支配。可近似用二阶系统性能指标。点来支配。可近似用二阶系统性能指标。3、截止频率截止频率b和带宽和带宽截截止止频频率率b是是系系统统闭闭环环频频率率特特性性的的幅幅值值由由M(0)M(0)下下降到降到时所对应的频率。时所对应的频率。也就是由也就是由下降下降3dB所对应的频率。所对应的频率。带宽带宽：由：由0b这一频段范围称为这一频段范围称为系统的带宽。系统的带宽。对于一阶、二阶系统，截止频率可以分别求出。1、一阶系统：由截止频率的定义：即 b=1/T 即一阶系统b与T成反比，即频带越宽，惯性越小，响应越快。2、二阶系统：其幅值：由于可求出 频频带带宽宽度度宽宽，调调整整时时间间小小，系系统统响响应应速速度度快快。但但频频带带宽宽度度越越宽宽，高高频频噪噪声声能能力力的的控控制制能能力差。力差。频带宽度与调整时间成反比频带宽度与调整时间成反比例：某单位负反馈最小相位系统的开环例：某单位负反馈最小相位系统的开环伯德图如图所示。求：伯德图如图所示。求：（1 1）求开环传函及渐近线方程；（）求开环传函及渐近线方程；（2 2）该系统传函（该系统传函（3 3）该系统的截止频率。）该系统的截止频率。-20-40220解：（1）开环传函：由I型系统的特性可得：（2）系统传函：（3）截止频率：解得：例：求下列伯德图所对应的最小相位系统的传递函数，并写出伯德图的各段渐近线方程。-20-20210 1001020-20L(w)/dBL(w)/dBww解：K=20W=22w10例：某最小相位系统的开环传函的bode图如下，求：（1）其传递函数；（2）当时，系统的相位角。L(w)/dB-1-1-1-2w60401000.0010.01-10解：k=1解：解：由于故：例例例：一系统的结构图如图所示，试根据频率特性例：一系统的结构图如图所示，试根据频率特性的定义，求下列信号输入时系统的输出及稳的定义，求下列信号输入时系统的输出及稳态误差。态误差。例例K=4，C=1