信号、系统与数字信号处理 第1章 连续时间信号与系统的时域分析.ppt

目目 录录第一章第一章 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 第二章第二章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析 第三章第三章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析拉普拉斯变换拉普拉斯变换 第四章第四章 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析第五章第五章 Z变换与离散系统的频域分析变换与离散系统的频域分析 第六章第六章 离散傅立叶及其快速算法离散傅立叶及其快速算法第七章第七章 数字滤波器的结构与状态变量分析法数字滤波器的结构与状态变量分析法第八章第八章 无限冲激响应（无限冲激响应（IIR）滤波器的设计）滤波器的设计第九章第九章 有限冲激响应（有限冲激响应（FIR）滤波器的设计）滤波器的设计1.1信号与信号处理系统简介第一章第一章 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析密切接触。例如，我们听广播、看电视是接收带有信息中有意义或具实质性的内容可用信息量量度。信号都包含有一定的意义，这些意义统称为信息，消息并称之为声信号、光信号、电信号。不同的声、光、电现代社会的人们，每天都会与各种各样载有信息的信号灯塔发出的光；收音机、电视机、手机收到的电磁波等；具，是某种变化的物理量。如电话铃声、交通红绿灯、助一定形式的信号传送出去。信号是各类消息的运载工的消息；发短信、打电话，是为了把带有信息的消息借现代人们用来传递信息的信号，主要是电信号。众所周所以我们讨论的均为电信号。理信号，可以利用转换器变换为电信号进行处理、传输。转换方便等。转换是指实际工程中遇到的许多非电待处知电信号有许多的优势，如传播速度快、传播方式多、信号处理是利用一定的部（器）件或设备，对信号进行1.1-1所示是两类不同的电话处理系统。字处理的部件就称离散时间系统或数字处理系统。如图拟处理的部件也称连续时间系统或模拟处理系统；而数处理；若用数字部件处理数字信号，即为数字处理。模设备可称为系统。用模拟部件处理模拟信号，称为模拟用信息和便于利用的目的。对信号处理的部（器）件或分析、变换、综合、识别等需要的加工，以达到提取有接收放大器方向滤波器受话器送话器方向滤波器调制器发送放大器均衡器解调器数字调制数字滤波数字滤波数字均衡数字解调一般的模拟处理一般的模拟处理数字处理系统数字处理系统A/DD/A20世纪80年代以来，随着计算机技术与大规模集成电甚至许多人认为21世纪将是数字化的时代。如手机、VCD、DVD、数码相机、高清晰度电视等。遥感遥测、生物工程等等，也日益普及到家庭和个人，科研领域，如航空航天、通信、自动控制、地震预报、发展。数字信号处理（DSP）的应用现在不但遍及各路的发展与广泛的应用，促进了数字信号处理研究的不过我们也注意到自然界中待处理信号相当多是连续的还有必要对连续时间信号与系统进行分析研究。就要了解模拟信号，以及处理这类信号的模拟系统，就还需要连续时间系统处理。综上所述，要处理模拟信号，作中对一些工作频率很高，直接用数字集成器件困难的，需要模拟系统与数字系统的“混合系统”。另外，实际工其前后的处理往往都有模拟系统。因此在许多应用场合，如图1.1-1所示，也必须经过A/D与D/A转换，转换部分及实际工作中，即使是用离散时间系统对模拟信号作处理，模拟信号，如声音、图像、压力、流速、震动等等。在由于存在连续时间与离散时间两类不同的信号描述，就统分析部分；后六章是离散时间信号与系统分析部分。离散的编排顺序，书中的前三章主要涉及连续信号及系有两类不同的传输、处理系统。本书中采用先连续、后信号随时间变化的快、慢、延时是信号的时间特性，信先时域分析，再频（变）域分析的顺序为便于理解，对模拟与数字两类信号与系统本书都采用（变）域分析，它们是对同一事物两类不同的分析方法。（复频率）变化的角度对信号与系统进行分析，称为频角度对信号与系统进行分析，称为时域分析；从随频率信号具有不同的时间特性与频率特性。从随时间变化的号所包含的主要频率、相位是信号的频率特性。不同的我们所讨论的信号是随时间变化的电压或电流。因为1.2 信号的描述及分类信号的描述及分类等表示，其中数学表达式、波形图是最常用的表示形式。信号的函数关系可以用数学表达式、波形图、数据表散信号为序列，这样在本书中信号和函数或序列通用。或离散序列表示，所以有时亦称连续信号为函数，离信号随时间变化，在数学上可以用一个连续时间函数1.确定性信号与随机信号根据随机信号的统计规律再进一步研究随机信号的特性。理论上的抽象，我们应先研究确定性信号，在此基础上识上讲，确定性信号不包括有用的或新的信息。但作为计特性，如在某时刻取某值概率的则是随机信号。从常信号等。若信号不能用确定的时间函数表示，只知其统对信号可以从不同角度进行分类，下面是几种常见的信号分类。信号，也称规则信号，如正弦信号、单脉冲信号、直流如果信号被表示为一确定性的时间函数，即为确定性周期信号是依一定的时间间隔、周而复始、无始无终2.周期信号与非周期信号其中T为最小重复时间隔，也称周期。不满足上式关系的信号为非周期信号。（1-1）的信号，一般表示为3连续时间信号与离散时间信号不特别说明，一般连续信号与模拟信号通用。如图1-2所示。时间和幅值都连续的信号也称模拟信号。度值可以是连续的，也可以是离散的(只取某些规定值)，连续点外)都可以给出确定的函数值。连续时间信号的幅连续时间信号在所讨论的时间内，对任意时间值(除不信号分为连续时间信号与离散时间信号。按时间函数的独立变量(自变量)取值的连续与否，可将离散信号的独立变量(自变量)是离散的，只在某些不连号与数字信号通用。有限值时，也称为数字信号。不特别说明，一般离散信所示。离散信号的幅值亦为离散的，即只取某些规定的义。其幅值可以是连续的，也可以是离散的，如图1-3续的、规定的瞬时给出确定的函数值，其它时间没有定00-1 0 1 2图1-3离散时间信号图1-2连续时间信号f（t）f（t）ttf（n）n4能量信号与功率信号为了了解信号能量或功率特性，常常需要知道信号（电压或电流）在单位电阻上消耗的能量或功率。在（-T/2T/2）区间信号的平均功率定义为在(-,)区间信号的能量定义为（1-3）（1-2）没有包括所有信号。它就是功率信号，例如周期正弦信号。如果有信号能量，就是非能量非功率信号，例如，且信号。也就是说，按能量信号与功率信号分类并P=0，它就是能量信号，例如单脉冲信号。如果信号如果信号f（t）的能量有界，即0E；而平均功率f(t)的平均功率有界，而能量，那么5、因果信号与非因果信号非因果信号。若t0时，f(x)=0，则信号f(x)是因果信号，反之为非因果信号。按信号所存在的时间范围，可以把信号分为因果信号与1.3 典型信号典型信号1、常用连续信号、常用连续信号(1)实指数信号：1.4所示。式中的常数表示t=0时的初始值；参数不同，信号随时间的变化不同。式中随时间增长；随时间衰减；不随时间变化，如图0图1.4实指数信号f(t)另一个常用参数是时常数，时常数定义为，越小，指数函数增长或衰减的速率越快。的大小反映信号随时间增、减的速率。指数函数的实际工作中，更常见的是如图1.5所示的单边指数信号，表示式为0特别的，若的初始值，则即经过时间后，信号衰减为初始值的36.8%。图1.5单边实指数信号E0.368Ef(t)正、余弦信号因为二者只在相位上相差/2，所以通常统称正弦信号。一般表示为(2).正弦信号式中k是振幅、是角频率、为初相。波形如图1.6所示。0正弦信号的周期T 与角频率、频率的关系为实际应用中经常会遇到衰减的正弦信号，即信号的振荡幅度按指数衰减规律变化，波形如图1.7所示，一般表示为0图1.7(3).复指数信号式中s=+j，为s 的实部系数，为 s 的虚部系数。借用欧拉公式将其展开化的余弦函数，虚部为振幅随时间变化的正弦函数。复指数信号可分解为实部与虚部。实部为振幅随时间变由以上可见，复指数信号既概括了多种情况，又可以用振荡；当0或 t0、a0时为1，t0，f(t)的波形在时间轴上整体右移t0；而t00)(t20)t1tttt210-121-210以也称时间轴反转，如图1-23所示。信号。f(t)的波形是f(t)的波形以t=0为轴反折，所将f(t)自变量t用t 替换，得到信号f(t)是f(t)的折叠图1-23信号的折叠f(t)tf(t)t将的自变量t用替换，得到f(at)称为f(t)的尺度变换，其波形是f(t)在时间 t 轴压缩或扩展。若|a|1，波形在时间t 轴压缩；|a1|1，波形在时间t 轴扩展。故信号的尺度变换又称为信号的压缩与扩展。变化，如图1-24所示。与例如假设是正常语速的信号，则是两倍语速的信号，而是降低一半语速的信号。在时间轴上被压缩或扩展，但幅度均没有-1-1-1111000图1-24f(t)ttt722-24实际信号的运算往往是几种运算都有的复杂运算。实际信号的运算往往是几种运算都有的复杂运算。图图1-25(a)例1-4已知f(t)的波形如图1-25(a)所示，试画出f(-2t)f(-2/t)的波形。解：f(-2t)、f(-2/t)除了尺度变换，还要折叠。f(t)t-8-148143.5-4-3.5-241110022-2-22第二步折叠,如图1-25(c)所示。第一步尺度变换，如图1-25(b)所示。图图1-25(b)图图1-25(c)2102-20-2f(t)tttt解f(22t)是f(t)的时移、折叠及压缩信号的波形。例1-5已知f(t)的波形如图1-26(a)所示，试画出f(22t)第一步折叠,如图1-26(b)所示；220-202(a)(b)f(t)f(t)tt102(c)(d)022第三步尺度变换，如图1-26(d)所示。第二步时移变换，如图1-26(c)所示；f(22t)f(2t)tt 以上变换都是函数自变量的变换，而变换前后端点上的函数值（冲激函数除外）不变。所以可以通过少数特殊点函数值不变的特性，确定变换前后波形中各端点的相应位置。具体方法是：设变换前信号为，用表示变换前端点的位置；变换后信号为，用表示变换后端点的位置。则变换前后的函数值为由上式，可得解出变换后的端点的位置为01-2022221微分是对求导数的运算，表示为信号经过微分后突出了变化部分，如图1-27所示。图1-27信号的微分运算2、微分与积分、微分与积分f(t)tt001内的定积分，表示式为信号经过积分后平滑了变化部分，如图1-28所示。f(t)对在区间积分是图1-28tt3、信号的加（减）、乘（除）、信号的加（减）、乘（除）信号的相加（减）或相乘（除）是信号瞬时值相加乘形成的新信号。（减）或相乘（除）。是两个信号瞬时值相加（减）形成的新信号；或是两个信号瞬时值相例1-6如图1-29(a)所示。、，求、(a)(b)解：如图1-29(b)、(c)所示。、(c)-2301-2201-1-211-130-1-230-13-1f1(t)tttt实际工作中经常遇到幅度衰减的振荡信号，是信号相乘例1-7解的典型应用。，画出，波形。1-30所示。一般两个信号相乘，变化慢的信号形成包是幅度按指数规率变化的余弦信号，如图络线。00-110tttkkf(t)基本分解。将时域信号分解为不同的分量。本节只讨论三种信号的任意方向的力分解为几个分力一样。从不同的角度可以1.5 连续信号的分解连续信号的分解多个简单（基本）信号分量之和，正如在力学问题中将信号分析最重要的方法之一，是将一个复杂信号分解为1、规则信号的分解、规则信号的分解说明规则信号的分解。一般规则信号可以分解为若干简单信号的组合，举例0T2T3T4TA例1-8用简单信号表示如图1-31所示信号图1-31锯齿波解分解为无数不同时移的锯齿波叠加，表示为或如图1-32所示，将分解为一个幅度为斜坡函数的与无穷多个时移的阶跃函数叠加（减），表示为0T2T3T4T图1-32另一种分解1-20122可以分解为四个不同时刻出现的阶跃函数，解图1-33-1表示为例1-9用简单信号表示如图1-33所示信号。1-112100-2+的一种分解将分解为两个宽度不同的门函数，表示为其分解如图1-34所示。图1-34奇分量定义偶分量定义2、奇偶分解、奇偶分解这种分解方法是将实信号分解为偶分量与奇分量。其优点是可以分别利用偶函数与奇函数的对称性简化信号运算。所以任意信号可分解为偶分量与奇分量之和，因为0-1121101-120-11.5101-1-2-11/20-1/20-1121图图1-35图1-35是两个信号分解为奇、偶分量的实例。-1/21/21/2-1111000000图图1-353、任意信号的脉冲分解、任意信号的脉冲分解任意信号的脉冲分解方法，是将冲激信号或阶跃信号作为基本信号元，将任意信号分解为无穷多个冲激信号或阶跃信号，如图1-36及1-37所示。这类分解的优点是基本信号元的波形简单，响应好求，并且可以充分利用LTI系统的叠加、比例与时不变性，方便的求解复杂信号的响应。因果信号。这样如图1-36所示，分解任意信号，可以将分解为冲激信号之和。这种分解思路是先把信号分解成宽度为的矩形窄脉冲之和，任意时刻的矩形脉冲幅度为。为使分析简单，我们假设为信号可近似表示为图图1-36此时，即求和运算变为积分运算。于是，用冲激函数表示任意信号的积分形式为令窄脉冲宽度0，并对其取极限，得到分解思路是先把信号分解为阶跃信号的叠加，此时令如图1-37所示分解任意信号，可以分解为阶跃信号之和，任意时刻的阶跃为将信号近似表示为图图1-37然后，令窄脉冲宽度，并对上式极取限，最后，得到任意信号用阶跃信号表示的积分形式为 1.6系统及其响应1、系统、系统系统所涉及的范围十分广泛，包括大大小小有联系的事物行传输、处理、存储、变换的器件、设备等。子系统。具体到本课程的系统，是产生信号或对信号进统，其外部更大的系统称为环境，所包含的更小的系统为等等。系统具有层次性，可以有系统嵌套系统；对某一系组合体。如物理系统、非物理系统；人工系统、自然系统因为本课程涉及的是电信号，所以系统也主要是电路网络、系统、电路通用。讨论信号的传输、处理、存储、变换等问题，所以书中是简单系统。具体电路网络将在本书作为系统的例子，移动通信网是复杂的系统，仅由一个电阻和电容组成的以及软件等组合的实现不同功能的整体。程控通信网、（往往也称为网络）系统。这是由电路元、器件、芯片系统系统的作用。其中是系统的输入也称激励，是系统的输出也称响应。为简便也常表示为，其中“”表示图1-38信号与系统分析框图号，如图1-38所示。我们所涉及的系统，其功能是将输入信号转变为输出信“网络”也泛指通信网或计算机网，与本书的“网络”不同。由于信息网络的广泛应用，在信息科学与技术领域中在讨论系统响应前，我们先讨论系统的初始状态。“初始”的概念。下面以电容、电感的电压、电流关系理解系统初始状态习惯将“0”记为“初始”时刻。的瞬间，或电路发生“换路”的瞬间，为讨论问题方便，实际是一个相对时间，通常是一个非零的电源接入电路2、初始状态、初始状态例1-10如图1-39所示简单电路系统，已知激励为电流+-，求响应。解由电容的电压、电流关系式说明电容电压与过去所有时刻流过电容的电流有关，此式是一阶线性微分方程，解此方程可得响应为所以也称电容为动态（记忆、储能）元件。是不实际的，所以要计算要知道全部时刻的电流一般是由已知某时刻开始到所要计算时刻的，以及此时刻前的电容电压来确定，即特别的若，代入上式成为以及由电容与电感的对偶关系，不难得到始状态或初始条件。以前的作用，是系统在该时刻的储能，称作系统的初上式中的或是电流在时刻、的响应与电容情况相同，表明电感也为动态、储能元件。是电压在、时刻以前作用的结果，是系统在该时刻的储能，称作系统的初始状态或初始条件。只有已知、（）时的以及系统的初始状态（），才能求解（）系统。不特别说明本书的“初始”时刻取。2201-2图1-40例1-11电流波形，并绘出波形图。波形如图1-40所示，求例1-11系统是如图1-39所示电路,且已知通过具体例题讨论系统的响应。,电流的响应+-3、系统的响应、系统的响应时刻加入，在解从电流波形可见，除了在及还有变化，也可以理解为“换路”，所以有及、三个“初始”状态，即012如图1-41所示。它既有初始条件产生的部分，也有激励产生的部分。响应3/2V1/2V图图1-41由引起响应的不同原因，我们给出系统零输入响应与零状态响应定义：当系统的激励为零，仅由系统初始状态（储能）产生的响应是零输入响应，记为；当系统的为初始状态（储能）为零，仅由系统激励产生的响应是零状态响应，记为上例是一阶微分方程描述的简单系统。我们看到，为了（状态）。个初始条件阶微分方程描述的，求解它的响应，除了知道系统的激励外，还需要知道系统的一个初始条件。若系统是由则求解响应除了激励外，必须知道系统的阶线性微分方程的一般形式为标准化初始条件。上例给出的就是标准化初始条件。若已知初始条件为，称其为不能全部直接用于微分方程求解，就是非标准化初始若给出的初始条件（或状态）是，条件。例如一阶RC或RL电路中，待求的响应是电阻电压。而给出的初始条件，是电容上的电压或电感上的电流，它就是非标准化初始条件。标准化初始条件与非标准化初始条件由电路方程可以互相转换。另外，我们初始条件一般用的是0，即不特别说明的话，初始条件见的系统划分及其组合。数系统；可逆系统与不可逆系统等。本书只讨论最常输出与状态相关的动态系统；集中参数系统与分布参散时间系统；系统输出与系统状态无关的即时系统；1.7 系统的分类系统的分类如处理连续信号的连续时间系统；处理离散信号的离与信号相似，从不同角度出发可将系统分为若干类型。的数学模型为代数方程。1、动态系统与静态系统、动态系统与静态系统含有动态元件的系统是动态系统，如RC、RL电路。没有动态元件的系统是静态系统也称即时系统，如纯电阻电路。动态系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，还与该时刻以前的激励有关；静态系统在任意时刻的响应仅与该时刻的激励有关。描述动态系统的数学模型为微分方程，描述静态系统2、因果系统与非因果系统、因果系统与非因果系统因果系统满足在任意时刻的响应仅与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。也可以说，因果系统的响应是由激励引起的，激励是响应的原因，响应是激励的结果；响应不会发生激励加入之前，系统不具有预知未来响应的能力。例如系统的激励与响应的关系为，是一阶微分方程，而响应与激励的关系是积分关系，则系统是因果系统。出现在激励之前，是非因果系统。因果系统也称为物理可实现系统。如果响应出现在激励之前，系统为非因果系统。非因果系统也叫物理不可实现系统，书中一般不特别指明均为因果系统。例如图1-42(a)所示系统的响应与激励的关系为，响应出现在激励之后，系统是因果系统；如图1-42(b)所示系统的响应与激励的关系为，响应10-1000(a)因果系统(b)非因果系统图1-42对于因果系统，在因果信号激励下，响应也是因果一般由模拟元器件如电阻、电容、电感等组成的实际物理系统都是因果系统。在数字信号处理时，利用计算机的存储功能，可以逼近非因果系统，实现许多模拟系统无法完成的功能。这也是数字系统优于模拟系统的一个重要方面。另外，我们把时为零的信号，称为因果信号。信号。数字滤波器A/DD/A图1-43所示的混合系统。统是既有连续时间系统又有离散时间系统混合系统，如随着大规模集成电路技术的发展与普及，越来越多的系型的连续时间系统，而计算机是典型的离散时间系统。3、连续时间系统与离散时间系统、连续时间系统与离散时间系统激励与响应均为连续时间信号的系统是连续时间系统，也称模拟系统；激励与响应均为离散时间信号的系统是离散时间系统，也称数字系统。普通的电视机是典图图1-43式中是零输入响应，是零状态响应。表示为定可以分解为零输入响应与零状态响应，即系统响应可系统的响应有不同的分解形式，其中线性系统的响应一(1)分解性系统的储能，所以线性系统必须满足下面三个条件考虑影响系统响应的因素，除了系统的激励之外，还有4、线性系统与非线性系统、线性系统与非线性系统“线性”系统是满足叠加性与比例(齐次或均匀)性的系统。(2)零输入线性输入为零时，由各初始状态引起的响应满足叠加性与比例性，即若则系统系统系统图图1-44(3)零状态线性引起的响应具有叠加性与比例性（均匀性），即初始状态为零时，由各输入激励若则系统系统系统图图1-45不满足上述任何一个条件的系统就是非线性系统。如果线性系统还是因果系统，那么由，可以得到，。统是否线性。例1-12已知系统输入与输出关系如下，判断系1)2)3)4)不满足可分解性，是非线性系统。不满足零状态线性，是非线性系统。不满足零输入线性，是非线性系统。满足可分解性、零输入线性、零状态线性，所以是线性系统。1)2)3)4)解时，则在在时，系统响应与激励加入的时刻无关。即从系统响应来看，时不变系统在初始状态相同的情况下，参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。系统，也称非时变系统、常参系统，定常系统等；系统从系统的参数来看，系统参数不随时间变化的是时不变5、时变系统与非时变系统、时变系统与非时变系统才出现，并且波形变化的规律不变。非时变系统的输入输出关系可由图1.-46表示。从图可见，当激励延迟一段时间加入时不变系统时，输出响应亦延时0000时不变系统图图1-46所以是时变系统。的系数均不是常数，不变系统。例1-13已知系统激励与响应之间的关系如下，判断是否时解：初始状态与激励不变系统，简写为LTI系统。系统运算关系既满足线性又满足时不变性的是线性时6、LTI系统系统转变为输出信号的运算关系，可表示为如图1-47所示系统框图，图中表示将输入信号图图1-47统一，通用的分析方法，只能对具体问题具体地讨论。此后，不特别说明，我们所涉及的是LTI系统。LTI系统的分析具有重要意义，因为LTI系统在实际应用中相当普遍，或在一定条件范围内一些非LTI系统可近似为LTI系统系统；尤其是LTI系统的分析方法已经形成了完整、严密的理论体系。而非线性系统分析，迄今没有LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信号元。分析方法没有本质区别，仅是分解的基本信号元不同而时域分析将脉冲信号作为基本信号元，信号可以用冲激（阶跃）函数表示。频（变）域分析将正弦（复指数）函数作为基本信号元，信号可以用不同频率的正弦（复指数）函数表示。它们是同一信号两类不同的分解方法，对应着两类不同的分析方法。但是这两类分析方法的基础相同，均为LTI系统具有的叠加、比例与时不变特性。都是先求得基本信号元的响应，然后叠加。所以这两类已。利用LTI系统具有的叠加、比例与时不变特性，不难推得LTI系统所具有的微分特性。微分特性是若则证明若由时不变性，输入时移，输出也时移，得到由叠加性，输入为两项叠加，输出也为两项叠加，得到再由比例性，输入乘，输出也乘，得到对上式两边同时取极限得到为正整数则若系统的输出亦为原输出响应的导数。这个性质说明，当系统的输入是原信号的导数时，LTI这一结论可以推导到高阶导数与积分，即上式表示当系统的输入是原信号的阶导数时，系统的输出亦为原输出响应函数的阶导数；当系统的输入是原信号的积分时，系统的输出亦为原输出响应函数的积分。LTI系统的微分特性和积分特性如图1-48所示。系统系统系统系统图图1-48输出的情况。在控制系统理论研究中，广泛采用状态变外，还可以提供系统内部变量的情况。适用多输入、多状态变量描述法。状态变量描述法除了给出系统的响应统中大量遇到的是单输入单输出系统。第二类是统内部变量情况。适用单输入、单输出系统。如通信系法。这类方法着眼于系统激励与响应的关系，不关心系有两类建立系统模型的方法，一类是输入输出描述一、建立数学模型一、建立数学模型要分析LTI系统，首要任务是建立LTI系统的数学模型。1.8 LTI的数学模型与传输算子的数学模型与传输算子量描述法。本节只讨论输入输出描述法。用这种描述法，连续LTI系统的数学模型，是常系数线性微分方程；离散LTI系统的数学模型是常系数线性差分方程（将在第四章讨论）。由具体电路可以讨论模拟系统数学模型的建立。例1-14如图149所示RLC串联电路，f(t)为激励信号，试写出求响应i(t)的微分方程。+-i(t)e(t)解 这是有两个独立动态元件的二阶系统，利用KVL列回路方程，可得上式是一个微、积分方程，对方程两边求导，并代入系数，整理为这是二阶系统的数学模型二阶线性微分方程。一般有个独立的动态元件组成的系统就是n阶系统。n阶常参线性系统的数学模型为n阶线性常系数微分方程。二、用算子符号表示微分方程二、用算子符号表示微分方程n阶LTI系统的数学模型是n阶线性常系数微分方程。n阶线性微分方程的一般形式为为了形式上方便我们可以将微、积分方程中的微、积分表示。运算用算子符号与积分算子1、算子、算子微分算子这样，例1-14电路的微分方程可以表示为n阶线性微分方程可以用算子表示为上式是用算子表示的微分方程，也称算子方程。算子方程中的每一项表示的是运算关系，而不是代数运算。模仿代数运算，我们还可以将上式简化为若再令称为算子多项式，则上式进一步简写为、改写。了提取公因子的代数运算规则。该式还可以进一步上式是n阶线性微分方程的算子方程。在这里，利用单照套，下面具体讨论算子的运算规则。算子方程表示的是微分方程，因此代数运算规则不能简两个多项式相除的简单代数关系。子多项式N(p)表示对输入f(t)的运算关系，而不是式中分母多项式D(p)表示对输出y(t)的运算关系，分改写为还可以表示为这样例1-14的算子方程证：(1)、可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开2、算子运算规则、算子运算规则还可以表示为这样例1-14的算子方程不能随便消去。(2)、算子方程左、右两端的算子符号由，解出而不是，二者相差一个任意常数，所以不能由得到，即，但。这一结论可推广到一般的算子方程：，但是。位置不能互换，即、(3)、因此而所以因为后积分的运算次序，算子不可消去。运算次序，算子可消去；形式上先“乘”后“除”即先微分上式分别说明，形式上先“除”后“乘”即先积分后微分的统的算子方程；再将算子方程转换为微分方程。示，得到算子电路；然后利用广义的电路定律，建立系简称算子法。它是将电路中所有动态元件用算子符号表利用算子电路建立系统数学模型比较方便，这种方法3、用算子电路建立系统数学模型、用算子电路建立系统数学模型值，上式可以理解为广义欧姆定律。式中是电感算子符号，可以理解为广义的电感感抗电感的算子表示可由其电压电流关系得到，因为同理，由电容上的电压电流关系得到式中是电容算子符号，可以理解为广义的电容容抗值，上式也可以理解为广义欧姆定律。下面举例说明由算子电路列写系统的微分方程的方法。将所有动态元件用算子符号表示，可以得到算子电路。，用算子法列出的算子方程与微分输出为电流，串联电路，输入为例1.8-2如图1-49所示方程。+-电路如图150所示。将图1-49中的电感、电容用算子符号表示，得到算子解+-利用广义的KVL,列出算子方程式两边同时作微分运算（“前乘”），得算子方程结果与例1-14相同。由上面的算子方程写出微分方程为所示算子电路。利用广义网孔法，列出两个算子方程解将图1.8-3(a)中的电感用算子符号表示，得到如图(a)，试用算子法求其算子方程与微分方程。为激励信号，响应为例1-16如图1-51(a)所示电路，+-利用克莱默法则，解出也可以写成可写成微分方程为图所示算子电路。解将图1.8-4(a)中的电感、电容用算子符号表示，得到如例1-17如图1-52(a)所示电路输入为，输出为、，用算子法求其算子方程与微分方程。已知，。，+-利用广义网孔法,列算子方程组+-为避免在运算过程中出现因子，可先在上面的”，得到方程组两边同时作微分运算即“前乘上式还可写为利用克莱默法则，解出对应的微分方程为用相同的方法，可以得到这样，系统的输出可以表示为定义传输（转移）算子由式(1-63)4、传输（转移）算子、传输（转移）算子微分方程为形式，而绝不是与相乘！要强调的是，仅是系统运算关系的另一种表示可得由解例1-14的算子方程为。的系统传输算例1-18求例1-14激励为，响应为子例1-19求例1-16激励为，响应为的系统传输算子。解得到由同理可得解由例1-20求例1-17激励为，响应为时的系统传输算子；激励为，响应为时的系统传输算子。系统的特征多项式。它仅与系统的结构、参数有关，与我们注意到与的分母多项式相同。由的定义，不难看出系统传输算子的分母多项式是传输算子的分母多项式都不会改变。参数一定，无论激励以及激励加入的端口如何改变，其激励以及激励加入的端口无关。所以同一系统的结构、的值是特征方程的根，称为特特征方程，使是系统的上式中是系统的特征多项式，代入算子方程一般式，得到将零输入响应与激励无关，其数学模型是齐次微分方程。一、零输入响应一、零输入响应下面分别讨论两种响应的时域求解方法。LTI系统的响应可以分解为零输入响应和零状态响应。1.9 LTI因果系统的时域分析因果系统的时域分析征根。我们先讨论一阶齐次微分方程的一般情况，再讨论二阶齐次微分方程的一般情况，最后是阶齐次微分方程的一般情况。一阶齐次微分方程为（零输入响应）的一般形式为由系统的特征方程，得特征根，其解由上式推知，此时解的一般模式取决于特征根的系数由初始条件确定。二阶齐次微分方程的一般算子形式为，而解由，得到二阶系统的两个特征根，。与一阶齐次微分方程相同，二阶齐次微分方程解的模式取决于两个特征根，表达式为重根，此时二阶齐次微分方程解的的形式为，特征根相同，是二阶如果输入响应。以上是二阶系统特征根不同的情况。，从而确定了二阶系统的零由两个初始条件式中系数、确定。解此方程组，求出、系数仍由两个初始条件确定阶齐次微分方程的算子形式为由特征方程得到个特征根，阶齐次方程解的模式就取决于这个特征根，即个系数由初始条件确定。上式可用矩阵形式表示为常数可用克莱默法则解得，或用逆矩阵表示为：例例1-21已知系统的传输算子，初始条件，试求系统的零输入响应。解特征根由1-79式，零输入响应形式为解出将特征根及初始条件代入，解解：先求：。开关时闭合，例例1-22已知电路如图1-53所示，初始条件，。求零输入响应+-代入初始条件，解出二、单位冲激响应二、单位冲激响应阶线性系统的传输算子为或记为由传输算子表示为1-54所示。为单位冲激响应。简称冲激响应，记为时，系统的零状态响应定义输入为单位冲激信号，如图分解，并代入(1-84)式，得到为分析简便，更突出求解单位冲激响应基本方法，假设的分母多项式均为单根。将分母多项式将其展开为部分分式之和式中式中的系数由待定系数法确定，此式表明一个阶系统可以分解为个一阶子系统之和。我们先讨论一阶系统的单位冲激响应的一般表示，再将结果推广至高阶系统。式(1-85c)是一阶子系统的单位冲激响应的(1-85c)算子表示。由(1-85c)式，分别得到一阶系统的算子方程及微分方程为这正是的全微分对上式的微分方程求解，先在等式两边同时乘以的一般项为，我们解出一阶子系统冲激响应由于因果系统的对上式两边积分阶系统的单位冲激响应为则例1-23求例1-18系统单位冲激响应。解例1-18系统的传输函数为利用上式的结果，可得解由广义KCL列算子节点方程。，输出为例1-24如图1-55所示电路，输入为电流源电容电压，试求系统的冲激响应+-表1-1列出了部分与其对应的，可以直接应用。对应的表1-1，可以得到由LTI系统的时不变性，当输入移位时，输出也移位已知因果系统的零状态响应。变性、比例性以及积分特性，我们可以得到因果激励下。利用系统的单位冲激响应以及LTI系统的时不应当系统的初始状态（储能）为零时，其响应是零状态响3、系统的零状态响应、系统的零状态响应由LTI系统的比例性，当输入乘以强度因子，输出也乘以强度因子，又得到最后利用LTI系统的积分特性，若输入信号是原信号的积分，输出信号亦是原信号的积分，我们有上式右边得到的正是因果系统的零状态响应。我们注形式，因此也称卷积法。故称之为时域法；又由于此式是数学卷积运算的一种意到，这种求解响应的方法与以往求解微分方程不同，上式右边得到的正是因果系统的零状态响应。我们注形式，因此也称卷积法。故称之为时域法；又由于此式是数学卷积运算的一种意到，这种求解响应的方法与以往求解微分方程不同，当已知、时，系统的零状态响应可用上式的卷积计算。卷积计算时，积分变量为，仅是参变量，作为常数处理。卷积计算的具体步骤：第二步是将与两个函数相乘；第一步是变量转换，将变为，变为；第三步确定积分上、下限，也就是找到相乘后的非零值区；第四步对积分得出零状态响应。、解域法求例例1-25如图1-56所示电路，已知激励，用时。+-代入卷积公式将从以上求解过程，可以看到时域法是利用系统的冲激响应，借助卷积完成系统的零状态响应求解。响应是既有受（强）迫响应，也有自然（由）响应。响应。显然，零输入响应是是自然（由）响应；零状态由）响应；与激励模式相同的响应定义为受（强）迫（强）迫响应。由特征根决定模式的响应定义为自然（自从响应与系统或激励的关系可分为自然（由）响应与受响应。从其他角度出发，响应还可分解为不同分量。从引起响应的原因，响应可分解为零输入响应与零状态四、响应的其他分解四、响应的其他分解是稳态从响应随时间是否消失，响应还可分为瞬态响应与稳态响应。瞬态响应是响应中随着时间增长而消失的部分；稳态响应是响应中随时间增长不会消失的部分。例如是瞬态响应，而，响应。稳态响应。解例例1-26试指出例1-25各响应分量自然、瞬态零状态响应即例1-25响应是零状态响应，其中的是自然（由）响应、瞬态响应；是受（强）迫响应、受迫、稳态积式是在因果信号、因果系统条件下卷积公式的特例。积分等运算相同，仅积分限不同。不难证明，上节的卷，则变量置换、若令，此式是卷积的一般式，与我们上节的卷积公式比较，的卷积运算定义为任意两个信号和1、卷积、卷积的理解，有必要对卷积做进一步的讨论。卷积积分是时域分析的基本方法，为加深对时域分析1.10卷积及其性质卷积及其性质相乘、证：(2)是卷积的单位元。从与卷积结果可知证：(1)卷积卷积2、任意函数与、任意函数与、(1-94)延时通过一个延时（移位）器，如图1-57所示。卷积，相当该信号由(1-94)式可知，任意函数与(3)一个积分器，如图1-58所示。(1-95)由(1-95)式可知，任意函数与卷积，相当信号通过3、卷积的性质、卷积的性质(1)时移证，代入上式，得令一些代数性质也适合卷积运算。同理可证上式的其他形式。(2)交换律证证令代入也称卷积的第二种形式，其实际应用意义如图1-59所示。一些代数性质也适合卷积运算。证证：(3)分配律：此式实际应用意义如图1-60所示。此式实际应用意义如图1-61所示。，代入上式交换积分次序证明：(4)结合律：令，此式实际应用意义如图1-61所示。函数、图形不变，仅(1)图解法具体步骤确定积分限、积分条件，并且所得结果作图方便。卷积的图解法是计算卷积的基本方法，优点是可以直观3、卷积的图解法、卷积的图解法相乘后其非零值区的积分（面积）。(4)求与(3)将折叠移位后的图形相乘。与b.移位是与之间的“距离”。，a.折叠；(2)它包括两部分例1-27具体计算步骤如图-63所示如图1-62所示，求。、10210E(a)210E(b)211021102110(c)(d)2110(e)210E/2或由卷积的第二种形式，同理可证证：证：交换运算次序(1)微分：5、微分、积分性质、微分、积分性质(2)积分证：证：交换积分次序由卷积的第二种形式同理可证：(3)微、积分性则若：重积分的阶次。其中、取正整数时为导数的阶次；特别地：、取负整数时为运算规律。应用类似的推导，可导出卷积的高阶导数和多重积分的交换运算次序证证：根据需要不断利用这一性质，可以简化一些函数的卷积运算。的卷积公式(4)利用微、积分性的结果，可由与推出与阶跃响应的卷积公式，即式中是系统对单位阶跃信号的零状态响应。解解例1-28、如图1