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24.3.1 24.3.1 锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 第第2424章章 解直角三角形解直角三角形 驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸 华师大版九年级数学上册华师大版九年级数学上册教学目标：教学目标：1、理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法；示法；2、掌握掌握Rt ABC中中(C=90)锐角锐角A的三角函数的表示：的三角函数的表示：sinA=A的对边的对边/斜边斜边 cosA=A的邻边的邻边/斜边斜边 tanA=A的对边的对边/A的邻边的邻边 3、掌握锐角三角函数的取值范围；掌握锐角三角函数的取值范围；4、能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；角函数的值；5、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法殊到一般及数形结合的思想方法。教学重点：教学重点：锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值。算锐角三角函数的值。教学难点：教学难点：锐角三角函数概念的形成。锐角三角函数概念的形成。情景导入情景导入 如图，下列都可以用来测量物体的高度。这两个问题的解决，将涉及直角三角形中的边角关系。直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关问题。探索新知探索新知1.某个角的对边、邻边的概念。2.做一做。（1）画一个RtABC，使C=90，A=30，那么A的对边与斜边的比值是多少？量一量，算一算。（2）你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？与同伴交流一下。（3）若A=45、60时，则A对边与斜边之比是多少？（4）一般情况下，在RtABC中，当锐角A取其他确定值时，A的对边与邻边的比值还是一个固定值吗？在在RtABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定值。经过验证，在经过验证，在RtABC中，当锐角A取其他固定值时，A的对边与邻边的比值还是一个固定值，与RtABC的大小无关。结论结论B1C1RtABCRtAB1C1C2B2RtABCRtAB2C2在直角三角形中，在直角三角形中，当当锐角锐角A的度数一定时，不管的度数一定时，不管三角形的大小如何，三角形的大小如何，A的对边与邻边的比是一的对边与邻边的比是一个个固定值。固定值。如图：在如图：在Rt ABC中中,C90，对于锐角，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边都是唯一确定的。我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切正切，记作tanA一个角的正切、一个角的正切、表示表示定值定值、比值比值、正值正值。=abtanA=在在RtABCRtABC中中及时总结经验，要养成积累及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！方法和经验的良好习惯！=abtanA=acsinA=斜边的对边A=bccosA=斜边的邻边A 在在Rt ABC中对于锐角中对于锐角A的每一个的每一个确定的值，确定的值，sinA、cosA、tanA、都有、都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐唯一的确定的值与它对应，所以把锐角角A的正弦、余弦、正切、叫做的正弦、余弦、正切、叫做A的的锐角三角函数锐角三角函数。注意1、sinA不是一个角2、sinA是一个比值3、sinA没有单位显然锐角三角函数都是正实数，你能利用直角三角形三边关系得到sinA与cosA的取值范围吗？0sinA1,0cosA1sinA与cosA的关系：tanA与sinA、cosA之间的关系：sin2A+cos2A=1cosAtanA=sinA我来试一试：1 1、如图、如图1 1，在，在RtMNPRtMNP中，中，N N9090.PP的对边是的对边是_,P_,P的邻边是的邻边是_;_;MM的对边是的对边是_,M_,M的邻边是的邻边是_;_;2 2、求出如图、求出如图2 2所示的所示的RtDEC(ERtDEC(E9090)中中D D的四的四个三角函数值个三角函数值(用字母表示用字母表示).).3、设RtABCRtABC，C C9090 A A、B B、C C的对边分别为的对边分别为a a、b b、c c，根，根据下列所给条件据下列所给条件B B的四个三角函数值：的四个三角函数值：（1 1）a=3a=3，b=4b=4；（2 2）a=5a=5，c=13.c=13.例例1、求出如图所示的、求出如图所示的Rt ABC中中A的四个三角函数值的四个三角函数值.解：8应应用用举举例例1、在在Rt ABC中，中，C90，a=9 b=12，求，求A的三个三角函数值。的三个三角函数值。2、在在ABC中，中，AB=AC4，BC=6，求，求B的三个三角函数值。的三个三角函数值。下图中下图中ACB=90ACB=90，CDAB,CDAB,垂足为垂足为D D。指出。指出A A和和B B的对边、邻边。的对边、邻边。试一试：试一试：ABCD(1)tanA=AC()CD()(2)tanB=BC()CD()BCADBDAC 已知已知A为锐角，为锐角，sinA ，求，求cosA、tanA的值。的值。练一练：练一练：解：sin2A+cos2A=1 cosA=1-sin2A=1-()2=178sinAcosAtanA=tanA=1781517=158 如图如图,在在RtABCRtABC中中,锐角锐角A A的邻边和斜边同时的邻边和斜边同时扩大扩大100100倍倍,tanA,tanA的值（的值（）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定ABCC C试一试：试一试：定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题:1 1、sinAsinA、cosAcosA、tanAtanA、是在、是在直角三角形直角三角形中中定义的，定义的，A A是是锐角锐角(注意注意数形结合数形结合，构造直角，构造直角三角形三角形)。2 2、sinAsinA、cosAcosA、tanAtanA、是一个、是一个比值比值（数值数值）。）。3 3、sinAsinA、cosA cosA、tanAtanA、的大小只与、的大小只与A A的大的大小小有关，而与有关，而与直角三角形的边长直角三角形的边长无关。无关。4、当角是数字或必须用三个字母表示是需带角的符号。如sinsin11、coscosA ABCBC等等归纳小结归纳小结1.正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个角而定义，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个概念是学好本章的关键；概念是学好本章的关键；2.正弦、余弦、正切实际上都是些比值，没有单位，它正弦、余弦、正切实际上都是些比值，没有单位，它们只与锐角们只与锐角的大小有关，而与三角形的边长无关；的大小有关，而与三角形的边长无关；3.对于每一个锐角的确定的值，它的正弦、余弦和正切对于每一个锐角的确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应。正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应。数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。高斯
